Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Термин центральное поле означает, что имеется некоторый фиксированный, например, в начале системы координат, силовой центр, с которым и взаимодействует частица. Таким силовым центром может быть, в частности, положительно заряженное ядро, в поле которого движется электрон.
Будем предполагать, что центральное поле не зависит явно от времени, хотя на начальных этапах рассмотрения задачи это предположение по существу не сказывается. и. Переход к сферической системе координат. Итак, пусть имеется частица в потенциальном поле ~(~), зависящем только от ее расстояния ~ до начала координат, где находится силовой центр, и не зависящем от направления радиуса-вектора г частицы. Стационарное уравнение Шредингера 1 — — Л+ У(г) ф(г) = Еф(г) 2р (р — масса частицы) для подобных задач удобно решать в таких системах координат, в которых расстояние ~ является одной из трех координат, определяющих положение частицы.
И, по-видимому, наиболее подходящей является сферическая система координат, включающая одну радиальную, ~, и две угловые, о и ~р, переменные, задание которых проще всего понять из рис. 2.1.1. В этой системе угол о есть угол между направлением оси ~ исходной декартовой системы Оху~ и направлением вектора г, тогда как угол ср — между направлением оси х и направлением проекции г на плоскость Оху. Угол о меняется от 0 до л, угол ~р — от 0 до 2л. Угол ~р отсчитывается в положительном направлении: поворот Рис. 2.1.1.
Сферическая система координат. совершается против часовой стрелки вокруг оси ~. Координаты х, у и ю частицы, как легко можно установить из рисунка, связаны со сферическими координатами следующим образом: При записи оператора Лапласа в новых координатах нам потребуются выражения первых, а затем и вторых частных производных по х, у и ~ через соответствующие частные производные по ~„д и ~р. Для такого перехода к новым координатам следует учесть, что х = х(т, о, ср), у = у(~, Ь, ~р) и л = ю(я, Ь, ср), так что для произвольной непрерывной функцииЯх,у, ~) будем иметь: д~ дх д~ ду д~ д2 д~ — ж — — + — — + —— (2.1.3) дт дг дх дг ду д~ д~ и такого же типа соотношения для д~/д о и д~/д~р. Далее в этих выражениях символ функции~будем просто опускать, записывая, например, вместо д~~д~ лишь оператор д/д~.
1) ~ О) 2 —— — яд Д' соЩ (~) ш — ~~1п д „О 5 2 1 Д5 . Я 8 2 4 и т.д. Таким образом, в центральном поле волновые функции частицы представляются в виде произведения трех функций ч( ~ ч) = л( ) о~, ~(0) Ф„(ч) причем, как показывает уравнение (10), радиальная функция Я(~) и энергия частицы Е зависят от ~, т.е. от 1, и не зависят от т.
Угловые функции О~ и ф не зависят от вида центрального потенциала У(т), а также и от массы частицы р. в. Риссеяние ни силовом центре. Если потенциал ~(г) таков, что он стремится к некоторой постоянной с, например равной нулю, при ~ — оо, то в этом случае у задачи о частице в центральном поле при энергиях Е > с, вообще говоря, будут существовать решения, отвечающие непрерывному (сплошному) спектру (рис.2.1.2), причем собственные функции для такого спектра будут получаться при решении именно радиального уравнения. Эти функции детальнее мы обсудим при рассмотрении задачи с кулоновским потенциалом. Как уже говорилось, решения для непрерывного спектра не отвечают классическому финитному движению частицы.
Они, по существу„служат лишь исходной конструкцией для построения таких их линейных комбинаций, удовлетворяющих уже не стационарному, а временному уравнению Шредингера, которые описывают распространение в пространстве некоторых приготовленных тем или иным путем в начальный момент времени квантовых состояний (так называемых волновых пакетов). Тем не менее, именно с этих "строительных" позиций знание их свойств весьма существенно. Угловые части волновых функций, как показывает предшествующее рассмотрение, не зависят от того, есть ли дискретный (или непрерывный) спектр у конкретной задачи. Определяющую роль здесь играет лишь потенциал радиального уравнения: 1~,( ) = ИГ) + Х(У+ 1)/2Р, ' (см. рис. 2.1.3). Этот потенциал отличается от исходного У(г) Рис.
2.1.2. Области дискретного и непрерывного (сплошного) спектра. Рис. 2.1.3. Влияние центробежного члена на форму потенциала: а — изменение потенциала Г(~) при добавлении центробежного члена; б — потенциалы 1;(г) при различных 1. дополнительным неотрицательным членом, который играет все большую роль по мере роста 1 (при больших 1 он практически пропорционален Р) и приводит к тому, что, начиная с некоторого 1, любой потенциал, при г — О стремящийся к минус бесконечности медленнее чем г '(например, по закону ~ "', где а — произвольное положительное малое число), становится всюду неотрицательным (см. рисунок), т.е.
другими словами — отталкивательным. Для такого потенциала связанных состояний, т.е. состояний дискретного спектра уже не существует. Следовательно, при таких 1 любая частица будет рассеиваться на силовом центре: подходя к нему, она будет испытывать все большее отталкивание, дойдет до некоторого минимального расстояния, после чего начнет удаляться от него (использован для наглядности классический образ).
г. Описание движения частицы в центральном поле в классической механике. Уравнения движения в классической механике, например уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, также допускают разделение переменных ~, О и <р. Не останавливаясь на том, как это конкретно делается, напомним лишь основные получаемые для этой задачи результаты. У частицы в центральном поле сохраняется, т.е. не меняется во времени вектор Е момента количества движения. Если выбрать систему координат так, что этот вектор будет направлен по оси я, то движение частицы будет происходить в плоскости о(ху) и, очевидно, А = А = О. Координата о при этом будет иметь фиксированное значение: д = Ы2.
Зависимость координаты ~р от времени получается при решении уравнения рх ~ = А,. Для радиального уравнения решения зависят от того, будет ли энергия частицы Е меньше или больше потенциала в некоторой конечной области значений ~: в зависимости от этого частица совершает финитное либо инфинитное движение, соответственно. д.
Замечание о задачах с нецентральным потенциалом. Если потенциал Р(т) не является центральным или, что то же, сферически симметричным, то переход к сферической системе координат уже не является столь продуктивным. Приходится при анализе соответствующей задачи использовать другие системы координат. Например, в задаче о поведении электрона в молекулярном катионе Н2, где имеются два протона, которые будем предполагать фиксированными на оси ю в точках Я/2 и — Ж2, сферической симметрии уже нет. Однако потенциал 1;(г) + Г,(г), образованный потенциалом 1~,(г) взаимодействия электрона с одним протоном и потенциалом 1~,(г) взаимодействия его с другим протоном, в этой задаче не зависит от угла ~р поворота вокруг оси ~, так что здесь удобно использовать, например, цилиндрическую систему координат (рис.
2.1.4): расстояние р электрона до оси ю, проекцию его радиуса- вектора на эту ось л и угол ~р поворота вокруг оси ~ . При этом, как и в задаче с центральным потенциалом, переменную ~ можно отделить от двух других переменных и получить уравнение, аналогичное уравнению (14). Рис. 2.1.4. Цилиндрическая система координат. Нецентральные потенциалы с одним силовым центром, но зависящие в сферических координатах не только от радиальной, но и от угловых переменных, например ~ = 1'(г)соьд, часто называют анизотропными потенциалами. Они широко используются при рассмотрении взаимодействий тех или иных частиц с удаленными от них молекулами, когда потенциал, создаваемый каждой такой молекулой в рассматриваемой точке, можно приближенно моделировать некоторым анизотропным потенциалом, зависящим от того, как повернута молекула. Гак, взаимодействие атома А1 (находящегося в точке г) с удаленной от него линейной молекулой СО„ядро атома углерода которой находится в начале системы координат, а ядра атомов Π— на оси ~, можно моделировать потенциалом вида ~~(г)(1 + Ьсоь'О), где Ь— некоторая постоянная.
В более общих случаях, когда имеется три или большее число силовых центров, задачу, как правило, можно решать уже либо только численно, либо на основе тех или иных приближенных подходов. Задачи 1. Выразить из соотношений (4) частные производные д/дх, д/ду и д/дю через производные д/дг, д/дб и д/д«р, решая эту систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных. 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферических координатах.
3. Пусть решение радиального уравнения (14) ищется в виде М(г) = — ~(г) . Какому уравнению удовлетворяет функция Яг) . 1 ? 4. Предположим, что радиальное уравнение (14) решается при 1 = 0 (т.е. при Х = 0) с потенциалом 1ф) = О при О ~ г < г и ~'(г) = ос при г ~ г (так называемая сферическая потенциальная яма). Найти решения и сравнить получаемые результаты с тем, что было найдено для одномерной задачи с прямоугольным ящиком. 5.
Проверить непосредственной подстановкой, что функции О(д) из (18) удовлетворяют уравнению (16), а также то, что они нормированы и взаимно ортогональны (с весом Йпо). 6. Что можно сказать о решениях задачи с анизотропным потенциалом вида $~(г, о) = $~ (г) + $~ (о)? Можно ли в этом случае разделить переменные? товой системе координат имеют следующий вид: Х, =ур — ~р= — ~у — — ~— дг ду д д Х =.яр — хр = — 1 2' х дх дю (2.2.1) д д Х.=хр — ур = — 1 х — — у— ду дх Длина вектора момента 1. определяется в классической механике выражением Е = ~Д.2, гае 1.'= А '+ Е '+ Е '. Соответствующее выражение для оператора Х.' получается подстановкой в эту сумму операторов (1). Запишем теперь операторы компонент момента импульса в сферических координатах.
Для этого вновь воспользуемся соотношениями(2.1.2), рассматриваях,у ия как функции г, д и «р, и запишем производные по г, д и «р согласно (2.1.4): ~2. Теория момента количества движения Момент количества движения, или момент импульса, в квантовой механике играет не менее существенную роль, чем в классической. Выше мы уже упомянули„что в классической механике момент количества движения частицы в центральном поле сохраняется. Следовательно, он сохраняется и у свободной частицы и у системы частиц, на которую не действуют внешние силы, либо момент внешних сил, действующих на эту систему, равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
