Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эти конструкции привели к обобщению обычного понятия функций и к введению представлений о так называемых обобщенных функциях. Нам пока нет смысла заниматься всеми этими проблемами, ибо они нас уведут в сторону от основных вопросов. По этой причине будем просто полагать, что такие функции существуют и что нормировка на них может быть осуществлена, например при предельном переходе от некоторых, достаточно больших, но конечных пределов интегрирования к бесконечным пределам. Так, для свободной частицы решениями уравнения Шредингера будут следующие: Ф(х; Е) = А е""+ Е е Я И Л Е ).
Возьмем частные решения при В = 0: (р = А,е". Интеграл от произведения ф (х; Е')ф(х; Е) двух таких функций на конечном отрезке от — Х. до +Х. будет иметь следующий вид: ». ». ~ (Е',Е) = (" ~р*(х;Е')~р(х;Е)Ых = А~ Аь ~е'~~ ~ ~ Ых яппи — А')Х. ~р В этом выражении величины А,,и А, — конечны и постояны, тогда как функция яп(А — А')Х,/ф — Й') имеет вид, изображенный на рис. 1.2.4. По мере увеличения Х. точки пересечения ее с осью абсцисс стягиваются к нулю, а высота основного пика растет пропорционально Х..
К тому же известно, что интеграл от этой функции, например по К равен конечной величине: яп» я'п» " я'и» я'и» н = ~ — й- ~ — й+~ — й = ~ — й+ — ил -»'1. -Й». 0 2 ~при интегрировании введена замена переменной: » = ф — Г')Ц. Это позволяет отождествить функцию ДЕ', Е) с Ь-функцией, умно- Задачи 1.
Найти собственные значения и волновые функции для частицы, если она находится в потенциале, заданном следующими соотношениями: а) прих< О ~= 3(3; при О ~х~А $'= 0 и прих>Е ~= У,> 0; б) при Ц в) при ~х~ > А/2 ~= О„при — Х./2 ~х ~+А/2 ~= — ~,< 0; >Ю2 ~ О, при А/2 ~х ~+А/2 ~ ~,> О. 2. Для частицы в яме с бесконечными стенками найти средние значения операторов хр, рх, х-'р и р-'х.
~3. Математический аппарат квантовой механики Операторы, отвечающие физическим величинам, должны удовлетворять ряду требований, которые следуют как из общих физических соображений, так и из тех постулатов, которые были сформулированы в ~1. а. Линейность операторов. Общий вид тех операторов, которые были введены выше, показывает, что эти операторы являются линейными. Линейность оператора означает, что действие его на сумму двух функций приводит к сумме двух функций, каждая из которых есть результат действия этого оператора на каждую отдельную функцию исходной суммы: 1о ~(«1) + «Р) „~ + ~«~) (1.3.1а) и, кроме того, 2о ~сщ) «.«„~ ц) (1.3.16) где и — произвольное число. Иногда оба свойства записывают в общем виде: (1.3.2) Х,(ср+ с.ф ) = с,А~р + с,Хф, где с, и с, — числовые коэффициенты.
Линейность оператора Гамильтона носит весьма фундаментальный характер: поскольку уравнение Шредингера в этом случае также является линейным, это позволяет вводить нормировку волновых функций (за счет умножения на число а). Кроме женной на числовой множитель, определяющий в конечном итоге нормировку функции ®(х; Е). Отметим, что сводка основных формул, определяющих свойства о-функций, дана в Приложении 2.
того, если ср и ф — два решения временного уравнения Шредингера, то любая их линейная комбинация Ч' = с,«р + с,ф также будет являться решением этого уравнения, и коль скоро у нас нет критериев, какие из этих решений не отвечают физической картине мира (кроме очевидного условия конечности волновой функции), то с самых ранних этапов создания и развития квантовой механики в ней было введено утверждение, носящее постулативный характер и получившее название иринцииа суперлозииии: если «р и ф— волновые функции двух физически реализуемых квантовых состояний, то всегда можно создать ~акие начальные условия, при которых произвольная линейная комбинация этих функций будет волновой функцией физически реализуемого квантового состояния.
Принцип суперпозиции и требование линейности операторов квантовой механики, отвечающих наблюдаемым физическим величинам, весьма родственны, хотя и не тождественны. Далее мы будем широко использовать свойство линейности, тогда как принцип суперпозиции будет играть роль некоторой исходной посылки. б. Эрмитоаость операторов. Как уже говорилось в 5 1, среднее значение физической величины, которой отвечает оператор А, в состоянии ф определяется выражением «а > = )'1р АЧвй - « ~р~ А ~ ~р >, где интегрирование ведется по всей области изменения пространственных переменных, от которых зависит функция ф. Это среднее значение наблюдаемой, очевидно, должно быть вещественным, так что ( а > =~'~р(Ац~)*Шт = «А~рфр > «а > . Используемые в квантовой механике операторы, все средние значения которых вещественны, называют эрмитовыми, или самосопряженными, хотя эти два термина имеют несколько различный смысл в математике (см. заключительный пункт настоя щего параграфа).
Эрмитовость оператора можно определить и следующим образом: линейный оператор А эрмитов, если для любых двух функций «р и ф выполнено соотношение ( ~р)А(ср > = ( ~р(А(р > = «А~р((р > = ( ~р)А(~р >* . (1.33) Следовательно, эрмитов оператор может переноситься от символа второй функции (т.е. «р) в обозначении скалярного произведения к символу первой функции (т.е.
ф). При этом скалярное произведение переходит в комплексно-сопряженное исходному произведению. эрмитов оператор. При переходе от классических выражений к квантовомеханическим операторам за этим обстоятельством надо тщательно следить. в. Собственные функции и собственные значения. Если оператор А переводит функцию ~р в функцию, отличающуюся от ф лишь числовым множителем Аф =~ф, (1.3.5) то говорят, что эта функция есть собственная функция оператора А, а числовой множитель Х вЂ” собственное значение этого оператора на функции ф. Примеры: 1.
При поворотах С (а) в трехмерном пространстве Я, вокруг оси г на произвольный угол и любой вектор, направленный по оси г, не меняется, т.е. переходит в себя. Следовательно, он является собственным для таких операторов поворота вокруг оси г с собственным значением„равным 1. При отражении о в плоскости ху каждый из этих векторов умножается на — 1, тогда как любой вектор (х, у, О), лежащий в плоскости ху, при этом не меняется: о (О, О, г) = — 1 (О, О, г) и о (х,у, О) = = 1.(х, у, О), так что такие векторы являются также собственными для оператора о (выше символ (х,у, г) обозначает вектор с декартовыми компонентами х, у и г соответственно).
2. Пусть заданы функции двух переменных Дх„х,), например ~ = х12х2. При перестановке местами переменных х и 1 х„что можно представить себе как результат действия (линейного) оператора перестановки Р, „функции Дх„х,) переходят в новые функции фх„х,) и Дх„, х ), в указанном примере — в 2 1~ 2 2~ функцию х1х2. Попробуем найти такие функции ~, которые были бы собственными для Р,,: Р,,~ = Х~. Подействуем на правую и левую части равенства еще раз оператором Р: Р (Р, Д = 1,2' 1,2 1,2 = Х(Р,,Д. Полученное соотношение показывает, во-первых, что функция у = Р,,~ наряду с ~ также является собственной для оператора Р,, (что, конечно, достаточно тривиально).
Оно, вовторых, показывает, что (Р,, Р, „)~ = Х~ и, поскольку Р,,Р,, ничего не меняет в функции~(так называемая единичная операция), 2— то Х = 1. Следовательно, если у Р,, есть собственные функции, то собственные значения для этого оператора на таких функциях равны +1. Собственное значение +1 означает, что функция ~ не меняется при перестановке переменных х, и х,, т.е. такая функция является симметричной (или, что то же, полносимметричной) относительно перестановки переменных х, и х,. Так, в приведенном выше случае х, х ° х2х,, тогда как сумма х, х+ х х, при перестановке Р,, не 2 2 меняется, т.е.
она является полносимметричной. С другой стороны, разность х, х — х2х, при перестановке Р,, меняет знак, т.е. она также является собственной для оператора Р, „но уже с собственным значением — 1. Такие функции называют антисимметричными относительно перестановки Р 3. Найдем теперь функции ф, собственные для оператора импульсар = — Й д — Й вЂ” ~~1(х) = Ь~(х). д дх Решения такого дифференциального уравнения первого порядка для одномерного случая имеют вид чф(х, А) = Ае'~~ (1.3.6) где А — произвольная постоянная, а собственное значение А может принимать любое значение на вещественной числовой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
