Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выражение для временного сомножителя в функции Ч«в этом случае также приобретает чуть более простой вид: ~ф) =Аехр( — «Е«). ж. Чистые и смешаннме инсимбли. Таким образом, мы ввели основные положения, определяющие состояние квантовой системы, и то основное уравнение движения (уравнение Шредингера), которое позволяет, в принципе, получить функцию состояния такой системы. С функцией состояния далее вычисляются средние значения наблюдаемых величин, характеризующих эту систему. В квантовой статистической механике, т.е.
при наличии большого числа частиц (например, слабо взаимодействующих подсистем — атомов или молекул) имеют дело с состояниями, в которых можно определенно указать лишь вероятность Р. ! обнаружения того или иного состояния подсистемы, описываемого волновой функцией ф,. Следовательно, здесь уже нельзя ввести какую-либо волновую функцию Ч«системы, удовлетворяющую уравнению Шредингера. Можно говорить лишь о некотором "смешанном" состоянии, для которого каким-либо способом определены вероятности обнаружения "чистых" состояний, описываемых волновыми функциями, удовлетворяющими уравнению Шредингера. Такие системы обычно называют смешанными ансамблями, в отличие от чистых ансамблей, находящихся в определенных квантовых состояниях и определяемых каждое своей волновой функцией ф..
Поскольку проблемы квантовой статистической теории далее по-существу затрагиваться не будут, то речь ниже будет идти лишь о чистых ансамблях. В следующем параграфе мы более детально остановимся на свойствах волновых функций и на ряде математических аспектов квантовой механики. Зидичи 1. Написать выражение для оператора квадрата момента импульса Е = Х,„+ Х,, Л,. 2. Написать оператор Гамильтона для атома Ы; для иона Н2, для молекулы ЕлН. 3. Пусть имеется свободная квантовая система, гамильтониан которой явно от времени не зависит.
Пусть в момент времени ~ = О волновая функция (функция состояния) имеет вид: Ч~ = = с Ч', + с,Ч«,, где с, и с,— некоторые ~~стоянные, аФ, и Ч«, удовле- ! ! 2 2 я ° .~ творяют стационарному уравнению Шредингера для энергии Е, и Е„соответственно. Как будет выглядеть волновая функция в момент времени Р ~ 2.
Простейшие одномерные задачи Введение основных положений требует и развития определенного аппарата теории, а также обсуждения ряда вопросов, носящих вспомогательный характер, но определяющих структуру многих квантовомеханических выражений. Прежде всего имеет смысл остановиться на небольшом числе простых задач, иллюстрирующих то, как и какие рассуждения проводятся и какие результаты получаются в квантовой механике. и. Основные свойства волновых функций.
Рассмотрим ° сначала одномерное стационарное уравнение Шредингера с ~2 оператором Гамильтона и = — — — + У(х), которое можно за2т «~х2 писать, например, следующим образом: — = 2т(У(х) — Е)Ф . (1.2.1) 2 Существование второй производной требует, чтобы функция ~ была непрерывной вместе со своей первой производной. Вторая же производная определяется поведением потенциала ~(х): если он имеет точки разрыва, то разрывной в этих точках будет и вторая производная. Из физических соображений, связанных с вероятностным смыслом ~ц~(х)~ как плотности вероятности обнаружения 2 частицы в точке х, следует требование, чтобы функции ф были всюду ограниченными.
Вблизи любой точки х,, где потенциал ограничен, в том числе и там, где он разрывен (см. рис.1.2.1а), можно написать Ч = а, + а,(х — х,) + а„(х — х,)'-+ О(х — х,), (1.2.2) где ио, й, и й., — постоянные величины, О(х — х,) — функция, при (1.2.13) ф(х, «) = ф(х, Е)е"', (1.2.14) равен некоторой конечной величине Ъ', > О при х ~ О (см.рис.1.2.3). Слева от нуля (х < О), т.е. в области 1, уравнение Шредингера имеет следующие решения: ф, = А,е'"+ В~е "" - =а,соя йх + Ь,я'пйх, где а, = А, + В,, а Ь, = (А, — В,)«. Ради простоты получаемых выражений будем пользоваться экспоненциальным представлением функций ф,„. Постоянная Й определяется непосредственно иа уравнения Шредингера( — ~РЯх')~р, = 2тЕ~р,, так что А = с/2тЕ, где т — масса частицы, Š— ее энергия. Аналогично в области 11 (х ~ О) решение уравнения Шредингера ( — д"Ых')фц = 2т(Š— ~',)~) ц может быть записано в виде а)при Е>1~, 9ц, = Аце'~ + Вце ~, к = 2т(Š— 1'о); б) при 0<Е~Б 1~ ч)ц« = ае +Ье, Х = 2т(~о — Е) Поскольку Х в "фц — действительная положительная величина, а волновая функция при х — со должна оставаться ограниченной, то очевидно, что коэффициент а следует выбрать равным нулю, так что фц«, = Ье~ .
Рис. 1.2.3. Прямоугольная ступенька потенциала. Функции ~), и ~)ц, так же как и их производные, должны быть "'сшиты" в точке х = О, т.е. в этой точке они должны быть непрерывны, Эти два условия приводят к следующим ограничениям на коэффициенты в выражениях для функций ф, и фц. а) приЕ> ~о А+к Й вЂ” к Ац=аА1-РВР Вц= — ~И1+ав!,где и =, Р =;(1.2.12) 2к 2к б) при Е < 1~, А 1. й+й ' й — Х Таким образом, в данной задаче, в отличие от предыдущей, решения существуют при всех Е > О.
Эти решения, однако, различаются по своему поведению справа от точки разрыва для потенциала: над потенциальной "ступенькой" фц представляет собой линейную комбинацию двух экспонент от мнимого аргумента, или, что то же, линейную комбинацию синуса и косинуса кх, тогда как под ступенькой — это затухающая экспонента е ~, стремящаяся к нулю тем быстрее, чем больше Х, т.е.
чем ниже соответствующий уровень энергии. В классической механике такому потенциалу отвечало бы два типа движения; при Е > ~ материальная точка (шарик) двигалась бы, например, слева направо (от некоторого значения х < О при « = О) равномерно со скоростью ~), равной ее скорости в момент времени « = О и кинетической энергией т~.'/2; далее при прохождении над ступенькой ее энергия не менялась бы, а скорость уменьшалась скачком до величины ч = 2т(Š— Я, а при Е = ~ она в этой точке О останавливалась бы.
При Е < ~" картина иная: дойдя до ступеньки, материальная точка отражается от нее и с такой же (по абсолютной величине) скоростью, что и ч;, идет назад. Попробуем теперь понять соответствующую картину движения в квантовой механике. Для этого прежде всего нам нужно записать решения временного уравнения Шредингера на основе уже полученных решений стационарного уравнения. Любое частное решение имеет вид тогда как общее решение временного уравнения есть не что иное, как произвольная линейная комбинация таких частных решений: ~р(х,г) = ~~~ с„ф (х,Е ) е ' "', или, если учесть, что Е может принимать любое положительное значение, т. е.
любое значение на полуоси 10, с)о), вместо линейной в1п(й — /с')Е А — й' Рис. 1.2.4. Функция„ » = яп(А' — К)1-!Я вЂ” ~) 40 приходим к следующему равенству: М ЯИЕ'ШЕс (Е')с(Е)е' '~фхтр (х;Е')ф(х;Е)). (1.2.20) Интеграл, заключенный в скобки, отвечает в случае задачи с достаточно большим ящиком нормировочному интегралу для волновой функции ф(х; Е), а при Е' Е, т.е.
при и'. -и этот интеграл обращается в нуль. Постараемся сохранить такое свойство рассматриваемого интеграла в общем случае, положив ~'~1х~р* (х;Е')ц~(х; Е) = Ь(Е'-Е), (1.2.21) причем функция Ь(Е' — Е), называемая Ь-функцией Дирака, обладает двумя на первый взгляд простыми свойствами: а) Ь(Е' — Е) = 0 при Е' ° Е; Е2 б) ~'ДЕ' ('(Е')6(Е'-Е) = ДЕ), если Е принадлежит отрезку Е1 ~Е„ЕД, и равен нулю, если Е этому отрезку не принадлежит.
Полученная при таком подходе нормировка функции ф(х; Е) называется нормировкой на Ь-функцию. Соотношение (20) при этом переходит в следующее: Ж' =Я'~Е' 1Ес (Е') (Е)е'" "о(Е'-Е) =рЕ ~с(Е)~'. (1.2.22) Коль скоро по исходному построению последний интеграл конечен, то для нормировки всей функции Ч~ достаточно потребовать, чтобы вместо исходной функции с(Е) в интеграле стояла функция с(Е)/Ж, отличающаяся от исходной лишь числовым множителем. Без сомнений, нормировка на Ь-функцию пока что выглядит довольно формальной процедурой. Потребовались годы для того, чтобы обосновать существование Ь-функций, построить последовательности обычных функций, стремящихся к Ь-функциям, показать, каковы свойства Ь-функций помимо уже упомянутых и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
