Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(0.18) В антовой механике для функций ср, скалярн Р " ние обычно определяется интегралом вида < Р;~ Р; > )" Р;(х)Р,(х)(к, (0.17) если функции зависят от одной переменной х, либо интегралом по всей той совокупности переменных, от которых зависят функции ср и ср. Такое пространство функций носит название пространства 8,. ! Норма функции ср в этом пространстве (аналог длины вектора), определяется как !)~Р,.)) -< гР,.~гР,.

> ~-, причем для пространства 1/2 е,требуется, чтобы норма была конечна: < гР,.~у, > ~ и со. Функции, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными, тогда как функции у,.ф,~~ нормированными. Множество функций, взаимно ортогональных и нормированных, называется ортонормированной системой функций. В гильбертовом пространстве (понимаемом в математическом смысле этого термина) существуют так называемые полные ортонормированные системы функций ср,, или базисные системы, обладающие тем свойством, что любая функция ср из этого пространства может быть представлена в виде ряда <Р='~ с,<рре с,.= <~,~гр; >, носящего название ряда Фурье для этой функции.

В '"физическом" гильбертовом пространстве положение с представлением функций ср в виде рядов Фурье сложнее, в силу чего на более детальном обсуждении этих вопросов мы здесь останавливаться не будем. Отметим лишь, что наряду с суммами вида (18) в этих пространствах появляются и интегралы Фурье от множества функций, дополняющих набор входящих в сумму (18) функций до полного. Точно также, как и в конечномерных пространствах, в функциональных пространствах (в общем случае бесконечно- мерных) могут быть введены преобразования функций, т.е.

операторы А, различные по своим основным свойствам, матричные элементы операторов, представляемые скалярными произведениями функций ср, на преобразованные оператором А функции ср~' А" = ( гР;(А~(Р > (0.19) и т. и. Здесь также могут быть выделены линейные операторы и проведена их классификация, в частности, определены симметричные и кососимметричные операторы, эрмитовы, унитарные и другие типы операторов. Подробнее все эти стороны теории операторов б удут излагаться по мере представления аппарата квантовой механики.

Отметим лишь, что при необходимости получить более полную (и подчас более строгую) информацию можно обратиться к соответствующей учебной литературе либо, например, к "Математическому энциклопедическому словарю" ~М.: Советская энциклопедия, 1988), энциклопедии "Математическая физика" ~М.: Большая Российская энциклопедия, 1998), либо к книге Г. Коря и Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров", издававшейся несколько раз, начиная с 1968 г, ~в переводе с английского). Глава 1 Исходные положения квантовой механики ~ 1.

Основные понятия и постулаты квантовой механики Квантовая механика возникла в конце 20-х годов ХХ столетия'. Будучи тесно связанной по своим исходным представлениям с классической механикой, она обладает и рядом заметно отличающихся и необычных для классической механики сторон, затрудняющих ее понимание при первоначальном знакомстве с нею. К ней, как и к любой другой науке, надо привыкнуть.

Тем не менее, сегодня это уже хорошо сформировавшаяся наука, которую широко используют в физике, химии, молекулярной биологии и ряде других разделов естествознания, и без знания основ которой немыслимо понимание языка современной теоретической химии. а. Исходные понятия. Как и в любом другом разделе теоретической физики, в квантовой механике имеется система понятий, которые вводятся без каких-либо дополнительных определений и предполагаются интуитивно очевидными, например понятия пространства и времени. К ним относится и понятие элементарной частицы как некоторого точечного образования, характеризуемого массой т и зарядом о, а также, если есть в том необходимость, — и другими величинами ~например спином, см.

~ 5 гл.11). Вместо элементарных частиц часто используют термин "микрочастица", имеющий более широкое толкование, поскольку под микрочастицей может подразумеваться и система, составленная из элементарных частиц, но выступающая в рамках рассматриваемого круга задач как единое точечное бесструктурное образование с фиксированными массой, зарядом и другими характеристиками. Так, при рассмотрении атомных и молекулярных систем к микрочастицам относят атомные ядра, внутренней структурой которых в подавляющем большинстве химических задач можно пренебречь. Ее предшественница, так называемая старая квантовая теория, была введена датским физиком Нильсом Бором в 1913 г.

при объяснении спектров атома водорода; далее она была развита рядом исследователей, в частности немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом. Положение частицы в пространстве определяется при выбранной системе отсчета (системе координат) ее радиусом- вектором, либо координатами этого вектора. Помимо положения каждой частицы в системе микрочастиц считается заданным и момент времени ~, Предполагается, что наряду с указанными исходными понятиями в квантовой теории определены и многие другие аналоги представлений классической механики, такие как импульс частицы, ее момент импульса и т.п.

Однако, прежде чем говорить об этих величинах, остановимся на том, как определяется состояние классической и квантовой систем микрочастиц. В классической механике состояние системы в данный момент времени считается определенным, если известны положения всех входящих в нее материальных точек и их скорости (либо импульсы), а также связи, ограничивающие возможные перемещения этих точек.

В квантовой механике ситуация оказывается более сложной. Предполагается, что мы не можем точно указать положение каждой частицы в системе, эти положения могут быть известны нам лишь с вполне определенными вероятностями их появления (при измерении). Квантовое состояние считается заданным, если задана некоторая функция пространственных переменных частиц и времени, которая позволяет вычислить по определенным правилам не только указанные вероятности, но и все остальные характеристики системы частиц. Такая функция, называемая функцией состояния, или волновой функцией, очевидно, должна удовлетворять некоторому уравнению (или уравнениям), которое необходимо ввести наряду с правилами, позволяющими вычислить все требуемые характеристики системы.

Это уравнение по аналогии с уравнениями классической механики может быть названо уравнением движения. Как уже сказано, характерной особенностью квантовой механики с первых щагов ее создания была тесная связь с идеями и аппаратом классической механики. В частности, предполагалось, что уравнения квантовой механики, представленные в достаточно общей форме, должны переходить при определенных условиях, .например, при достаточно больших массах частиц, в обычные уравнения классической теории. Другими словами, если сформулировать каким-то образом понятие предельного перехода, то при таком переходе квантовые уравнения должны приобретать вид и смысл уравнений класической механики.

Это утверждение, названное принципом соответствия, играет фундаментальную роль в квантово-механических построениях. Оно было весьма сущест- венным на этапе создания квантовой теории, оно продолжает быть таковым и сегодня, когда развитие теории привело к необходимости выявления множества общих для обеих механик результатов и способов их описания, в частности при рассмотрении динамических задач. 6. Функция состояния и оиераторы на0людаемых. Поскольку положения частиц в пространстве и, соответственно, их скорости (или импульсы) не определены, то в квантовой механике нет понятия движения частиц в том смысле, в котором оно используется в классической теории.

В общем случае меняются лишь вероятности для каждой частицы системы быть в заданной точке пространства. Это приводит к тому, что нет и перемещений частиц как таковых, а следовательно, и нет смысла говорить, например, о скорости перемещения той или иной частицы. Подобные наводящие соображения подсказывают, что функция состояния, определяющая поведение квантовомеханической системы, должна быть функцией лишь координат частиц и времени, но не их скоростей или импульсов: Ч' = Ч'(г„г„..., г„; ~). Каждой физически наблюдаемой величине должно очевидно отвечать некоторое правило, позволяющее так преобразовать функцию Ч», чтобы с вновь полученной функцией можно было бы вычислить эту наблюдаемую, причем такое правило не должно зависеть от того, для какого состояния, определяемого функцией Ч~, наблюдаемая величина находится.

Другими словами, для каждой наблюдаемой А должен быть задан соответствующий ей оператор А (т.е. правило преобразования), переводящий функцию состояния Ч~ в новую функцию Ф, которая вместе с функцией Ч~ и позволит определить в конечном итоге численное значение этой наблюдаемой. Как определить последовательность действий при таком вычислении, необходимо было бы выяснять особо, однако вряд ли на даннном этапе делать это целесообразно, поскольку наводящие соображения хотя и весьма полезны, но заменить систему постулатов, аксиоматику теории не могут.

Характеристики

Список файлов книги