Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эта величина имеет смысл постоянного импульса свободной частицы, движущейся вдоль оси х. В трехмерном случае собственной функцией для операторов р,, р, и р будет следующая: М(г К)= А д /л (1.3.7) где г — радиус-вектор частицы, а К вЂ” так называемый волновой вектор из собственных значений операторов р (и = х, у, г), т.е. из А,,А ий,. 4.
Наконец, еще один пример, который был фактически рассмотрен выше: если потенциал для квантовой системы явно от времени не зависит, то волновую функцию, являющуюся решением уравнения Шредингера, можно записать в виде произведения двух сомножителей, из которых один зависит только от времени, а другой (функция Ч~) — только от пространственных переменных. Сомножитель Ч~ является решением стационарного уравнения Шредингера ИФ =ЕЧ', представляющего собой не что иное, как уравнение на собственные значения. Собственные значения оператора Гамильтона Н в общем случае могут относиться к дискретному спектру (задача предыдущего параграфа о частице в потенциальном ящике с бесконеч- она также является собственной для А с тем же собственным значением а: А(с,<р + с,»р) = с,А(р + с,А»р а(с,~ + с,»р) Запишем интеграл <»р~с,<р + с,~р> = с,<~фр> + с,«»р~»р> и подберем коэффициенты с, и с, так, чтобы правая часть этого равенства обратилась в нуль.
Ради простоты при этом будем предполагать, что функция ф обладает интегрируемым квадратом модуля. Следовательно, с, можно выбрать равным — с,«»р~~р>/<Ч»~»р>. <»р~(р > Тогда новая функция Ф = с,(1) + с,ф = с,(г1)— ф) будет <»р~»р > собственной для А с собственным значением а и, кроме того, ортогональной ф, так что вместо двух исходных функций (р и ф можно взять без потери общности эквивалентный им набор двух линейно независимых функций ф и Ч», которые уже являются взаимно ортогональными. Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям.
Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу. Средние значения опера- тора А на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях. д. Полнота системы собственных функций зрмитова оператора. В задаче о потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками мы получили собственные функции 2.
пк А Ч»„= — Йп — х + —, и = 1, 2, ... ( — Х,/2 ~ х ~ Х.!2), (1.3.10) Х. А 2 которые при таком выборе постоянного множителя перед синусом нормированы на единицу и, как нетрудно убедиться, взаимно ортогональны. Ради простоты дальнейших рассуждений сместим начало отсчета для координаты х на Ц2 влево, т.е. поместим начало отсчета у левой стенки потенциального ящика. Тогда функции Ф„перепишутся так: Ч» = ип — х„ц = 1, 2, ... (О ~х ~Х.), (1.3.11) Эти функции на концах отрезка ~О„Ц обращаются в нуль. Хорошо »(х) = ~~' < Ч~„~ » >»Р„(х) .
и 1 Система любых функций Ч» (х), л = 1, 2, ... называется полной, если произвольная функция из рассматриваемого пространства, например З„допускает представление в виде ряда (13). При этом (1.3.13) известно, что любую функцию Ях), заданную на конечном отрезке ~О, Ц и удовлетворяющую условию ЯО) =ф'.), можно представить в виде ряда Фурье: лк Дх) - ае + ~» а, в)в — х. л-1 Х. Если ДО) = О, то а = О, так что любую такую функцию можно записать в виде ряда по собственным функциям Ч»: Л ) = ХЬ.Ч„( ), Ь„=.„К (1 3 12) )Ч=1 Следовательно, для всех возможных линейных комбинаций (в том числе и с бесконечным числом членов) функции Ч» (х) образуют своего рода базис, в котором и записываются эти линейные комбинации.
По аналогии с обычными векторными пространствами (например, в трехмерном случае, когда любой вектор о записывается в виде (Ь 1 + Ь~ + Ь К), функции Ч» (х) называют базисными, либо говорят о них как о базисных векторах (по своей роли аналогичных векторам 1, ~ и 1с, только в бесконечномерном пространстве). На этом языке формула (12) интерпретируется следующим образом: все возможные (конечные или бесконечные) линейные комбинации базисных векторов Ф (х) образуют линейное пространство З„в котором любой вектор Ях) может быть представлен в виде (12).
Для нахождения коэффициентов Ь, определяющих заданную функцию ~(х), можно поступить следующим образом. Умножим обе части равенства (11) слева на Ч» (х) и проинтегрируем по х от 0 доХ.: ». ОО ~Ч' (х)Дх)Ых = <»Р ~» > = ~~~'Ь„< Ч» ~»Р„>. О и 1 Коль скоро функции Ч» ортогональны и нормированы (т.е. ортонормированы), то <Ф„~Ч~„> = Ь, где ܄— символ Кронекера.
Учитывая это обстоятельство, сразу же находим: Ь = <Ч~„1 г>, так что 50 само пространство 8, включает все функции, обладающие интегрируемым квадратом модуля (отсюда индекс 2 у символа 8,) и удовлетворяющие граничным условиям ЯО) = ЯХ.) = О. Можно показать, что любой эрмитов оператор А обладает полной системой собственных функций, так что любую волновую функцию квантовой системы частиц можно представить в виде ряда по собственным функциям такого оператора.
Если у оператора А есть наряду с дискретным также и непрерывный спектр, то такое разложение в ряд приобретает несколько более сложный вид: ((х,,..., х т ) ~~'а„Ч'„(х1,..., х т ) + ) а(Е)Че (х1,..., хт )Ж, (1.3.! 4) сумма берется по всем собственным функциям Ф дискретного спектра, нумеруемых индексом п, а интеграл — по всем функциям Ч' - непрерывного спектра. е. Замечание. В квантовой механике волновые функции обычно считают принадлежащими гильбертову пространству 4), под которым в функциональном анализе подразумевается следующее ~см. также '"Краткую вспомогательную сводку..." перед гл.1). Во-первых, это линейное пространство, т.е.
в нем определены операции сложения и умножения на действительные или комплексные числа. А во-вторых, в ф введена числовая функция <цсбр> от пары элементов зр н ~р, называемая их скалярным произведением и удовлетворяющая следующим аксиомам: 1. <~р, + ц~,~<р> - <ц~,~~р> + <ц~,(<р>; 2. для любого числа а: <ф!а<р> = а<ф~<р>; 3. <ц~((р> = «р~ф>*; 4.
<цф~» 0 при ф ~ О; <ц1!1р> = 0 тогда и только тогда, когда ~1) = О. Скалярное произведение для волновых функций определяется уже не раз использованным интегралом: < ф9 > - ) гр" цниат, где интегрирование ведется по всей области изменения переменных, от которых зависят волновые функции. Скалярное произведение функции зр на себя определяет ее норму 11ф11 = <ц1 ~~~>'"1, а "расстояние" между двумя функциями ф и (р полагается равным р(ф, ~р) - <ц~ — ~р ~ф — ~р>'". (Г(омимо двух указанных выше требований, для гильбертова пространства часто вводят и третье: это пространство должно быть полным в том смысле, что для любой сходящейся последовательности Коши его векторов, т.е.
функций ф, предел существует и принадлежит этому пространству). Эрмитовым оператором А в гильбертовом пространстве называется оператор, для которого <~р~ч!ц» = <Аф~ц». Если этот оператор является к тому же и ограниченным ~т.е. таким, для которого отношение !1А~р 1! / !!ц~ )) ограничено при любой функции из ф), то он называется самосопряженным.
У самосопряженного оператора все собственные значения ограничены. В квантовой механике, особенно при первоначальном ее построении, понятия самосопряженного и эрмитова оператора не различают: при первом знакомстве можно не делать различий между гильбертовыми и конечномерными пространствами. Тем не менее, эти различия есть.
Например, не все собственные функции эрмитовых операторов, определяемые как решения соответствующих уравнений на собственные значения, в общем случае принадлежат гильбертову пространству. Поэтому приходится переходить к некоторым более общим конструкциям, называемым оснащенными гильбертовыми пространствами, в которых системы собственных функций эрмитовых операторов полны. Обсуждать подобные конструкции мы не будем, ограничившись лишь указанием на необходимость их введения при строгом построении теории квантовой механики.
Задачи 1. Убедиться, что операторы координаты х, импульса р, момента импульса Х,, а также их квадратов х', р ' и А ' линейны; показать, что оператор перестановки Р,, также линеен. 2. Пусть в классической функции Гамильтона для одной частицы встречаются слагаемые хр„и хр„. Как построить 2 2 отвечающие им квантовомеханические операторы, которые являются эрмитовыми? 3. Найти следующие коммутаторы: ~зх, р ), (х, р ), (х', р), И ° Р.'1 1х ~,1 1х ~,1. 0Р,.~'-Л Ы. ~,1 1Р ~у 1. ~4. Матричное представление операторов а.
Разлолееиие по базису. Функция ~р, которая получается при действии линейного оператора А на некоторую функцию ф: ~р = = Аф, предполагается обычно принадлежащей тому же пространству 8,, что и исходная функция ф. Если в этОм пространстве элементы. Для оператора координаты они будут следующими: 2 . кт . кп х „-~у (х)хзр„(х)Нх= — ) з1п — х хв1п — х Их = О О 1е Й(т-л) 1А Й(т+л) = — Гхсоз х ах — — Гхсоя х ~й, где использовано соотношение гмпо,япр = соя(а — Р) — сов(а+ Р). 1 Интегралы ~'х сов Хх 0х = — ~х Н~яп ~х) можно взять по частям, Х что приводит к соотношениям (и р и): 8Х.
тп ЖП 2 2 если т и нечетно' и т — и т+и х = О, если и — и четно. РИП Кроме того, х = Е!2. Следовательно, матрица Х оператора координаты будет иметь вид: 16 2 1 2 48 25к~ 0 (1.4.б) 0 0 Аналогично можно найти и матрицу оператора импульса р,: 4 тп р1 =И— , если т — и нечетно, и 1р 1 = О, если т — и ~'ти т 2 2 ~lтп — и четно, в том числе при и = и: 0 2/3 0 4/15 — 2/3 О 6/'5 0 Π— 6~5 О 12/7 (1.4.7) А 161 321 Ч~ хЧ11 Ч~1 2 Ч2 2 Ч~4 * (1' ~ "8) г 9 2 225-' Эти выражения нам потребуются в дальнейшем при рассмотрении переходов между различными состояниями частицы в потенциальном ящике. в.
Матрицы зрмитовых операторов. Соотношение, определяющее эрмитовы операторы <<р ~А~ф > = <Афф>, при записи его для базисных функций ф и ф приводит к тому, что А „= <Ф ~ 4 ~ Ф„> = <АЧ ~Ф„> = < Ф„!А~Ч > = А„ Следовательно, матрица А является эрмитовой: при переходе одновременно к транспонированной и комплексно-сопряженной она не меняется (1.4.9) А жА =А. Это обстоятельство позволяет нам сразу же воспользоваться всем тем богатым арсеналом средств и результатов, который накоплен в теории матриц для эрмитовых, или самосопряженных матриц, по крайней мере в тех случаях, когда оператор может быть представлен в базисе конечной размерности (например, в том или ином приближении).
В частности, известно, что эрмитов оператор в п-мерном пространстве имеет и собственных векторов с, (г = 1, 2, ..., и), которые можно записать в виде вектор-столбцов: Ас„= а с. (1.4.10) Собственные значения а матрицы А вещественны, а собственные векторы взаимно ортогональны: с, с = О при ~ ~~. К тому же они Зная эти матрицы, можно сразу же сказать, что будет получаться при действии оператора координаты или импульса, а также различных их произведений на произвольную функцию, заданную на отрезке 10, Ц и обращающуюся в нуль на концах его. Так, собственной функции ф, отвечает вектор из коэффициентов Х,, у которого лишь первая компонента равна 1, а все остальные равны О.
Следовательно, при действии на ф, оператора координаты получается функция ~р = = хф, = ~~» н;ф;, у которой коэффициенты р. определяются матрич- ~-1 ными элементами х, матрицы Х: всегда могут быть нормированы на единицу: с; с; = 1. Если последовательно выписать вектор-столбцы с, в виде строки (с„с„..., с ), то получится квадратная матрица С. Умножим зту матрицу слева на матрицу А. Тогда по классическому правилу "строка на столбец" в полученной матрице на месте столбца с, получится столбец Ас, т. е.
каждый столбец с умножится на соответствующее число а,: АС = (а,с„а,с„...„а с ), а зто в свою очередь будет означать, что матрица С умножится справа на диагональную матрицу а, составленную из собственных значений а.: АС = Са. (1.4.11) Поскольку столбцы матрицы С взаимно ортогональны и нормированы на единицу, эта матрица неособенная и более того — унитарная (либо ортогональная, если А — вещественная): С~С= 1, что в конечномерных пространствах означает и справедливость равенства СС = 1. Умножая соотношение (11) на С~ слева, придем к выражению С~АС= а, показывающему, что эрмитова матрица А может быть преобразованием базиса с помощью унитарной (ортогональной) матрицы С сведена к диагональному виду. В зависимости от того, какая система базисных функций выбрана, оператор А будет представляться различными матрицами, однако у всех этих матриц собственные значения будут одни и те же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
