Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(1.5.8) 1=0 Тогда, пользуясь тем, что сумма не зависит от обозначения индек- са, по которому ведется суммирование, можем написать: ~2я — - ~~' Ф вЂ” 1)а;у' = ~ [1 + 2)[1+ 1)а;,зу', ау 1=0 поскольку индекс суммирования ~ можно заменить на ~ + 2 с соот- ветствующим изменением пределов суммирования.
Кроме того, Ю 2у — = 2~ 1а;у', Ф' г=О а уравнение (5) переходит в следующее: ~~'[[г + 2)[1 + 1)а;,~ — 2[! — п)а;1у' = О. г О Чтобы это равенство выполнялось при любом у, требуется обраще- ние в нуль всех коэффициентов ряда, т.е. а+2 =2 (1.5.10) (г+2)(~+1) Если и фиксировано, то при достаточно больших ~ можно написать а,„/а 2Д' = 2/~, т.е. отношение этих коэффициентов такое же, как и отношение двух последовательных коэффициентов 2 2у2 2' 2 в разложении е У по степеням у'. е = ~ — у . Следовау! тельно, этот ряд при больших у в общем случае должен вести себя как указанная экспонента, т.е. стремиться к бесконечности. С учетом представления функции ф в виде 5(у)е у ~ можно сразу сказать, что такое решение для описания функций дискретного спектра не годится. Тем не менее решения, которые приемлемы для описания функций дискретного спектра, у данной задачи существуют.
Действительно, если и — целое положительное число или нуль, то при 1 1 Е„= — и+— и+ — =0) и+— и 2 2 2 Величины Е определяют энергию гармонического осциллятора. Они образуют дискретный спектр, и только при этих значениях Е у исходного уравнения (3) имеются решения, стремящиеся к нулю при ~х~ — оо. Эти решения, как можно показать, обладают интег- (1.5.12) 3 -2 -1 О 1 2 3 У Рис. 1.5.2. Волновые функции низших состояний гармонического осциллятора. ~ = и коэффициент а,„, как, впрочем, и все последующие коэффициенты, обращаются в нуль. Следовательно, при целом и > вместо исходного ряда (8) для Ь(у) получается полином конечнои степени и. В этом полиноме коэффициенты а, и а, задаются„вообще говоря„произвольно и старшим членом служит а у" где а 11 П получается последовательным применением формулы (10) до г = и — 2.
Характерно то, что формула (10) связывает коэффициенты а „и а, Поэтому, если одновременно и а„и а, отличны от нуля, то либо для четных, либо для нечетных Х ряд оборвется на и-й степени, тогда как на нечетных (либо на четных) ~ он продолжится до бесконечности. Чтобы не возникало опять неприемлемых решений, нужно ввести еще одно условие: коэффициент а либо а (в зависи- 1 о мости от четности и ) должен быть принят равным нулю. Такие полиномы конечной степени обычно обозначаются как Н (у). Итак, мы получили окончательно решения в виде: ф„= Н„(у)е=''2 (и = О, 1, 2,...) (1.5.11) и, поскольку в уравнении (5) и имело вид, приведенный в формуле (4), то (1.5.13) где А — нормировочные коэффициенты. Графически эти функции представлены на рис.1.5.2, причем для наглядности каждая из функций изображена возле отвечающего ей уровня энергии, так что для каждой из функций по оси ординат отложено ее значение (а не энергия!), и нулем отсчета служит соответствующий энергетический уровень.
Полиномы О(у), обычно называемые полиномами Эрмита, были впервые исследованы русским математиком П. Л. Чебышевым (1359 г.) и французским математиком Ш. Эрмитом (1864 г.). Они допускают несколько различные представления, в частности 2 Д 2 5„(у) = (-1)" еУ е " . (1.5.14) Иу При такой записи полиномов Эрмита для функций ~) (6)„которые по аналогии называют функциями Эрмита, нормировочными множителями служат величины В = (2"и( ~Б ) "2, так что ц~„=(2"лЬ/л) ч~о„(у)е У '2. (1.5.15) Множители В связаны с коэффициентами А в равенствах (12) весьма просто: А = В 2"", если и четное, и А = 2'"")" В, если и нечетное.
в. Оиераторы иовышения — юонижения. Задача о гармоническом осцилляторе играет весьма заметную роль в квантовой рируемым квадратом модуля (и могут быть нормированы), а как собственные функции эрмитова оператора Н в уравнении (3) они должны быть к тому же взаимно ортогональны. В этом спектре все соседние уровни отстоят друг от друга на одну и ту же величину а. Сравнение с классичесюй задачей показывает, что у квантовомеханического осциллятора в отличие от классического энергия зависит только от частоты и может иметь только определенные, дискретные значения (называемые уровнями энергии).
Волновые функции низших состояний таковы: 2 Ф,= Аое ~ 2~~ Ф,=А1уе "" 1)г= А (2у -1)е "Фз = Аз(2у — Зу)е Ф„А4 (4у — 12у + 3) е " ~ механике, поскольку она позволяет не толью получить аналитические решения, но и проследить различные подходы к их нахождению. Один из таких весьма примечательных подходов заключается в построении операторов, которые переводят одну собственную функцию в другую. Оператор, который из функции ф и-го энергетического уровня получает собственные функции более высоких уровней, называется при этом оператором повышения, а более низких — оператором понижения.
Как строятся подобные операторы для задачи о гармоническом осцилляторе, можно без труда понять из вида собственных функций (15) и представления (14), а также вида коэффициентов В„. Так, ~у„= В„Я„(у)е У ~ =(-1)" В„еУ вЂ” „е У 2~2 2~~ д И 2 4у ду" ' 1)н 8 у /~ се у /1 у /2 се у ф Ду Выражение в скобках есть не что иное, как (-1)" 'В„'1~р„,, что позволяет далее после ряда простых операций написать В„д 1 И Ч.= у- — Ч. = — у- — Ч.
(у). В„, Ну ~/2л лу Очевидно, что в качестве оператора повышения от некоторого уровня и — 1 к следующему уровню и должен выступать оператор И г — ..И ч2п у — — = ч2п у — ~ — г — . Стоящее в круглых скобках ~у ~у выражение есть не что иное, как записанныи в атомных единицах оператор импульса, канонически сопряженного переменной у. Обычно в качестве оператора повышения берут лишь оператор, стоящий в скобках, ибо тогда он не зависит от и, и обозначают его как а,: а — р + ц~. (1.5.16) Умножение оператора а, слева на оператор а = р — ~у позволяет получить последовательность равенств: г+,г+ 1 где при переходе к последнему равенству учтено то, чему равен коммутатор импульса и координаты.
Нетрудно заметить„что оператор р '+ у' тесно связан с оператором Гамильтона (7) исходной 'иР И Ф и 0 д ~;в - — — 1п ~е ~ф 80 распределения основного состояния, тогда как по мере роста и среднее распределение у плотности становится также все более похожим на классическое. И еще одно существенное отличие от классической картины заключается в дискретности энергетического спектра. Гем не менее, если имеется система из большого числа гармонических осцилляторов, которые могут обмениваться друг с другом энергией (как это происходит — пока не важно), то в такой системе устанавливается термодинамическое равновесие, причем число осцилляторов с энергией Е при равновесии пропорционально, как следует из статистической термодинамики, больцмановскому множителю е ", где Й вЂ” постоянная Больцмана, а Т вЂ” темпера-к„/йт тура системы.
Средняя энергия такой системы определяется равенством Л 'Р е-е.ят причем в знаменателе стоит число, пропорциональное полному числу осцилляторов в системе. Если Е„= со(и + 1~2), то Е вычисляется довольно просто. Заметим, что где р = 1ИТ и, кроме того, е ~'р - е ""ее ~~~, так что ~~' е е"и = -оф/2 с~ -оиф = е ~„е представляет собой (с точностью до множителя е "~2) сумму убывающей геометрической прогрессии с начальным членом 1 (и = О) и знаменателем а = е "Р. Эта сумма, как хорошо известно, равна (1 — е "Р) '.
Следовательно шр «оя 0) Оэе ~ 0) (О Еср = — — — — — 1п(1 — е """) = — + = — + дР 2 > 1 -оф 2 оф (1.5.22) Если бы отсчет энергии велся не от минимума потенциала, а только от нулевого уровня Е„то в этом выражении для Е,„остался бы только второй член, который обычно и записывается для средней энергии. Классическое выражение для Е,„включает вместо суммы (21) интеграл вида: ~ Ее "~НЕ Е 0 1 ср ~е ~рНЕ 0 что соответствует выражению (22), если ь достаточно мало по сравнению с Р и экспоненту е"Р можно разложить в ряд, ограничившись далее линейным членом по оф: ń— Ы2 1/~ = Е „.
Если же со~ а 0,2, то необходимо брать и члены более высоких степеней по со~3, что в свою очередь повлечет за собой заметные различия не только в энергии, но и в других термодинамических свойствах. 1. Используя выражения для Х и Х, найти среднее значение квадрата импульса р2 в состоянии ф . 2. Дать качественное обоснование тому, как будут вести себя уровни энергии при переходе от потенциала Ах'/2 к потенциалу: а) (~~у2,~2)+ ах + ~); б) ~х4; В) -~~х2/ > (Й ~0) Указание: использовать решения для прямоугольного потенциального ящика, барьера и гармонического осциллятора.
3. Найти квантовое и классическое выражение для тепло- емкости с = аЕ!ИТ системы гармонических осцилляторов. х = ~ япо' сояр, у = у' $1пд' 81пц), ю = г соьО. (2.1.2) Глава И Центральное поле н момент количества движения ~ 1. Движение частицы в центральном поле В предыдущей главе были рассмотрены простейшие одномерные задачи, при изложении которых наметились те характерные различия результатов, которые присущи классическому и квантовомеханическому описанию одних и тех же систем. Описание поведения частицы в трехмерном пространстве, находящейся в некотором потенциальном поле, является следующим этапом на пути перехода к квантовомеханическому анализу столь сложных объектов, какими являются атомы и молекулы. Потенциал, в котором движется частица, может быть достаточно произвольным, однако начнем мы с наиболее простой задачи о частице в центральном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
