Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Масса жидкости, переносимая з единицу времени и через единицу пдощади пульсационным движением в поперечном направлении к скорости осреднеиного течения, будет представляться в виде произведения плотности р на молуль проекции вектора скорости пульсации 'ч>'). Эта масса о ~о') переходит из положения, в котором скорость осреднвнного течения представляется в виде У(у), в новое положение, для которого скорость осреднзнного потока будет равна (7(у+р) ==(7(у)+р — '„" — ', иу г>е Р— частное значение пути псремешивания.
Первая гипотеза в теории Прандтля заключается в том, что составляющая вектора скорости пульсации в направлении скорости основного потока и' считается прог>орцнональноя разности скоростей осреднднного течения в точке У(у+ 1) и в той точке, из которой рассматриваемая масса была смещена пульсационным движением У(у), т. е. (5.7) Прн этой гипотезе количество движения, перенесвнное пульсационным лви>кеннем в поперечном направлении к скорости основного потока, булет представляться в виде Р.з = 89~о',Р ~ , ...ау (5.8) ч= — Ы '1р — „, иу ' (5.9) >) Р г а и й >! Г, 8. !.
зпйеч>, Ма%. ш Месж, >и. 5, !925. где р - — чис.ювои коэффициент. Равенство (5.8) представляет собой простейшее в>лражение закона турбулентного переноса количества движения. Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для турбулентного переноса теплоты !гл. хп тугаулентное даижениа где Π— температура, и для турбулентного переноса количества взвешенных в жидкости частиц получям: >>г == — рр ) и' ~!' — л, лу ' (5.10) гле а — концентрация взвешенных частиц. Во всех этих выражениях множители р, и' и 1' могут меняться от точки к точке. Чтобы равенство (5.8) сделать более определенным, принииается вторая гипотеза, согласно которой вторая составляющая вектора скорости пульсации и' считается пропорциональной первой составляющей, т.
е. о' — и. (5.1 1) При использовании двух гипотеа (5.7) и (5.!1) и при ввелеиии в рассмотрение осредненного значения пути перемешивания 1, включа>ощего в себе и числовой множитель !), касательное пульсационное напря>кение по теории Прандтля будет представляться в виде р р!а ) . ли ли лу лу ' (5.! 2) (5.13) ! = ху, и 2) турбулентное трение постоянным, т. е.
(5.! 4) ~ ЯУ вЂ” ЕЕ то будем иметь из (5.12): (5.15) Проводя интегрирование, получим формулу так называемого логарифмического профиля распределения скоростей в турбулентном Тот фант, что в (5.12) одна производная берется по модулю, а вторая — по алгебраической величине, объясняется тем, что при возрастании скорости осреднанного течения с увеличением расстояния у компонента турбулентного трения будет положительной, а при убывании скоростя †отрицательн. Таким образом, в теории Прандтля устанавливается нелинейная связь между турбулентным трением и градиентом скорости основного потока в поперечном направлении с переменным коэффициентом, представляющим собой квадрат пути перемешивания, Чтобы получить какие-либо конкретные результаты из (5.12), прихолится прибегать к дополнительным прелположениям, правильность которых в ограниченных пределах может подтверждаться только после сравнения результатов расчата с результатом измерений при соответственном выборе значений безразмерных постоянных.
Так, например, если принять; 1) путь перемешивания линейно зависящни от расстояния от стенки, т. е. У=- ' 11 "(!и у+ 1). (5.16) Эта формула хорошо подтверждается экспериментом, если для постоянного множителя в (5.18) взять значение х=0,4. (5.17) Отношение касательного напряжения к плотности имеет размерность квадрата скорости, поэтому множитель т/ — ' называется <скоростью т, касательного напряжения» или динамической скоростью (ой 8) Формула (5.16) не может применяться к частицам, находящимся на бесконечно близких расстояниях от стенки.
Неопределенная постоянная в (5.16) может быть опрелелена яз условия на средней линии, на которой осредненная скорость принимает максималыюе значение, т, е. у = Л, (У =х У.„„. При выполнении этого условия и при использовании обозначения (5.18) формула (5.16) для логарифмического профиля распределения ско- ростей представится в виде Ушах — У ! у = — — !п —. а' (5. 19) Заметим, что если в первом уравнении (5.6) пренебречь слагаемым с коэффициентом вязкости, учесть, что при гипотезе (5.7) в рассматриваемом случае компонента пульсаиионного напряжения Р может считаться не зависящей от х, и учесть (5.8) с заменой /а'!Р через — а'1, то первое уравнение, выражающее собой условие равновесия снл давления н турбулентного трения, представится в виде (5.20) Перейдем теперь к краткому изложению теории Тэйлора '). Прежде всего автор обращает внимание на то, что в теории Прандтля принимается, что масса, перемещаемая в поперечном направлении к скорости основного потока пульсационным движением, сохраняет до перемешивания свое количество движения, которое всб же может изменяться благодаря местным пульсациям давления.
') Та у!о г !., Ргос. о! !Ье Кг>уз! 5ос 5. Л., пь 135, 1932, перев. е сборнике «Проблемы турбулентности, ОНТИ, 1936. 9 5) полтэипивичвскив таоеин тттвтлвнт>гости 469 потоке 470 (гл. хп туРБулентнОе движение д» м ду ' (5.21) Для прямолинейного осредненного течения вихрь б> дет представляться в виде ыи 2 г1у' Следовательно, пульсация напряжения вихря в рассматриваемом случае будет; г' (5.22) Возьмем теперь уравнение плоского движения в проекции на ось х без Учата вязкости ди д ГР из+- Ре ) Полагая в этом уравнении и =(1+и', н ==' О . ы =.
го+ ы, проведем осреднение и примем скорость осредненного течения не зависящей от времени, а среднее значение квадрата скорости не зависящим от х. При этих предполонгениях получим: — 1 дгг — 2м'о' = — —— р дх Подставляя значение пульсации вихря из ~5.22) и сохраняя знак осреднения над произведением 1н', получим слелующее окончательное урав- По этой причине им было обращено основное внимание не на перенос количества лвижения, а на перенос завихренности, на изменении которой не сказываются местные перепалы давления, так как при веучете влияния вязкости взвихренность неотлелима от частицы, т.
е. ка>ггдая частица сохраняет свою завнхренность при движении. Дальнейшие рассуждения в теории Тэйлора схолны с рассуждениями в теории Прандтля. Масса жидкости, переходя из одного горизонтального слоя (у) в другой (у+1) благодаря пульсанионному движению переносит с собой вихрь. Перемешиваиие завихренности может произойти тогда, когда величина поперечного смещения будет превышать длину пути перемешивания 1. При этом принимается, что пульсация напряжения вихря пропорциональна разности взвихренности осреднзнного течения в рассматриваемых слоях, т, е. 9 б) полуэмпиеичвскив твогии тугвулвнтности 471 пение в теории турбулентности Тэйлора: др †, д'и дх т1уе ' 43.23) т) Тв, туоп Кйг ш й и, Наскг1ск1еп б.
Осз б, Ъшшеп. хо Оон1пяеп, 1930, русский перев, в сборнике сйроблекы турбулевтностик ОНТИ, 193б, Сравнивая уравнения (3.20) и (5.23), мы видим, что эти уравнения различны в своих правых частях. Правые части этих уравнений будут совпадать только тогда, когда срелнее значение произведения пути перемешиванкя на поперечную составляющую вектора скорости пульсации не булет зависеть от расстоянияу. В своей статье Тэйлор указывает на то, что различие >казанных теорий должно обнаруживаться при сравнении распределения скоростей осреднвнного течения и температуры позади нагретого цилиндрического тела.
По теории Прандтля распределение скоростей н температур лолжно быть одинаковым, а по теории Тэйлора распределение скоростей не должно совпалать с распрелелением температур. Приведенные в работе экспериментальные данные подтверждают это различие распределения скоростей и температур в потоке позади нагретого тела. Однако при обтекании плоской нагретой пластинки распределение температур совпалает с распределением скоростей. В заключение Тэйлор указывает на то, что теория турбулентности на основе переноса вихрей согласуется с теорией турбулентности на основе переноса количества движения для того случая, когда поле скоростей пульсаций является плоским и перпендику.лярным к вектору скорости осредненнаго течения гсоставляющая, параллеаьная скорости основного потока, отсутствует).
Таной именно случай булет иметь место для течения вблизи неподвижных стенок, Если же осреднйниое течение и пульсационное движение будут происходить в одной и той же плоскости, то обе теории будут приводить к разным результатам. Общим в рассмотренных двух теориях турбулентности является то, что в исходных рассуждениях прослеживается лвнжение фиксированной частицы до ее перемешивания с другими, т. е.
используется подход к движению жилкости с точки зрения Лагранжа. В теории турбулентности, предложенной Карманом' ), с начала ло конца используется подход к изучению движения жидкости с точки зрения Эйлера, т. е. с точки зрения рассмотрения полей скоростей и лавлеиия. Область, занятая жидкостью в турбулентном движения, рассматривается, с одной стороны, как единое поле скоростей осреднбнного движения жидкости, а, с другой стороны, как множество полей пульсационного движения жидкости в окрестности каждой геометрической точки. Затем принимаются следующие две гипотезы: 1) структура полей пульсаций и его масштабы не зависят от вязкости, за 472 1гл. Ен тувзулентное дВижение ,ы ии ау яу Поскольку размерность первой производной есть то в качестве масштаба времени для поля пульсаций можно выбрать величину, пропорциональную обратному значению первой производной по у от средней скорости, т. е.
1 Т вЂ” —. сг ьГ Йу 15.24) В таком случае на основании размерностей скоростей пульсациИ и и о' н высказанной выше гипотезы подобия полей пульсаций можно положить: нег и' — —. — ! —, ? ф' аи о' .— 1 —. Т ЛУ' (5. 25) Таким образом, выбором масштаба времени в виде (5.24) гипотеза о ~годобии полей пульсаций приводит к тем же результатам, к которым приводит теория Прандтля о пути перемешивания, В то же время гипотеза о подобии позволяет получить и совершенно новый результат, непосредственна не получающийся иа теории пути перемешивания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
