Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Последним обстоятельством и следует объяснить тот факт, что первые попытки введения дополнительных соотношений между неизвестными функциями в уравнениях (3.16) относятся как раз к наиболее простейшему случаю осрелнднного движения, каковым является прямолинейное движение между неподвижными параллельными стенками. Законов>ериости установившегося турбулентного движения в цилиндрической трубе, как уже было указано выше, хорошо были изучены экспериментально. Ииеется много косвенных оснований к тому, чтобы считать законол>ерности установившегося турбулентного движения между неподвижными стенками достаточно близкими к закономерностям турбулентного движения в трубе. А раз это так, то естественно было вяачале ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинал>и для прямолинейного осреднднного лвижения между параллельными стенками, провести соответственные расчйть> и затем сравнить результаты этих расчдтов с результатами измерений.
По этому пути н развивалнсь некоторые теории, которые получили название лолуэжлирических теорий ту)>- булекткогти. Компоненты тензора пуяьсационных напра>кеннй (3.11) составлены из проекций вектора скорости пульсации в одной точке потока. Если ввести в рассмотрение проекции двух векторов скоростей пульсации в двух точках потока, то можно образовать из них ~руину парных произведений и затем их осреднить по времени. Таким путем иы получим новый тензор, который получил название текзора яояектов связи второго порядка Ф>) = о>юу, тле о>', ов' и о'„— проекции вектора скорости пульсации в одной точке, а о,", о,," и ов — проекции вектора скорости пульсации во второй точке. Аналогичным путям можно составить группу моментов связи между пульсанионными скоростями третьего порядка > е П>уд = осо>соа. Дифференциальные уравнения турбулентного движения с использованием моментов связи различных порядков были предложены 453 туги лвнтнок движвнии рл.
хп впервые А. А. Фридманом и Л. В. Келлером г), С введением моментов свяаи увеличивается количество неизвестных функций, и количество соответственных уравнений и выравнивание числа уравнений с числом неизвестных функций могут быть произведены с помощью отбрасывания моментов высших порядков, как это, например, сделано в работе М.
Д. Миллионщикова э). Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова з), А. М. Обухова '), Л. Г. Лойцянского з) и др, В статьях В. Г. Невзглядова з) была сделана попытка ввести дополнительные соотношения по аналогии с (3.13) между тензором пульсационных напряжений и тензором скоростей деформаций от осреднанного движения с той лишь разницей, что вместо постоянного коэффициента вязкости вводится переменный коаффициенщ турбулентного обвела, зависящий в общем случае от инвариантов тензора скоростей деформации.
В 4. Теоремы о рассеянии энергии для турбулентного движения Внутри области, занятой жидкостью в турбулентном движении, возьмем конечный объем -. с ограничивающей поверхностью 8. Для кинетических энергий полного движения, осреднбнного движения и пульсационного движения жидкости в конечном объбме т будем иметь выражения 2Т= р ~ ) ~ Ъ'~п'т, (4.!) (4.2) (4.3) Подставляя в правую часть (4.1) выражение квадрата скорости в виде Ъ' =(и. + и')з+((/в+ ')в+((I,+ш')э г) К ел пер Л. и Ф рид м а и А., Ргос.!.
1пгегп. Сопйг. Аррйеб МесЬ., Эей!, 1924. з) Миллион шиков М. Л., Известия АН СССР, сер, геогр. н геол., № 4 — 5, 1941, з) Кол мог оров А. Н., ХАН СССР, т. ХХХИ, М 1, 1941; т. ХХХ1, М б, 1941; т. ХХХ, М 4, 1941; т. 52, М 8, 1946 и др. !) О б у х о в А. М„Прикл. матем. и мех., т. Ч1, вып. 2--3, 1942; Механика в СССР за тридцать лет, Гостехнздат, 1950. Там же приведена библиография советских работ по турбулентности. з) Л о и ця н с к и й Л.
Г., Труды МАГИ, вып. 440, 1939. з) Н е з з г л к до в В. Г., ДАН СССР, т. 57, М 3, 1945. 9 4! теогемы о глссвянии энвггии для ттгзтлвнтного движвния 459 и проводя затем осреднение по времени, получим: т=т +т„, (4,4) т. е. осреднвнное значение кинетической энергии полного движения жидкости в конечном объвме равно сумме кинетической энергии осрелненного движения жидкости и осреднвнного значения кинетической энергии пульсационного движения жидкости в том же объеме. Элементарная работа массовых сил на перемещениях полного и осреднанного движения жидкости будет представляться соответственно в виде (4.5) для элементарных работ векторов напряжений, распределенных па поверхности о, получим следующие выражения: дА, —.
~ ~ 7з„° У~Ыдт, (г(А )„= ~ ~ )т„. (7НЯМ, дАз =- ~ ~ Р„и дбд(. (4.6) В ф 2 главы 1!! была доказана теорема о рассеянии энергии у — — дг~дАз+дАв — ~ ~ ~ Ентдг1 (4.7) Разлагая векторы напряжений и скорости в (4.8) на осреднвнные и пульсацнонные значения и вводя обозначения Е = д17 Ю дЯ " =1з*'дх+агя 'ду+Р 'д, д~" ~ дУ' ~ дУ' ' ~ дх +Рв ' ду + 7 ' ' дх ' (4.9) (4.10) где Š— энергия, которая рассеивается в единице объЕма в единицу времени и выражается через напряжения в виде дх+' В ду +' ' дх ' дУ дУ дУ (4.8) 460 (гл, хп ттгвтлвптиов движение после осредиепия по времени (4.8) получим; (4.1 1) Е = — Е,в+Е„, т. е. осрелианиое значение энергии, рассеиваемой от напряжений в полном движении жидкости, составляется из энергии, рассеиваемой от осреднанных напряжений в осреднепном движении, и осредпвиного значения энергии, рассеиваемой от пульсапий напряжений в пульсапионном лвижении.
Докажем теперь теорему о рассеянии энергии для осреднйнного движения жидкости. Для этого первое дифференпиальное уравнение (3.8) представим в виде Р ' .+' "э+' " +' 412 где производная по времени в девой части равна (4.13) Обе части равеяства (4.12) умиожим скалярно иа (Где дт и проведЕм интегрирование по объему ~'(у ~д(Рв+Р )+ д(Ра+Ра) +д(Р,+Рл)]д Ж. (4.14) дх ду дл Если считать, что объем т будет перемешаться вместе с частипами жидкости, то в левой части (4.14) знзк дифференцирования можио вынести за знак интеграла и воспользоваться обозначением (4.2). Представляя векторы напряжений па площадке с нормалью п в зиле р„—.
рл1 + раж + р,л, Р„= Р„( + Рэги + Р,л и используя формулу преобразования поверхяостного интеграла в объемный, получим из (4.6) выражения для элементарных работ й 41 твогсмы о гассвянии энвггии для ттгвтлвнтного движения ног Сопоставляя эти выражения с правой частью (4.14) и используя обо- значения (4.5), (4.9), получим: иТ, 1г — = — ~~(г)А ), +(г)А~), +(гтАг)„р— — ~ ~ ~ Егггттгтт — ~ ~ ~(Р„'рх+Рв ау+Рг Ог)гт.')Г!.
(4.15) Ои , Ои ди 4=Р. — +Р ° — +Р в дк а ду г дг' (4.16) Введем в рассмотрение элементарную работу. пульсаций напряжений нз перемещениях в пульсационном движении жидкости, т, е. ДА, = бс ~ ~ р.' У' б5' = = гтт ~ ~ ~ [~ — (р' У')+ — (р„' У')+ — (р,' У')~огт. (4.17) Если в правой части первого равенства (4.6) провести разложение вектора напряжения и вектора скорости на осреднвнные и пульсациопные значения и затем провести осреднение по времени, то получим; 2 ( я)с +гг о (4.18) Проведем теперь осрелнение обеих частей равенства (4,7) и при этом унтам (4.4), (4.18), (4.11) и то, что ЙАг = (гГА,)„,„. В результате полу.~им следующее равенство: б(уьг+ 7п) = фАг)с +(с)Аэ)с +г)Аг — ~ ~ ~ (Еег+Ев)ггтсгт.
(4.19) Равенство (4.15) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии осредненного движения жидкости, содержащейся в конечном объеме. г(а основании этого равенства мы приходим к заключению, что не вся работа напряжений, распределенных на поверхности Я, идет ца изменение кинетической энергии осредненного движения жидкости внутри этой поверхности; часть этой работы переходит в энергию пульсационпого движения и в теплоту.
Выражение под знаком интеграла в послелнем слагаемом в правой части (4,15) представляет собой энергию, рассеянную от пульсационных напряжений в единицу времени в единице объема в осреднвнном движении жидкости. Для этой энергии рассеяния введем отдельное обозначение !угьвиим>нои двия!ииии ни. «и Это равенство выражает собой теорему об изменении осреднднного значения кинетической энергии полно~о движения жидкости в конечном обвдме. Составляя разность соответственных частей равенств (4.19) и (4.15), получим равенство йТи — йАч — дА4+ )) ~ (>>! — Ее) йг йг, (4.20) выражающее собой теорему об изменении осреднднного зна~ения кинетичесной энергии пульсационного движения жидкости в конечном обв|ме.
Рассмотрим теперь случай движения жидкости внутри неподвижной поверхности Я„. В атом случае элементарные работы йА, и йА, будут обращаться в нули, и поэтому теорема об изменении осредненной кинетической энергии пульсационного движения жидкости представится равенством (йт„), = — Щ(ń— о!) дейг. (4.21) Подставляя в правую часть равенства (4.10) значения пульсаций напряжений из (3.!4), получим следующее выражение для осредненного значения знергии рассеяния в пульсационном движении жид- кости Еп — — р(2(д ) +2(д ) +2(д ) + +(-'";-'+ )'+('";+%)'+( — '";+Й)']- (4.22) Если развернуть правую часть равенства (4.16), то будем ииеть выражение для энергии рассеяния от пульсационных напряженой — дУ, дӄ—,, дУ дУ Г '( — + -д--)+ ! и( — — + )~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
