Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Тогда под осредндннн чи значениялш вектора скорости и, например, давления в центре обьема с координатамя х, у и » необходимо понимать величины, представленные в виде следующих равенств; У(х,у,», С)=- —, ~ У(х, к, г, Е; р)д!', (2.22) р(х, у, г, ()= —, ~ р(х, у, », т; р)~й'. Пульсации вектора скорости и давления по отношению ко времени в фиксированной точке с коорлинатами х, у и г будут представляться в виде разностей у'(х, у, г, т; р) = у(х, у, г, т; р) — у(х, у, г, (), 1 (2.23) р'(х, у, г, Г; р) = р(х, у, г, е; р) — р(х, у, г, т). 1 11роводя осреднение по объему всех равенств (2.20) и используя (2.19), получит [гл. хн туРБулентнОБ движение Если провести осрелнение по времени равенств (2.23) и учесть (2.22), то получим; — — ~ У'(~, у, , г; Р) И' = О, ~ (2.24) )У=О Таким образом, осреднснные ло времени значении пульсаций всех кинематических и динамических характеристик движения среды равны нулю.
Наконен, формально математические операции осрелнения по объему н по времени можно объединить и под вектором скорости осредненного движения чистил в фиксированном объелсе т и в фиксированном интервале времени йт понимать вектор, представляемый в зиле (7(х, у, г, т)= У(х, у, г, С) = т — — дт' ~ ~ ~ У(х, у, г, х', у', г' Г; Р)йх'ду'дг', (2.25) 'ьг Вектор скорости ноля пульсации в какой-либо точке внутри объема ". и в какой-либо момент времени внутри интервала времени йт булет представляться в виде разности у'(х, у, г; х', у', г', Г; р) = = У(х, у,; -', у', г', В с') — (7(х.
)ч г. г). (2.25) Провала осрсднсние (2.2б) и по объему и по времени в смысле (2.25), снова получим, что осреднйнное значение вектора скорости поля иульсаций равно нулю: у'(х, у,; х', у',, Е; е')= ъг — — " йР ", [ " У'(х, у, г; х', у', г', Г; Р)йх'йу'йг' = О. (2.27) ч лг ъс я До сих пор мы проводили осрсднение самих величин или разностей величин, отнесзнных к одной и той же точке внутри фиксированного объема и к одному и тому же моменту времени внутри фиксированного интервала времени. Покажем теперь, как должно провпдиться осреднение произведений двух величин, отнесанных к одной $2) 445 метод осгеднвння точке и к одному моменту времени, В качестве примера позьмем произведение проекции вектора скорости на ось х иа сам вектор скорости и(х, у, л; х', у', л', П Р) (г(х, у, л; х', у', г', Г; Г') Заменяя каждый множитель через сумму его осредненного значения и пульсационного значения, получим: и(г = ((/ (л, у, г, г)+ и'[х, у, г; х', у', л', г; г')) )с' К ((У(х, у, г, г)+ Ь" (х, у, г; х', у', г', г; г')).
(2.28) Если провести осрсднеиие левой и правой частей равенства (2.28) по объему и по времени в смысле (2.25) и при этом учесть (2.27), то для осредненного значения произведения и)г, отнесенного к центру объема с и к середине интервала времени йб получим следующее выражение: и )г = — (у. 0 + и' е". (2,29) Обратим внимание на то, что все осреднбнные знамения должны относиться к центру фиксироаинного обьймп и и середине фиксированного интервала аремени, Теперь мы должны уточнить вопрос о выборе фиксированного объбма т и фиксированного интЕрвала времени дй Можно, например, фцкснроааниый объем т выбрать с помощью мысленного разбиения конечного объема, занятого средой, па меньшие п не накладывающиеся друг па друга объемы т.
Точно тек же фиксированный интервал времени ал можно выбрать с помощью деления конечного промежутка времени на Меньшив и не перекрываЮщие друг друга интервалы бй Прп таком выборе фиксированного объема и фиксированного интервала времен» операция осреднения будет овна гать переход от непрерывного отсчета геометрических координат к дискретному отсчету координат точек, совпадающих с центрами фиксированных объемоа, и переход от непрерывного отсчета времени к счбту его через интервал вреченн ВД При таком выборе объема т и интервала вреиени бг осредненные значения кинематическнх и динамических характериствк движения среды будут неизбежно претерпевать разрыв прк переходе от одного центра объбма к другому и от одного центра интервала времени к другому.
Порядок величин разрыва осредненных значений будет находиться в прямой пропорциональности от порядка величин фиксированного объвма ч и фиксированного интервала времени вй Следовательно, из восьми независимых аргументов, указанных, например, в равенстве (2.26), только четыре: х', у', гг и г', во всех стучаяк можно излгенхть непрермено в тех пределах, которые предопределяются выбором фиксированного объеиа т и фиксированного интервала времени до Галька по отношению этих аргументов можно ставить вопрос о напрерыаности и днфференцирусмости охдельных слагаемых в равенстве (2,26) и аналогичных равенствах для других кинематических и динамических характеристик движения среды. Что же касается аргуМЕцтов х, у, г и Г, то вопрос о том, можно ли зтпи переменным придавать непрерывные значения нлн необходимо придавать только разрывные значения, решается в зависимости от того, каь осуществляется переход от одного фиксированного объема к прилежащему другому объему и от одного фиксированного интервала 445 ТУРВУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ (гл, хи к другому прилежащему или близкому интервалу времени.
Если этот переход по каким-либо осиоваги~ям должон пр тг~сьодить без какого-либо иглесечения нового обьбма со старыч и без как гго-либо пгреггрытпя нового интервала времени со старым, то этим переменным приддтся придавать только Разрмаиыг значения, В жом случае нельзн гонорнть о непрерывности и дпфференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (226) по отношению к переменным х, у, з и д По отношению к этим переменным можно составлят~ только к знечные разности ьпиематнчеснит и диналшчесних тзршшеристпк,твпжеиин среды и интегрирование заменять суммяронанием в смысле теории коне шыт разностей. Встественно поставить вопрос, мо кно ли привести пример, когда переход от одного фиксированного объема к лртгоиу обяззтельио должен производиться без пересечения.
Во всех тех случаят, в которых возникает необходимость вводить в рзссмотрение мзкроскопические частицы среды, объбмы которых не могут уменьшзтьсн беспредельно до нуля, переход от об.ьетга одной фиксироазнной истицы к объему сосед. ией частицы, разумеется. не может происходить тзк, чтобы объем соседней часпгмы излагался иа объем рассматриваемой частицьь Чтобы вести речь о мзкроскопической частице, сохраняющей а себе оснонные кагествз среды и своей индинидуальиости дога бы в течение короткого ннтервада времени бй «онечно, необходимо за соседние истицы принимать толгко чзстмцьь объемы которых не перекрывают объ(м рассмлжрияземой частицы.
Таким образом, для определения кпнемаюшесюгх характерисгик двигкенин частицы (вихрь и теизор скоростей двформации) дифференцирование проекций вектора скорости долл,но производиться тодько по относительным координатам х', у' и По, как известно, для изу гения ряда вопросоа кинематики движения средм, за исключением вопроса об ускорении часющы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно из точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей, Прп изучении полн скоростей движения среды по четоду Эйлера математическая операции осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести гг тажиаамие вводимых кпнемзтнческит и динамических характеристик движе>шя среды. При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпенают скзчкообрззнме изменения ог одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другом.
Сача по себе операция осреднения (2,25) позволяет только по скачкообразным значенияч вектора скоросют в пределах фиксированного объема з и фикснровашшго интервала времени дг получг~ть некоторое значение вектора скорости, котоРое мы относим к центру обьема и к центру интервала времени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта оиерациа осреднения бтлет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объемл -.
и фиксированного шщервала времени Дй В этом случае каждый следующий фнксировантгы(г объем будет обязательно налагаться на предшествующий в своей болыпей засти и каждый следую.дий интервал времеви будет перекрывать не полностью предшествующий шыерваз ирет1ени. Таким образом, математическая операция осреднеиия я данном случзе позволяет перейти от полей векторных и скалярных вели щи, скачкообразно меняющихся ао времени и в пространстве, к позам тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве.
Одгтако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрениедополнительныт местных полей (с размерами фиксированного объбма осредиеиия) пульсаций соответственных величин, причйч эги пульсации изменяются скзчнообрззно во времени и в пространстве. С помощью операции асреднения поле, например, вектора скорости истинного дзиженяя жидкости в некотором конечном объеме, намного превышающем объем осредиення т, залгенттется двойным полем, составленным из поля вектора осреднбнной скорости, занимающего весь конечный объем, н из нанладывающнхся частично др)т й 2! катод Осгвднвння иа друга полей пульсаций вектора скорости а окрестности каждой геометрнчесиой точки, Еще раз обрзтим аниыание на то, чгооперацияогреднения(225) можеог быть проведена над яами величинами и соотношениями, которые могут быть отнесены я каждой точке вн>'три обьдма осрвднения и к каждому моменту времени внутри интервала времени осреднения, Рзссмотрич теперь разность двух векторов скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
