Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Возможны два подхода к определению втой разности. При нервом подходе рассматриваются два вектора скорости в двух татах фиксированного объема осредпенпя и в дза чоментл времени внутри фиксированного интервала времени осредненил, во при эточ центр фиксированного обьвма осргднения огвгавтгн однилг и югм жг (координаты х, > и * — одни и те же хля двух аекторои скоростей) и центр дгггксированного интервала времени осрвднения огтается телг же самым (зючеит г берется одним и тсч же).
Если в кэ. честве первогг точки четырбхмсриого пространства мы возьмем центр фиксированного четырехмерного объбиа осреднения, а вторую точку в этом же фиксированном объеме возьмем с огносителюгычги чегыречмернымн коордииэтачи х', у', з' и гг, ж разность вектороа скоростей представится в аиде Уг — >', =. У(х, у, г, Г; х', у', г', г') — У(х, у, л, г; О, О, О, О). (2.30) Заменяя каждый из векторов (230) суммой нектара скорости (Г(х, у, г, г) осредаеиизго двилсеиин и соответственного нестора скорости пульсаиион. ного движения, пол>чпи: Уг — )гт — — У'(х, у, г, Г; х', у', г', г') — )и(х, у, л, Г; О, О, О, 0), (2.3)) т е.
разность скоростей истинного движения в двух точках четырехмерного пространства равна разггостч~ скоростей обитого пульсациоииого движения в фгпгсироаанном четырехмерном объйче осреднейия. Поскольку разность (23)) может относиться к кажлой точке четыреччериого объема осреднеиня, постольку можно провести осредиеиие этои разности в смысле (2.25). Выиовняя фактически осреднеиие иад кзждым стдельныч слагаемым в левой и правой части (23!) только в счысле (2.25) и используя при этом (2,26) и (2.27), получим; Уз — У = — )" (х, >., г; О, О, О, О) (2.32) Таким образом, осредиенное строго а сыысле (225) значение разности скоростей в двух тачках фиксированного четырехмерного объем> осреднения представляет собой с обратным знаком вектор скорости пульсаций в центре объема осредиения. Обратимся ко второму способу определения разности двух векторов скоростей.
Вводим два фиксириванныл четырехмерных объема, центры которых совпадают как раз с теми то гкамп четырехмерного пространства, к которым относятся двз рассматриваемыл вектора скоросюг движения среды, и вводим две системы координат с началачи в этих центрах. Тогда разность (2.30) представится в виде Уг — Ут = )'(х+ хй» + У', х+.',г+г', 0,0, 0,0)--)г(х,У,з,г; О, 0,0, 0). (2,33) Если заменить каждый из вектороа в правой исти (2.33) через сумиу соответственных векторов скоростей осредиеииого и пульсационпого движений, то получим: Уз — У,.=(>(х+х, у 1 у, +-", Гфг) — (>(х, у,, ()+ + )" (х + х', у + у', з + г', г + г', О, О, О, 0) — У' (х, у, л, г; О, О, О, 0).
(2.34) [гд. ны туввудвнтнов даижвнив 'Уз — У,= — ~ дс' ~ ~ ~ (Г(х+хг, у+у, г+., Г+Г)+ 1 ". 5г + У'(х+ х', У+У', г-)-г', Г-)-У1 О, О, О, 0)) дхгдУ'да'— в (Г(х, у, г, Г) — У'(л, у, г, Г,' О, О, О, 0). (2.33) 1лнтеграл от скорости п>льсацяй в текущей точке формально не совпадает с тем интегралом, который по определению осредиения обращается в пулы лт дЛв ~ ~ ) У'(х+х', у+у', г+г',Г+Г', х", у", г")дх"дувдлв=О. лл (2.3б) Поскольку левые части и последние слагаемые в прааьж частях равенств (231) и (2.34) раввы между собой, то получаем следующее соотнощенне между векторами скоростей пульсаций в одной и той же точке четырехмерного пространства, но введенных двумя различными способами: У (х, у...; х, у', ', г)=и(х+х', у+у, +, г+г)+ + Ут(х+х', у+у' г+г', с+гг; О, О, О, О) — (г(х, у, г, г), (2,37) После проведения операции осреднения с помагцью перекрывающихся объ- Емоа осреднения вектор скорости осреднениаго движения можно полагать дифференцнруемым по всем переменным в возтому П(х+ х', у + ус, я+ а', Г+ Г') — (Г(х, у, г, Г) = , д(Г, д(), д(Г, д() х'а да(à — х' — + у' — + г' — + т' — + — -- — -1-...
(2.38) дх ду дг дт 2 дха ,Тля центра объема осреднения должны выполняться равенства ~ Ц х'г)х'ду'дл' =О, Щу дх ду'наг=О. (2.39) Г' д( = О. ~ г'дх'дуг дат = О, ьг Таким образоль в атом случае разность скоростей истинного движения в двух рассматриваемых точках четырехмерного пространства не будет равна азностн скоростей пульсациоииых движений в окрестности зтих точек. множая абе части равенства (2.34) на злеллентарный объем четырехмерного пространства дг'дх'ду'дг' и проводя интегрирование по четырехллерному объбму с центром в точке х, у, г и г, получим: ф г! 449 мптод оствднкния Если провести осреднепне равенства (2 37) в смысде (225) я учесть (2.27), (2.38), (2.39), то получим; Т ж„р„т 1+ дз(у Т Юи Т дуз ) дла д 1д,~дзи ~" ~ ьг -1- ) дг» ~ ~ ~ У»(л+х»,у+у',л+л»,1+1',0:,0,0,0)дл»ду»да» О.
(240) дУ д(г ду' — = — +— дх дл дл ' (2.42) Левые части равенств (2.41) и (2.42) представляют одну и ту же вели. чипу, Различие же правых частей снова указывает на различие величин Скоростеи пульсаций а зависимости от того, считается ли осреднбнноедпижение в ираде»йх фиксированного обьбма осреднения одмим и тем же или оно выбирается для каждой точки зтого объбма особо. Только при использовании скользящего объема осреднеиия производная по какой-либо координате или времени от той или иной характеристики потока может быть представлена в аиде суммы производных от осреднбниого и пульсационного значения атой характеристики.
Иначе говоря, а зтам случае »южно производить разложение той или иной величины на осредиениую и пульсационную под знаком производной. Вопрос о возможности перестановок операций осреднеиия и дифференцирования может ставиться только тогда, когда предполагается, что не только сами величины, но н их произвол>гые также непрерывны.
т) ке> по(ба О., РН(1. Тгапз. о1 гйе коу. Вос., 1395; русский перевод в сборнике гПроблемы турбулентности», ОНТИ, 1936. На основании равенства (2,40) приходим к заключению, что осреднбнное по первому объему осреднения значение вектора скорости пульсаций ао второй точке может считаться равным нулю тогда, когда все производнме от вектора скорости осреднбнного движения, начиная со вторых, равны нулю. На зто обстоятельство и было обращено аниыание еще в основной работе О.
Рейнольдсаг), где перечислены те случаи осредненных движений, а которых осредибнйое значение вектора скорости пульсаций во второй ~очке внутри первого объема осреднения строго равна нулю. Допустим, что в отношении, например, координаты л векторы скорости истинного движения и пульсациоиного движения являются дяфференцируемымн функциямн. В этом случае можно обе части равенств (2.3!) и (2.34) разделить на приращение л' й перейти к пределу.
Тогда получим даа выражения для первой производной от вектора скорости истинного движения в центре первого фикснроианного объема осреднения'. дУ дУ дУ» дх' дл дх' ' (2А1) (гл. хц туввклйнтнбк движпнпй При этих дополнительных предположениях можно выполнять дифференцирование по параметрам под знаками интегралов в равенствах (2.25), (2.27) и (2.36). Только в этих случаях осреднанное значенне произяодной от динамической нлн кинематической характеристики потока равно нулю строго для центра объЕма осреднения н приближбнно длп другой точки в этом объеме, т. е. а дх~ ду' дяг О (2 43) дх ьс ш 1'„~( ~Г— (я+х У+У~ Я+Я~, Г+Гг~ О, О, О, О) ьт т (2.44) з Таким образом, результаты осреднения существенно зависят от того, как производится переход от одного фиксированного четырехмерного объбма осреднения к соседнему.
Прн втором описанном выше переходе центры фиксированных объемов осреднення могут быть взяты как угодно близко друг от друга, но зато каждый новый объбм будет обязательно налагаться на предшествующий. Первое обстоятетьство обеспечивает сглаживание функций, т. е. получение непрерывных полей осреднбнных величин. Второе же обстоятельство может сосдавать помехи к применению тех законов механики, которые относятся к взаимодействию фиксированных частиц среды.
Наконец, следует сделать замечание ещп и относительно самих размеров фиксированных объемов осредневия. Если ме налагать никаких дополнительных требований, то размеры четырбхмерных объемов осреднення могут быть как угодно большимн и как угодно малыми. Если не исключать случаи конечных разрывов скоростей истинного движения среды в ряде точек фиксированного четырбхмерного объйма осреднения, то с помощью уменьшения размеров объема осреднения значение отношения модуля скорости пульсации в точке разрыва скоростей.к модулю скорости осредибнного движения можно несколько уменьшить, но при этом возрастут отношения модулей пульсаций к модулям сноростей осреднбнного движения в точках по соседству с точками разрыва скоростей истинного движвния среды, Таким образом, малость размеров объема осреднения ещб не предопределяет собой малость относительных величин пульсаций, если под последними подразумевать только разность истнннога значении соответственной характеристики потока и еб осреднеиного значения а рассматриваемой точке внутри фиксированного объбма осредиения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
