Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(4.23) Сопоставляя выражения (4.22) и (4,23), мы видим, что энергия рассеяния от вязких напряжений в пульсационном движении всегда положительна, тогда как энергия рассеяния от пульсационных напряжений может быть как положительной, так н отрицатель))ой. Это возможное различие знаков энергий рассеяния Е„и >> позволяет сделать некоторые качественные заключения об иамененин осреднйнной кинетической энергии пульсационного дан>кения внутри неподви>кной поверхности на основании равенства (4.21).
Во-первых, $4] твогвмы о эьссвяиии энвггии для тхгвэлвнтного движвния 46$ если полная энергия рассеяния от пульсацяонных напряжений во всйм объеме будет отрицательной, т. е. ) ) ~фг)т<0, то осреднзнная кинетическая энергия пульсационного движения в рассматриваемом объвме будет со временем убывать. Следовательно, для возрастания осреднйнной кинетической энергии пульсационного движения необходимо, но е>цз недостаточно, чтобы вся энергия рассеяния от пульсационных напряжений во всзм объэме оказалась положительной, т. е, ЩФдя >О. (4.24) Прн выповнении необходимого условна 14.24) воарастанне осредненной кинетической энергии пульсапионного движения внутри неподвижной поверхности может быть тогда и только тогда, когда отношение полной энергии рассеяния от пульсационных напряжений к полной энергии рассеяния от вязких напря>кении будет больше единицы, т. е.
(4.25) Если обратить внимание на прав>ле части равенств 14.22) и (4.23), то можно заметить, что 1) изменение знака вектора скорости пульсаций на обратный, т. е. замена и', и' и ш' на — и', — э' и — ш', не изменяет величины отношения энергий рассеяния (4.25) и 2) умножение вектора скорости пульсаций во всех точках на постоянный множитель также не изменяет отношения (4,25). Это значит, что знак 1 нельзя изменить ни наменением анака вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объема, ни умножением вектора скорости пульсаций во всех точках внутри объвма на одно и то же число, и если прн данном рзспределении вектора скорости пульсаций в рассматриваемом объйме осреднзнная кинетическая энергия пульсацнонного движения убывала, то увеличением величины вектора скорости пульсаций во всех точках в одно и то же число рзз нельзя получить вместо убывания воарастание осреднйнной кинетической энергии пульсационного движения жидкости.
Совершенно иным образом сказывается на изменении отношения 1 равномерное изменение вектора скорости осреднвнного движения жидкости в конечном объэме с неподвижной поверхностью. Если при данном распрелелении вектора скорости пульсации и вектора скорости осреднзнного движения в объЕме будет происходить уменьшение осреднйнной энергии пульсационного движения жидкости, то ттезглвнтноя движения )гл, хп с помощью увеличеняя вектора скорости осреднанного движения во всех точках на одно и то >ке число можно добиться выполнения неравенства (4,25) и, следовательно, вместо убывания получить возрастание осредненной энергии пульсационного движения жидкости в рассматриваемом объеме, Последнее обстоятельство и служит доказательством того положения, что существует критическое значение скорости осреднвнного движения жидкости в конечном объеме с неподвижной поверхностью в том смысле, что возрастание осредненной кинетической энергии пульсационного движения в этом объаме может происходить только тогда, когда вектор скорости осреднвнного движения будет превышать указанное критическое значение.
Однако существование критического значения только для скорости осреднанного движения жидкости еще не означает, что пульсационпое движение совершенно не сказывается на самой возможности перехода о> убывания осредненной кинетической энергии пульсационного движения к ев возрастанию. Лело в том, что если распределение вектора скорости осреднвнного движения жидкости в объеме с неподвижной поверхностью оставить неизменным, а распределение вектора скорости пульсаций в том >ке объеме изменять, то на основании вида правой части 14.23) можно заключить, что для одной группы распределений вектора скорости пульсаций неравенство (4.24) можст быть выполнено, а для другой — оио не может быть выполнено, Таким образом, су>цествование критической скорости осреднанного лвижения жидкости в указанном выше смысле воаможно только при тех распределениях вектора скорости пульсаций, для которых будет выполнено неравенство (4.24).
Если ввести характерную скорость Уц и характерный размер 7., то размерности энергий рассеяния Е„ и 6 из (4.22) и (4,23) буду>ч (4.26) На основании сказанного выше при выполнении неравенства (4.24) критическая скорость осреднанного движения жидкости дол>яка определяться из следующего равенства: (4.27) -е ,о Вводя в рассмотрение безразмерные энергии рассеяния Е„ и ф, 8 5! Пплузмнярнческнв теОРии гтвьг ~ьь~ь» число Рейнольдса и используя (4.28), получии равенство, определяющее критическое значение числа Рейлольдса: (4.28) Полученное равенство (4.28) было использовано в цитированной выше работе Рейнольдса для исследования устойчивости ламннарного течения между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению.
Предполагая проекции вектора скорости пульсаций периодическими функциями от координаты, ось которой параллельна скорости осредпбнного течения, и принимая некоторые дополнительные допущения при отыскании минимума правой части (4.28), Рейнольдс установил неравенство )чьр ) 258. (4.29) За характерный размер в рассматриваемом случае была взята половина расстояния между стенками.
Рейнольдс указывает на то, что гидравлический радиус плоской трубы вдвое больше радиуса круглой трубы, и поэтому критическое значение рассматриваемого параметра должно быть вдвое ыеньше для случая между параллельными стенками, т. е, иметь ворядок ((пир)аь 425 ° (4.30) Таким образом, найденное расчетным путйм значение критического числа Рейнольдса для ламинарного движения между неподвижными параллельными стенками лишь на 40е)р меньше предполагаемого экспериментального значения. Заметим, что выражение (4.23) отличается от выражения (2.!9) главы Х! только множителем р и наличием знака осрелнения над произведениями проекций вектора скорости пульсаций. Следовательно, поле возмущений, введенное нами в главе Х! при исследовании устойчивости ламннарных течений, совпадает а некотором отношении с полем пульсации, которое вводится при изучении турбулентного движения жидкости.
9 5. Полуэмпирические теории турбулентности Система дифференциальных уравнений осредненного движения несжимаемой жидкости (3.15) является незамкнутой. Отдельные попытки замкнуть эту систему уравнений в общем случае ещз не дали таких результатов, которые бы позволяли решать отдельные краевые 466 (гл. хп туРБулентнОБ данжанив задачи и сравнивать результаты расчета с результатами измерений Поэтому развитие изучения турбулентного движения жидкости шло не по линии использования уравнений движения, а по линии использования лишь самих характеристик турбулентности и по линии установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осредненного течения. Именно по этому пути и развивались так называемые полуэмпирические теории турбулентности. Получившие распространение полуэмпирические теории турбулентности были развиты вначале лишь для случая, когла осреднвнное движение несжимаемой жидкости является: 1) пряиолинейнопаралдельным, т.
е. и,=-и, и„=о, и„=о, 2) плоским, т, е. и 3) установившимся, т. е. (5.1) (5.2) д,", =О, их=и(у), (5.3) причем поле пульсаций при этом предполагается плоско-параллельным, т. е. ди' дв' ш'==О, — =О, — жО. да ' дх (5.4) Если пренебречь действием массовых сил, то дифференциальные уравнения осредгшгшого движения (3.15) при перечисленных выше предположениях принимают вид дР деГГ дР др„в дх ' дуа ' дх ду (5.6) др драл драв ду дх ' ду Основными характеристиками турбулентности в рассматриваемом нами случае принято считать: 1) лве проекции вектора скорости пульсации в' н о', 2) касательное пульсационное напряжение 1 Где' ди'т Р,„= — ри'о' и 3) пульсацию вектора вихря и'= — — 1 —,— — „ Для установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью осреднанного движения (/ были предложены: 1) творил Тензор пульсационных напряжений будет иметь в этом случае три компоненты; Рв =.
— [и'и', Рвв .-.-- — ри'и, Р„„=-- — ро'и', (5,5) полээмпигичзскиа тзотин тхгзхлвнтности 77рандлгля, или теория пути перетек>ивания, 2) теория Тэйлора и 3) теория Карлона, или теория подобия аолей пульсаций, В основе теории Прандтля ') лежит следующий ход рассуждении, аналогичнь:я ходу рассужлении о сзоболнои ллине пробега молекул з кинетической теории газов.
При турбулентном движении каждая элементарная масса жидкости сохраняет все свои качества, в том числе и вектор количества дни>кения, только до тех пор, пока она ие сместится в направлении, поперечном к скорости осреднзнного течения, на предельное расстояние Е Если же смещение в поперечном направлении этол массы превзоизвт это предельное расстояние 5 то произойдат перемешивание данной массы с окружающей массой в новом положении, в результате которого изменится и вектор количества движении этой массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
