Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если четырбхмерные объемы осреднения выбирать не налагающимися друг на друга, то с помощью уменьшения размеров этого объема можно уменьшать отношение модуля разности значений осреднанных величии в центрах двух примыкающих друг к другу объемов осредиения к молулю однои из них. Благодаря этому обстоятельству, например, дискретное поле скоростей можно считать достаточно близким к непрерывному полю скоростей. Если же объбиы осреднения будут налагаться друг на друга, то непрерывность полн осреднйнных скоростей будет обеспечиватьсв независимо от размеров объема осреднения непрерывным сдвигом центра объбма, но при этом с увеличением размеров объбма осреднения могут, вообще говоря, увеличиваться модули максималь.
иых скоростей пульсаций и будут увеличиваться размеры тех областей по- мвтод осгяднвння 461 тока, примыкающих к его границам, в которых осреднеиие с помощью этого объема проводить нельзя. Во всех случаях по мере приближения к границам потока объемы есреднеиия должны уменьшаться для того, чтобы получать осреднеиные яеличнны для точен вблизи границы. Обратимся теперь к вопросу об осреднении с точки зрения возможностей эксперимента. Во-первых, как бы малы ни были раамеры приамной части прибора, с помощью которого определяется скорость или давление, все равно прибор регистрирует осреднанное значение этой величины, причам осреднение этим прибором производится одновременно и по объйму и по времени. Во-вторых. каждому данному прибору присущ свой фиксированный объем осредиения, и его варьировать нельзя. Что же касается интервала времени осредиения, то его можно варьировать в сторону ббльших интервалов времени, превышающих время срабатывания одного измерения, Таким образом, здесь представляется возможность определять пульсацию измеряемой величины в виде разности показания одного измерения и вычисленного осреднзнного ва некоторый интервал времени значения.
Следовательно, в этом случае имеют место два осреднения: одно из них проводится самим прибором по объему и времени, з второе проводится эксперимеятатором по времени по отношению к показаниям прибора. При наличии двух приборов или двух приспособлений, позволяющих без особых помех измерять скорость в двух точках, достаточно близких друг от друга, можно составлять разности показаний приборов, отнесенных к одному и тому же моменту времени, Эти разности можно осреднять только по времени.
Если обозначить мгновенные показания прибора через У, и У, осреднбнные значения этих показаний †чер (т, и Из, а пульсации — через Уг и У,, то будем иметь: з (У,(х, у, г, г)= У,= — ~ У,(х, у, г, с+У)г)У, и з Уг(х, у, г, У+У) =(гг+ Уг(х, у, г, с+У), Уч — — О. Оя(х+х', у+у', «+г', () = Уз; Уэ(х+~, у+у', г+", с+У) = = 0 +У (х+х, у+у, г+г, г+г), Уя — У, == бэ(х+х', у+у', г+г', С) — (у,(х, у, г, г)+ + У,'(х+х', у+у', г+г', с+У) — у„'(х, у, г, (+У). (2,45) 452 туввулвитиоа данжвниз '>гл.
хи Если выполнить осреднение по времени обеих частей выражения (2.45) для разности мгновенных показаний и учесть предшествующие равенства, то получим: Ъя — '>г! = г>я(х+х', у+у', г+г', Г) — С>>(х, у, г, й). (2.46) ТакиМ образом, среднее значение риэкости измеренных скоростей в двух близких точках области. течения равно ризкости осреднеккых ло времени измеренных скоростей з этих лсе точках. На основании того, что сказано вь>ше, можно придти к заключению, что определение пульсаций скорости Нли давления зо времени и проведение осреднения измернемых величин ло зрел>ени сравнительно просто могут быть осуществлены при экспериментировании, например, с помощью термоанемометра с некоторыми приспособлениями. Что же касается пульсаций скорости или давления в лрострпкстзе, то лля их определения надо измерить скорость или давление однонремгкко почти во всех точках внутри некоторого объема, что осуществить без искажения самого течения пока не представляется возмо>кным.
В этом случае приходится довольствоваться одновременными намерениями в небольшом числе точек, на основании которых можно найти лишь приближщшое аначение осредкйккой ло обэйму измеренной величины. Составляя разность измеренной величины в какой-либо геометрической точке и вычисленного осреднвнного по объему значения этой величины, можно получить пульсацию рассматриваемой величины з прострикстзю То обстоятельство, что энспериментально проще проводить осреднение измеряемых величин по времени, служит некоторым основанием к тому, чтобы и в вычислениях ограничиваться только осреднением по времени. Во всех последующих параграфах осреднение будет проводиться только по времени. $ 3.
Дифференциальные уравнения осреднйнного движения жидкости Кзк уже было указано в 4 1, турбулентное лзижение жидкости характеризуется неупорядоченностью траекторий отдельных частиц, наличием пульсаций скоростей и давлений во времени и интенсивным обменом всеми качествами между соседними областями течения, Вса это соэлаат весьма большие трудности для теоретического изучения закономерностей турбулентного движения жидкости. Первая попытка теоретического подхода к изучению турбулентного движения жидкости была предпринята О.
Рейнольдсом в цитированной выше работе. Им были установлены дифференциальные уравнения осреднанного движения жидкости и введен в рассмотрение тензор пульсационных напряжений. й 3) диеевеенциельные келвнвния осгвднвн. движения жидкости 433 Вводим теперь операцию осреднения ио времени, полагая, например, т (Г(х, у, х, Г) =- У(х, у, х, С) = — ~ У(х, у, х, Г+Г')др. (3.2) т Выполняем затем операцию разложения всех входящих в уравнения (3.!) величин, кроме массовых сил, на осредненные во времени зна- чения и пульсации У(х, у, а, Г+Р) = 0(х, 1', х, 1)+ У (х, уел, С+У), 1 р (х, у, х, Г+р) =;р (х, у, х, 1)+р' (х, у, х, 1+У).
! ) (3,3) На основании определения осреднення (3.2) осреднанные значения как самих пульсаций величин, так и нх произведений на осреднанные значения других величин будут обращаться в нуль, т. е. и' == О, р' =.= О, и'и= и'(У= О. ~ (3.4) (У~'==и У'=О Самый факт использования уравнений (3.1) означает, что все величины предполагаются непрерывными и дифференцируемыми по всем переменным, а поэтому можно операции дифференцирования по параметрам в (3.2) выполнять под знаком интеграла. Иначе говоря, операции дифференцирования по геометрическим координатам и операция осреднеяия по времени могут переставляться, В силу этого будем иметь: д д дх(Р ) дх(Р дне дре дх дх ' (3.5) В качестве исходной гипотезы принимаем, что и нри турбулентном характере движения среды дифференииа гьные уравнения переноса массы ((1.9) гл.
П) и количества движения ((2,13) гл. П) остаются справедливыми. Если к тому же жидкость считать несжимаемой, то при этой гипотезе дифференциальные уравнения волноео турбулентного движения представляются в виде д(ар) д рР+ д ° (р р У)+д (р р У)+д (р р У) ! (3.1) й 3) диевзевнциальныв теьвнвния осгвднйн. движения жидкости 455 Обе группы полученных уравнений (3.8) и (3.9) в явной форме указывают на то, что между осреднанным и пульсационным движением несжимаемой жидкости имеет место сложное взаимодействие. Сопоставляя правую часть первого уравнения (3.8) с правой частью первого уравнения (3.1), мы видим, что вовдействие пульсационного движения на осредненное движение жидкости эквивалентно воздействию дополнительяого тенвора напряжений, который получил название тензора пульсационных напрнжений.
Теизор пульсационных напряжений состоит из трбх векторов: — ри'~', — ро'ь, — рт')г, 7 г (3.10) представляющих собой осреднйнные по времени векторы потоков количеств движения (отнес6нных к единице площади н к единице времени) от пучгьсационного движения жидкосгпи через три взаимно перпендикулярные площадки, проведенные в произвольной точке внутри объ6ма с жидкостью. Если спроектировать векторы (3.10) на оси координат, то тенэор пульсационных напряжений можно представить в виде следующей таблицы девяти компонент: — ри'и' — ро'и' — рт'и' — ри'о' — ро'о' — рм'О' (3.11) (р) =— ди до '+ 1 дх' 'ео Р+ (ду' дш Р„= — Р+ 29 д Рев=й(дх+ду)' Рел — 1 (ду +де)' 1 (де + дх)' (3.! 2) Если провести разложение всех величин в (3,12) на осредненные и пульсациояные значения, а затем провести осреднение (3.12) по времени, то получим соотношения для осредненных компонент В дифференциальные уравнения (3.8) входят три вектора осредненного по времеяи тензора напряжений р„, р„и р,.
Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднвнного движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остается справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства 456 (гл, хн туувулвнтное движение напряжения ди диу — р+ 2р —, р = — р+ 2(с — ', дх ' УУ ду* ' — — , ди, Рю Р+ 2р 3' (3.13) Составляя разности соответственных равенств (3,12) и (3.13), получим выражения для компонент пульсаций напряжения ди',, до' — р'+ 2и —, р' = — р'+ 2р —, дх' УУ ду' дю' )дг + дх)' (3,14) г р иу р (' — + и — и+ и -+ и — ) = ди ди, ди ди з (де хдх "ду 'дх,) др дРУ дР дР =рр — — +рди + — "и+ — мя+ — ", дх дх ду дс сдив дия дие див х др дРуи др„„дру, =рР— — +иди + — + + У ду дх ду де др дРие др,„дР„ = рр,— — +(сои + — + — + —, с дх ду дг дие диу ди, — '+ — + — = О, дх ду дх (3.
15) где Р, Р н т. д,— компоненты пульсзционных напряжений, представленные в явной форме в таблице (3,11). Если спроектировать левую и правую части первого уравнения (3.8) на оси координат, а затем подставить значения компонент осреднаннога напряжения из (3.13), то получим следующие дифференииильные уравнения осреднднного движения несжимаемой жидкости: й 3) дия ьвгянцилльныв зглвнвния осгвднен, движения жидкости 457 Дифференциальные уравнения осреднйнного движения (3.15) содержат десять неизвестных функций, к которым, помимо трех компонент вектора скорости и давления, относятся и шесть компонент тензора пульсационных напряжений.
Чтобы систему уравнений (3.15) сделать замкнутой, необходимо присоединить лополнительные соотношения, связывающие неизвестные функции. Такие дополнительные соотношения можно, конечно, составить только с помощью тех или нных гипотез, правильность которых в ограниченных пределах может быть установлена только косвенным путя>>, например с помощью сравнения результатов расчета для частных задач с результатами соответственных измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
