Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Дело в том, что предположение о зависимости поля пульсаций только от первых двух пронзволных позволяет вполне определанным образом выбрать масштаб расстояний для поля пульсаций. Отношение первой производной ко второй имеет размерность длины, а поэтому в качестве масштаба линейных размеров пульсаций может исключением тех полей, которые относятся к точкам, расположенным вблизи стенок; 2) по своей структуре все поля пульсаций полобны между собой и отличаются только масштабами времени и расстояний. С качественной стороны указанные гипотезы имеют общий характер, однако количественное претворение эти гипотезы пока получили лишь для частного случая прямолияейного осреднанного течения при выполнении предпосылок (5.1), (5.2), 15.3) и <5.4), т.
е. для того случая, когда все паля пульсаций являются плоско-параллельными. Кроме того, при выполнении вычислительных операций делается предположение, что масштабы времени и расстояний в кажлом поле пульсации могут быть поставлены в зависимость только от первых двух производных скорости осреднанного течения по координате у, т. е, й 5) ПОЛУЗМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 473 быть выбрана величина, пропорциональная отношению первой производной ко второй производной от скорости осрелнвниого течения по координате у, т. е. Систему координат х и у выберем подан>ямой с пачзлом в какой- либо точке, переносимой со скоростью осредненного течения и(0) в данной точке.
Относительная скорость осредненного течения в окрестности подвижного начала координат может быть тогда представлена в аиде ряда Тзйлора и — и (0) = и',у+ —,' и".уз+... (5.28) Тогда функция тока результирующего движения жидкости в окрест- ности нзчала равна р = —,' и,'у" + —,' и",уа+... +,(, у), где ф(х, у) --функция тока поля пульсаций в окрестности начала по- движной системы коорлинат.
Подставляя выра>кение (5.29) в уравне- ние (5.27) и ограничиваясь только множителями, содержащими ко- ординату у в первой степени, получим уравнение для функции тока поля пульсаций ( ' — ) — — ' — '== и',у+ — ) — ' — — и', — =-0, дйт дар дф ~ дй ддф ду) дх дх дх ду (5.30) Перейлзм теперь к безразмерным величинам, полагая П (5.29) (5.31) у = (ть ф = А7'(.", «). 1 ди (=я —, ду лаи (5.26) 4у' где я — числовой козффициеит, определяемый из условия согласова- ния результатов расчета с результатами опытов. Таким образом, теория Кармана позволяет определять длину пути перемешивания, входящую в теорию Прандтля, через дифференциальные характери- стики осреднвнного течения, а не задавать его в виде функции от расстояния от стенки, Основные результаты (5.2о) и (5.26) теории турбулентности Кар- мана были получены выше только с помощью анализа размерностей и гипотезы о подобии полей пульсаций.
Самим же Карманом зти результаты были получены с помощью уравнений движения жидкости без учета вязкости, представленных через функцию тона: двуд Ьж дФ'а'%' 0 (5.2?) ду дх дх ду 474 [гл, хп тугеулентное дВижение В безразмерных величинах уравнение (5.30) представится в виде ' А даУ ° А ду, АэгдудДУ дУдДУ'4 и дго ! дд ! ~дч д; да дч ) = (5. 32) ЕА Аэ (у г4 Отсюда получаем: ото ! и",' (5.33) Так как проекции вектора скорости пульсаций представляются в виде ду ! дч ' дф А дУ дх ! да то эти проекции должны быть пропорциональны первой производной и величине характерного линейного масштаба пульсации, т.
е. (5.34) Приведенные соотношения пропорциональности позволяют считать касательное пульсационное напрюкение пропорциональным произведению квадрата линейного масштаба поля пульсации на квадрат первой производной от скорости осреднанного течения, т. е. Аэ д~ ду о Р = — !4и'о' = р —., — —,- — р(э(! Мдч до (5.35) Таким образом, мы снова приходим к основным соотношениям тео- рии подобия полей пульсаций (5.25) и (5.26). Требование подобия полей пульсации будет теперь сводиться к тому, чтобы уравнение (5.32) для функции тока выполнялось бы в каждой точне, выбор которой предопределяет собой выбор величин (!', (!", А и !. Это требование подобия полеп пульсацип будет выполнено с той степенью приближения, с которой будет справедливым само уравнение (5.32), если размерные коэффициенты этого уравнения будут пропорциональны друг другу, т, е.
А Ао и,— — —, га г4 й 6) движение жидкости в плоской и кекглой цвлиндт. тгтве 475 Л. Г. Лойцянский ') показал, что соотношения (5,35) и (5,26) могут быть получены, если требование подобия полей пульсации заменить требованием подобия распределения разностей скоростей осредненного течения в слоях с шириной 1. й 6. Установившееся турбулентное движение жидкости в плоской и круглой цилиндрической трубе Как улке указывалось вь>ше, наиболее полно экспериментально изучено установившееся турбулентное движение несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе. Именно для этого случая было получено большое количество экспериментальных данных о распределении скоростей по сечению трубы и о зависимости коэффициента сопротивления трубы от числа Рейнольдса. )йногочнсленные эксперил>ентальные данные, разнообразные по своему характеру, удалось рациональна обработать и привести в определвнн)ю связь с помощью привлечения теории полобня н рассмотренных выше полуэмпирических теорий турбулентности.
В этом отношении полуэмпирические теории турбулентности сыграли и продолжают играть большую роль. Но при этом оказалось, что для рапиональной обработки экспериментальньп ланных и для получения чисто расчетным путем каких- либо новых двинь>х достаточно бьыю использовать формучу Прандтля (5.12) для турбулентного трения и формулу Кармана (5.26) для линейного масштаба нолей пульсаций; рассмотрение самих скоростей пульсациИ в этом случае не понадобилось.
Результаты такой обработки экспериментальных данных о турбулентном лзиженни жидкости в трубах полнее все~о прелставлепы в статье И. Никурадзе в), нз которой мы заимствуем приведенные ниже графики. Прежле всего были обработаны экспериментальные данные о распрелелении скоростей вблизи неподвижной степки трубы. При этой обработке была использована гипотеза Прандтзя о точ, что скорость вблизи стенки зависит прежде всего от значений физических постоянных, к которыя относятся, помимо коэффициента вязкости 9, плотности °, еща касателыюе напряжение на самой стенке тз. Из последних двух величин можно составить выражение лля динамической скорости / Вводим теперь в рассмотрение безразмерную скорость в зиле отношения скорости осрелнвнного лвижения () к динамической скорости, т.
е. (6.2) >) Лак ц я н с к и Ь Л. Г., Прнкл. матем. и иех., т. П, зып. 2, 1935. а) д ! К и та д и е 1., ГогзсЬипкзвей 356 (Ве!!айе хи иуагисЬ, а. Ш ОеЬ. йеч )идеи. !нелепа>), !932 г., русский перев. и сборнике лПраблечы турбулентнаств>, ОИТИ, 19Ъьх 476 [гл. хп тггьялвнтнок движение Отношение кинематического коэффициента вязкости к динамической скорости будет иметь размерность длины, поэтому можно ввести безразмерное расстояние от стенки в виде (6.3) Зависимость безразмерной скорости (6.2) от безразмерного расстояния (6.3) Р = Р(4) (6.4) будет представлять собой так называемое универсальное распределение скоросглей по сечению трубы в том смысле, что эта зависи7СГ гк ЛГГ ЛД ЛП Ы Цд 45 лй Рнс.
1ОЗ. мость должна оставаться одной и той же лля разных несжимаемых жидкостей, имеющих разные коэффициенты вязкости и плотности. Если по оси абсцисс откладывать десятичные логарифмы от безразмерного расстояния, а по оси ординат — безразмерные скорости, то данные различных опытов будут располагаться вблизи прямой, уравнение которой (рис. 103) представляетси в виде у = 5,5+5,75 1п т,.
(6.5) 1(а этом графике пунктирная кривая отвечает закону Блазиуса, согласно которому скорость пропорциональна расстоянию от стенки $ 6) движения жидкости в плоской и кггглой цнлиндю тгэве 477 в степени —, Следует заметит~, что сама гипотеза Прандтля при- 1 7 нималась по отношению к распределению скоростей вблизи стенки, тем не менее, опытные данные о величинах скоростей вблизи оси трубы дают точки, мало отклоняющиеся от прямой (6.5).
Лля области лачинарного режима зависимость (6.4) будет иметь вид Ф =э). (6.6) Зависимость (6.6) оправдывается экспериментальными данными только да значений .Р дл дт дх ду' Если считать, что перепад осреднанного давления не зависит от расстояния у от стенки, то после интегрирования уравнения (6.7) получим линейный профиль распределения турбулентного трения по сечению трубы (6.7) (6.8) где )г — расстояние от стенки средней линии, на которой трение считается равным нулю, а -.
— значение трения на самой стенке. Используя теперь выражение (5.12) для турбулентного трения и равенство (5.26) для линейно~о масштаба полей пульсаций, получим: Р) ('д ) = тэ (1 ~ ) и 1 ="-. — э —. ЦФ ' Отсюда будем иметь дифференциальное уравнение для определения распределения скоростей по сечению плоской трубы (6. 9) й и" уу у У" 1— л л = 1О. При рассмотрении установившегося турбулентного движения несжимаемой жидкости в плоской трубе в предшествующем параграфе логарифмический профиль распределения скоростей был установлен в прелположении, что касательное напряжение всюлу постоянно и что путь перемешивания зависит линейно от расстояния от стенки.
Однако тот же профиль распределения скоростей можно получить и не прибегая к указанным специфическим предположениям, а воспользовавшись основными соотношениями для турбулентного трения и для линейного масштаба полей пульсаций. В самом деле, составляя уравнение равновесна снл осреднвнного давления и турбулентного трения на элементарный объем жидкости, можно получить у авоение (гл, хп тугвулзнтнов лвижвнив Знак минус в формулах лля 1 и (6.9) взят из того условия, что при У' ) 0 ьгч< О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
