Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Выполняя интегрирование в (6.9), получим: Постоянную интегрировании опрелелим прн помощи следующих рассуаклений. Лля лостаточно больших значений числа Рейнольдса производная ()' вблизи стенки (у = 0) имеет достаточно большое значение, мало отличающееся от значения, отвечающего ламинарному трению —, при условии, что коэффициент вязкости и имеет весьма тр малое значение, На этом основании можно считать, конечно с некоторой погрешностью, что на стенке производная У' обращается в бесконечность.
При таком предположении постоянная С будет равна 2ха С= — — —, и для производной (l' получим: (6.1 0) Проводя интегрирование (6.10) и опрелеляя постоянную интегрирования из условия задания максимального значения скорости на срелней линии, получим следующую формулу для профиля распрелеления скоростей осрелгшнпого течения в плоской трубе: = — — ~1~(1 — ф/ 1 — У )+1/ 1 —.У ~. (6.!1) др 1 д — = — — — (гт). дл г дг (6.! 2) На рис. 104 представлена кривая распределения скоростей (6.11) при х =- 0,40 и отмечены те точки, которые получены на основании экспериментов Ннкурадзе в круглой цилинлрической трубе.
Как вилно из рисунка, опытные точки располагаются достаточно близко к кривой распрелеления скоростей в плоской трубе для широкого интервала значенг!й чисел Рейнольлса от 4 1Оэ ло 3240 10а. Если перейти к непосредственному рассмотрению установившегося осрелненного турбулентного течения в круглой цилиндрической трубе, то вместо уравнения равновесия (6.7) мы должны использовать уравнение равновесия сил давления и турбулентного трения, приложенных к кольцевому цилиндру с внутренним радиусом г, внешним г+ Ьг и длиной йх, т. е. уравнение й 6) движение жидкости в плоской и кттглой цилиндж тттве 472 Если и в этом случае предположить, что перепад осредненного давления не зависит от расстояния г от оси трубы, то уравнение (6.12) можно проинтегрировать по переменному г; получим: гдр С 2дх ' г Так как на оси трубы турбулентное трение должно обращаться в нуль, то постоянную С необходимо положить равной нулю Если радиус трубы обозначить через а, то силэ трения вблизи стенки гд будет равна (6.13) гл Вводя расстояние от стенки у, полагая г = а — у Лг и используя выражение (6.13), получим, как и в случае плоской трубы, формулу линейного 8 распределения турбулентного трения по сечению д "=то(1 ) (6.14) (6.15) где функция /( — ) для малых значений аргумента близка к еди/у1 (,а) нице, то при использовании (5.12) и (6.14) получим: Следовательно, если пользоваться равенством (5.12) для турбулентного трения и равенством (5.26) для характерной длины 1, то последуюнгие вычисления будут совпадать с вычислениями, про- сгд би ау дй /О веденными выше для случая Рис.
104. плоской грубы, и для распределения скоростей можно получить формулу (6.11) с заменой й через радиус трубы а. Если же не пользоваться формулой (5.26), а предполагать, что путь перемешивания 1 удовлетворяет соотношению 480 (гл. хп тггвглентнов движвниь Подставляя (6.15), будем иметь: , гукали „, /! у (6.16) После интегрирования получим следующую формулу для распреде- ления скоростей по сечению круглой трубы: (6.! У) Если предположить, что толщина водопоя э зависит только от физических величин еэ, р и й, то, используя метод размерностей, можно положичгп 6= а —, (6.18) где и — безразмерная постоянная, не зависящая от числа Рейнольдса, Так как внутри подслоя сила трения определяется по ги- где функция д( — ) будет одной и той же для всех гладких труб, (,а) Отдельные значения этой функции по данным экспериментов Никурадзе при различных значениях числа Рейнольдса представлены на рнс.
104 кружочками и через ннх проведена пунктирная кривая. !так видно из рисунка, пунктирная кривая отходит от сплошной кривой, отвечающей логарифмическому рзспределению скоростей (6.11) при х = 0,36, лишь вблизи самой стенки. Теперь перейдем к вопросу о сопротивлении трубы при турбулентном движении жидкости. Лля этого необходимо несколько подробнее рассмотреть вопрос о трении вблизи стенки с учетом того, что вблизи самой стенки проявляется влияние вязкости, тогда как в расчЕтах по распределению скоростей влияние вязкости не учитывалось. Если учесть влияние вязкости, то всв распределение скоростей по сечению трубы следует разбить на две области; 1) ядро течения, в котором поток является чисто турбулентным с распределением скоростей (6.11), и 2) лажинарныа подслоа, в котором влияние вязкости является преоблалающим.
Следовательно, путь перемешивания, или характерный масштаб 1, можно использовать только для ядра течения, и поэтому, например, формулу линейной зависимости этого масштаба от расстояния от стенки можно применять только к области ядра течения, т. е. начиная с расстояния, равного толщине полслоя 6. Таким образом, наименьшее значение характерного масштаба будет представляться в виде 5 6! движение жидкости з плоскоя и кгтглоя цилинде.
текэз чы потеэе Ньютояа в виде «~и те =- р ну и при этом еа можно считать постоянной, то на границе подслоя скорость будет представляться в виде 'о- и,= — о= *. и (6.19) Если в равенстве (6,16) провести интегрирование з пределах от э до у н учесть, что при у = 6 скорость и равна и, то получим: и=и,+ ~ и'," )у. »у+ (6.20) (6.22) »=0,40, а=11,5. Полагая в (6.21) у=а и переходя к десятинны««логарифмам, получим следующее выражение для максимальной скорости турбулентного течении в круглой цилиндрической трубе: и„= ( 5,75 )к — + 5,5) о'. (6.23) В э 5 главы !У коэффициент сопротивления цилиндрической трубы определялся а виде отношения А (6.24) гиюр 31 За».
3%. н А с»а«»»н Так как возрастание скорости я ядре течения происходит преимущественно на сравнительно малых расстояниях от стенки, то под знаком интеграла (6.20) можно положитщ У( — ')=1, У 1 — — '=1. Тогда после интегрирования получим уточненну«о формулу логарифмического распределения скоростей с учЕтом влияния вязкости в виде и =- — 11пУ вЂ” -+ха — !п а~.
(6.21) » !» Формула (6.2!) совпадает с формулой (6.5), полученной на осноаании обработки экспериментальных данных, Следовательно, постоянные, входящие в (6.21), будут иметь следующие значения; — = 5,75, » — — = 5,5. »1аг ' ' » Отсюда получим; 482 (гл, хп ттгьялентнок лвижниив Подставляя в правую часть (6.24) значение перепада давления из (6.13) и заменяя турбулентное трение через лииамическую скорость, получим коэффициент сопротивления трубы через отношение квалрата динамической скорости к квадрату средней скорости в виде .я (6.23) Если ввести коэффициент сопротивления, трубы через максимальную скорость, т.
е. положить .я я ья (6.26) и подставить отношение в (6.23), то получим зависимость коэффициента сопротивления трубы от числа Рейнольлса й„,„, = — ',— '- (6.27) в виве = В'+А'1к К„ы,'у' л. (6. 28) 1'ф 1 График этой линейной зависимости —.. от 1дЯ "к'ф) представлен я ах 151й $'ф/ ЛЯ Л5 60 55 40 45 5О Рнс. 105. на рис, 1Об. Ванные экспериментальных измерений при различных значениях числа Рейнольлса (6.27) располагаются вблизи двух пря- 9 6] движения жидкости в плоской и кеяглой пилинде. тетка еаа ггг 774' о7аг 34 лВ дг ды дсг 54 дй дг дл 7го аггг 74 7В Рис. 106. тр>бы й от дующей зависимостью коэффициента сопротивления числа гх: л =- 0,0032 + о м ' 11оам ' (6.29) График этой зависимости представлен на рис.
106, на тиром нанесена и кривая, отвечающая применяемой формуле Блази>са 0,3! 64 йоль котором пункв гидравлике (6.30) Ого мых линий ! и 2. Лля первой прямой постоянные множители в 16.28) имеют значения: В' = 4,75, А' = 3,77, а для второй: В' = 4,16, А' = 3,90, причем первая прямая проведена через те опытные точки, которые отвечают течениям с наименьшим влиянием вязкости, и поэтому эту прямую можно экстраполировать и иа весьма большие значения числа Рейнольдса. Вторая прямая проведена с учетом опытных точек, относящихся к области средних значений числа Рейнолвдса. В работе Никурадзе указывается на то, что при весьма больших 2аим х значениях числа Рейнольдса (К = — м~ можно пользоваться сле- 484 [гл, хп тттвтлкнтнов движение Вса то, что говорилось выше о движении жидкости в трубах, справедливо без учета влияния шероховатости.
Влиянию шероховатости па зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса было посвящено большое количество экспериментальрых работ. На рис. 107 приведены графики зависимости 18(100А) от 1п)х с учетом различных значений отношения относительной шероховашосши к числу Рейнольдса. Под относительной шерохова- 18 .'=Лу = 75 ° йй ° - удш " = юл а; 85 а8 ДО 88 ВО ЯЕ 84 Л5 88 4.О 48 44 4,8 4.8 5О 58 54 58 58 ЙО Рнс. 107. гостью поверхности трубы понимается отношение высоты бугра шероховатости к радиусу трубы в предположении, что все бугры шероховатости имеют примерно одинаковые высоты и одинаковые очертания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
