Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Н, ДАН СССР, т. ХХХ, ХЬ 4, ]Вчц 502 )гл. хп туРБулентнОе движение Величина тп представляемая в виде (9.1), была ввелена в цитированной выше работе А. Н. Колмогорова в качестве иасштаба поля «пульсаций наибольшего порядка», постепенно затухающих благодаря вязкости, и названа впоследствии внутренним масштаоом турбулентности. Характерный масштаб полей пульсаций первого порядка назван внешним масштаболс турбулентности.
Знание величины внутреннего масштаба турбулентности полезно и практически в том отношении, что для измерения истинного граднепп в скорости в турбулентном потоке необходимо измеряющие приборы устанавливать на расстоянии, меньшем, чем т. По имеющимся данным величина этого иасштаба для турбулентности в атмосфере равна примерно одному сантиметру, а в условиях аэродинамических труб имеет порядок долей миллиметра. Рассуждения, проведенные выше при определении внутреннего масштаба турбулентности, не иогут быть непосредственно перенесены на определение внешнего и промежуточнмх масштабов турбулентности на том основании, что по мере понижения «порялка пульсации», т. е.
по мере повышения масштаба турбулентности, должна уиеньшаться зависимость его от вязкости жидкости. Таким обравом, прн оценке промежуточных масштабов турбулентности мы должны коэффициент вязкости нз рассмотрения исключить и сохранить лишь удельную энергию аа, под которой теперь следует понимать не энергию, рассеиваемую в теплоту, а энергию, передаваемую от поля пульсаций ланного порялка к полю пульсаций порядка на единицу выше. Рассматривая удельную энергию е, и саи линейный масштаб 1, поля пульсаций порялка й с точки зрения размерностей, мы видим, что нз них можно составить только одну комбинацию, имею>цую размерность скорости, в виде (9.2) оь -.- (г 1„)ь" (1 «й .
и — !). Такии образом, если под ос понимать величину скорости пульсации «порядка )г», т, с, разность действительных скоростей движения жидкости в двух точках, находящихся на расстоянии 1„друг о> друга, то равенство !9.2) представляет собой полученный впервьи А Н. Колмогоровым эпиоч пролорпионильности разности сьоростей турбулентного движения в двух точках расстояние> между этими точками в степени одной трети.
Приведенные выше соображения о внутреннем строении полей пульсаций носят преимущественно качественный характер. Прежде чем переходить к количественной стороне вопроса, необходимо обратить внимание на следующее. Пульсационное движение жидкости является неупорядоченным движением н оно схолно во многих отношениях с движениями отдельных молекул газа. Поэтому' изучать это движение с количественной стороны метолами классической механики на основе дифференциальных уравнений двн- э 9! стРуктуРА туРБу.тентного изотРОпнОГО пОтОкА Оцб женка с учетом начальных условий не представляется возможным.
В силу необходимости приходится кинематические и динамические характеристкки движения рассматривать как случайные функции, принимающие определвнные значении из ряда возможных лишь с некоторой степенью вероятности, и вместо самих истинных характеристик движения приходится в расчетах вводить их математические ожидания в виде интегралов по времени от произведений вероятности на возможные значения рассматриваемых характеристик, отнесенных к промежутку интегрирования.
При выполнении некоторых условий эти математические ожидания будут совпадать с осреднэнными значениями рассматриваемых характеристик по времени в том же смысле, в котором было введено осреднение в 9 2. До сих пор без особых оговорок принималось, что для изучаемых турбулентных движений жидкости условия, позволяющие отомдествлять математические ожидания характеристик с их осреднбннымн значениями в обычном смысле, с достаточной тепенью приближения выполняются. Все эти соображения и побудили отдельных исследователей пойти на комбинирование методов классической механики с методами статистической механики и наряду с понятиями, имеющими место в классической гидродинамике, ввести понятия из теории вероятностей в качестве статистических характеристик кинематики турбулентного движения.
Как уже было указано выше, статистическая теория турбулентности впервые была выдвинута в работах Л. В. Келлера и А. й. Фридмана '), а в последние 15 лет наиболее успешно разрабатывалась гл Н. Колмогоровым я) и его учениками. За границей статистическая теория турбулентности разрабатывалась Ьюргерсом в), Тэйлором '), Карманом з) и др. Рззвитне статистической теории турбулентности идет по двум различным направлениям; !) в направяении использования моментов связи проекций скоростей различных порядков или коэффициентов корреляций и связанных с этими понятиями структурных функций или корреляционных функций, определяющих в известной мере масштабы элементов турбулентности в предположении одкородкости и изотроикости потока, и 2) в направлении использования спектральных функций или спектрального теизора, связанных с пульсациями кинетической энергии и статистическим распределением этой энергии по волновым числам.
В частных случаях спектральные функции и корреляционные функции связаны обычным преобразованием Фурье. л) См. ссылку ив стр. 458. У) См. библиографию в кинге АМеханпьа в СССР зг тридцать легл, 1'остехяздат, 1950. ') См. перевод в книге АНроблеиы турбулеитносткм ОИТИ, 1936. А) См.
библиографию к гл. Х!Х книги сПробгечы космической аэротпнакикиг, ИЛ, 1953. ') Слл. так же. 504 1ГЛ. ХН тггвглвнтнов движение Мы дадим весьма краткое изложение тех основнык понятий, которые используются в работах первого направления, и при этом будем держаться той трактовки этих понятий, которая нашла свое отражение в работах А. Н. Колмогорова и его последователей. Обозначим характерный линейный масштаб всего потока в целом через 5, а характерную скорость через У и будем предполагать число Рейнольдса УЕ К=в всего потока з целом настолько большим, что представление о каскадном строении полей пульсаций становится вполне возможным. Пульсации различных порядков будем далее именовать визирями различных масштабов. Под достаточно малой областью будем разуметь область, линейные размеры которой малы по сравнению с масштабом всего потока 5.
В достаточно малой области, зафиксированной внутри области всего потока, возьмем две точки О и М, из которых первую будем считать фиксированной, а вторую текущей, т. е. вторая точка может быть совмещена с любой точкой внутри фиксированной малой области. Вводим в рассмотрение разность векторов скоростей в двух указанных точках в виде ~гоп ~~ г(М) 1 (О)' (9 41 Эта разность векторов скоростей (9.4) как раз и принимается в статистической теории турбулентности А.
Н. Колмогорова в качестве исходной кинеиатической характеристики так называемой локальной структуры турбулентного потока. Из этой разности векторов скоростей составляются затем с помощью операции осреднения по времени статистические хариктеристики локальной турбулвктности, аналогичные моментам связей проекции векторов скоростей пульсаций в двух точках, введенным впервые в цитированной выше работе Л. В.
Келлера и А. А. Фридмана и широко используемым в работах Л. Г. Лойцянского '), Л. И. Седова з) и др. При выводе общих уравнений турбулентности Рейнольдса в ф 3 и в последующих параграфах в качестве исходной кинематической характеристики турбулентности был принят вектор пульсации в виде разности истинного вектора скорости и вектора скорости осреднзнного течения в одной и той же точке, т е. (9.5) ьг' = )г(М) -- Ъ'(М).
При сопоставлении смысла двух исходных кинематическнх характеристик турбулентности (9.4) и (9.5) можно придти к выволу, что 1) .1 о З ц я н с к н й Л. Г., Тр> ды ВАГИ, ДЭ 440, 1939. з) Седа з Л. И., Методы подобия н размерности в механике, Гостехиздат, 19Ы, 5 91 сТРуКТуРА тугвудяитно!о нмг1ги ьг характеристика (9.4) полнее и более правильно может отражать основные свойства турбулентности, чем (9.б), и к тому же эта характеристика непосредственно может определяться в опытах с помощью соответственных приборов для каждого момента времени, тогда как для определения характеристики (9.б) необходима целая серия экспериментальных измерений и соответственных расчйтов. Последнее обстоятельство служит решающим аргументом в пользу исходной характеристики (9.4).
Кроме того, следует учесть то, что в правой части (9 4) находится разность векторов скоростей действительного движения в двух точках, тогда как в правой части (9.5) находится разность одного вектора скорости действительного движения и второго искусственно введзнного вектора скорости осредненного течения. Следовательно, разность (9.4) характеризует двйствитегькое относительков движение одного элгмвнтирного обьлма жидкости ио отношению ко второму.
В частности, проекция этой разности на направление отрезка, соединяющего две рассматриваемые точки 0 и М, будет представлять собой относительную скорость сближения или улаления друг от друга элементарных объемов жидкости, а проекции разности (9,4) иа направления, перпендикулярные к указзнному отрезку, будут представлять линейные относительные скорости от вращения и сдвига одного элемента относительно другого. И, наконец, последнее преимущество исходной характеристики турбулентности движения (9.4) перед характеристикой (9.5) заключается в том, что она учитывает влияние лишь тех вихрей, линейный масштаб которых меньше характерного масштаба фиксированной малой области, поэтому она и служит характеристикой локальной турбулентности. Вихри, масштабы которых больше масштаба фиксированной области, будут вызывать лишь поступательное движение всей малой области, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
