Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 87
Текст из файла (страница 87)
индуцировать примерно одинаковые скоростк в точках 0 н М, и по этой причине эти скорости будут выпадать при определении разности (9.4). В качестве первых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются осреднвнные по времени значения произведений проекций разности (9.4) на оси координат инерциальная системы отсчета (х,, х, хг). Совокупность таких статистических характеристик составляет структурный тенэор второго ранга локальной турбулентности со следующими составляющими; Р, = свьтгу = [о,(М) — о,(0)[ [о)(М) — о (0)1, (9.6) где ог(М) и о (0) представляют собой проекции векторов 4г(М) и )г(0) на указанные оси координат, В качестве вторых статистических характеристик локальной турбулентности принимаются величины Р,гь — — [о,(М) — о,(0)[ [ог(М) — ог(0)1 [оь(М) — ол(0)[, (9.7) 33 заг звв н А сгткгн 696 (гл.
хп ттгвглвитиои движвкив представляющие собой осредиеиие по времени значения произведений трах проекций разности (9.4) на указанные оси координат. Если предположить, что вектор скорости действительного движения представляет собой непрерывную функцию от пространственных координат, то в малой окрестности фиксированной точки О вектор относительной скорости (9 4) булет представляться в виде ьг(х>+с>. ха+ чя хз+(з Г) — »(хм хя хз, Г) им а=в а=з ы=з =1~~%)+21 Х~'-Ь.",;.)+ ( ) а=-> А=> в>-.> т. е. исходная характеристика движения жидкости будет зависеть только от времени и относительных координат, и в этом смысле движение может считаться киисжитически однородным. При этом предположении (9.9) все статистические характеристики (9.6), (9 т) и др.
также будут зависеть только от времени и относительных координат точки М по отношению к О, и поэтому в этом смысле движение может считаться и статистически однородкым в той малой окрестности, которая целиком расположена виутри фиксировапной малой области. В частности, для составляющих структурного теизора второго ранга (9.6) будем иметь выражение «-> в .=3 а — 1 » — а=з ы=з >=> а=>»=»=> Определение локально однородной турбулентности можно дать и независимо от требования непрерывности вектора скорости действительного движения и независимо от требования малости окрест. ности точки О.
Л именно турбулентное дви>кение назь>вается локильно одно)>одныл>, если все статистические характеристики движения будут функциями только от времени и разностей абсолютных коордииат двух точек, причем эти функции и их коэффициенты не будут зависеть от расположенкя фиксированной точки внутри указанной выше малой области. При таком определении составляющие структурного тензора второго ранга должны рассматриваться прежде всего как функции относительных координат точки М по отношению к точке О.
Что же касается зависимости статистических характеристик турбулентности от времени, то такая зависимость, вообще говоря, может допускаться при скользящем интервале времени осреднения. Из миожества локально однородных турбулентных движений можно выделить класс наиболее простейших турбулентных движе- % 9! ствяктзеа тя гзлвнтно1о изи~ги ниц, удовлетворяющих требованию изотропности. Предварительно сошлемся на некоторые опытные данные.
Измерения составляющих вектора скорости ветра в природных условиях показывают, что величины осреднанных по времени квалратов горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей различны, но зто различие уменьшается по мере удаления от поверхности земли. Таким образом, происходит выравнивание осредпвнных по времени квадратов проекция вектора скорости пульсация. Такое же выравнивание квадратов проекций вектора скорости пульсаций было обнаружено с помощью ультрамикроскопа з круглой трубе по мере приближения к оси трубы. Наконец, в аэродинамической трубе, где турбулентность регулируется решеткой, устанавливается такое турбулентное движение, при котором осредненные по времени величины квадрвтоз трЕх проекций вектора скорости пульсации равны между собой.
Это свойство рзссматриваемых зилов турбулентных движений и названо иэотропностью. Таким образом, пгурдулентное движение жидкости считается изотропним, если значение осреднднного по времени квадрата проекции вектора скорости пульсации не зависит от пшго направления, на кото1юе проектируется вектор скорости пульсаций. Возьмем в ланноя точке произвольное направление с направляющими косинусами сов (з, хс), соя (д, х ), соз (Л, хз). Тогда проекция вектора скорости йульсации на зто направление будет равна о, = о, соз(з, х,)+о., сов(Ь, хе)+о,'соз(д, хз). (9.10) На основании данного выше определения изотропности турбулент* ного движения мы должны иметь: (оь) =(ос) =(оь) = (оз)я.
(9.!!) Если обе части (9.10) возвести в квадрат и провести осреднение по времени, то для выполнения условия изотропности (9.11) необходимо, чтобы осреднанные по времени значения произведений проекция вектора скорости пульсаций на две различные оси были бы равны нулю, т. е. (9,12) о,оз — 0 (! ~ У). Условия (9.12) означают, во-первых, то, что в изотропном турбулентном движении жидкости нет статистической связи (корреляции) между проекциями вектора скорости пульсаций на различные оси и, во-вторых, то, что тензор турбулентных напряжений для изотропного движения жидкости будет состоять только из одного нормального напряжения, величина которого к тому же не зависит от ЗЗь 1гл, хп ттевтлвнтнов движвнив С'-."',) =С' —:;) =С' — ".'.) =-' Сдх.,) =Сд —.,) =Сд —..) =С,э-.-,) =Сд —.,) =С) —,,) = а' (9.
13) Осреднвнные значения произведений производных, удовлетворяющих также условию круговой замены осей координат, будут равны между собой, а если произведенив не удовлетворяют условию круговой замены осей и меняют знак при замене, например х, через — х,, то их осреднанные по времени значения должны равняться нулю. На основании этих требований будем иметь: ! до, дов два ох, Ф доа до,, до„до, дхвдхв дхгдхв Ф дов до доз до1 дха дха дха дх, дхьдх, = ав до, до, дхс дха дхс дхт (9.14) до.„до, — — =- О, дхз дхв Связь между введенными величинами а,, аэ, аз и а, можно устано. вить, если, во-первых, использовать уравнение несжимаемостн до до.
дов — '-; — — в+ — ' = О. дх, дха дхз Если возвести в квадрат левую часть этого уравнения, произвести осреднение по времени и учесть приведднные ниже равенства, то ориентации площадки, на которой определяется турбулентное напряжение. 1)энное выше определение нзотропной турбулентности движения касалось только величин квадратов самих проекций вектора скорости пульсации. Более развернутое определение изотропности турбулентного движения включает в себя и требования, накладываемые на производные от проекции вектора пульсаций, а именно: турбулентное движение жидкости называется изотролным, если осрсдндккые значения квадратов проекций вектора скорости лульсаций и их аврвых производных ло координатам выбранных осей остаются неизменными при повороте этих осей и ари изменении их ориентации. На основании этого требования к производным от проекций вектора скорости пульсации осрелнанные значения квадратов первых производных от проекций вектора скорости пульсаций.
удовлетворяющих круговой замене осей координат, будут равны между собой, т. е. будут иметь место следующие равенства; $91 СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ИЭОТРОПНОГО ПОТОКА бо9 получим: а +2а =О, (9.1б) Второе соотношение между этими величинами мы получим, если обратимся к преобразованиям поворота осей координат на угол в 4б' Например, при повороте осей координат вокруг оси з на 45' будем иметь формулы преобразования в виде 1/2х, = х,+хэ, "1/2иг =о!+О!, 1 2х = — хг+х„Г/2и = — О,+Оз. дп Первая производная — прн этом преобразовании представится в виде дх! де, 1 /ди ди ди ди. 'Т Э ( дх дх4 дх, дх„/) и поэтому Третье соотношение между величинами ат, аз, аз н а4 можно получить для случая отсутствия осреднзнного течения жидкости и в предположении, что для чисто пульсационного движения вязкой жидкости сохраняют свою силу полные уравнения движения вязкой жидкости, из которыя при отсутствии иассовык сил можно получить следующее выражение для оператора Лапласа от давления: =(д )+('д )+Ы+ (д д +д д +д дх)(') Г.сли провести осреднение по времени равенства (9.17) и учесть равенства (9.13) и (9.14), то получим: — — = За,+бяз.
др Р Обычно з качестве гипотезы принимается, что в однородном поле (9.18) Объединяя в этом равенстве члены, разные по условиям изотропии, получим: ! и, = 2-(а,+ля+а,+и,), нли а„— ая — аэ — а4 — — О. (9.16) 610 [гл. хн туРВулентное дВижение пульсаций осрелнвнное значение оператора Лапласа от давления равно нулю, т. е. (9.19) Лр=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
