Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Зело в том, что благодаря непрерывному распределению вихрей в ламмнарном потоке относительное обтекание потоком частицы будет всегда циркуляционным и, следовательно, всегда будет возникать боковая сила, пропорциональная по теореме Н. Е. Жуковского относительной скорости набегающего потока н циркуляции. При обтекании плоско- параллельным потоком круглого цилиндра длины ! полная подъемная сила представляется в виде рГ) ), а подъемная сила, приходящаяся на единицу объема цилиндра, будет равна р)г —, Г Таким образом, боковую силу, приходящуюся на единицу объема частицы, можно представить в виде Р,=д.,р(() — ~)Х ((), (6.4) где й,— безразмерный коэффициент, с помощью которого можно приближенно учесть необходимые поправки на те допущения, которые связаны с распространением теоремы Жуковского, применимой к плоско-параллельному обтеканию бесконечного цилиндра, на рассматриваемый случай пространственного обтекания частицы произвольной формы.
Если к тому же учесть, что формула Жуковского о подъемной силе оправдывается экспериментально при малых углах где à — циркуляция, У в скорость потока на достаточном удалении и 5 в площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующей. При применении этой теоремы Жуковского к обтеканию частицы мы принимаем за скорость набегающего потока разность скоростей Гà — У, за вектор присоединенного вихря — вектор вихря рассматриваемого потока го) сГ, за Ья — сечение частицы той плоскостью, которая перпендикулярна к плоскости векторов () — гг и го)К и, наконец, за величину циркуляпии по контуру сечения Ь5 мы можем принять согласно теореме Стокса поток вектора вихря через ЬЗ, т.
е. Г = ~ го) сг'~ з! и ((У вЂ” )г), го) ег) й5. $ 6) ов встойчивости движзния взвяшянной частицы 429 (6.6) 0= — 'т а, и . д (и= — — й. и д (6.7) В этом случае давление в основном потоке постоянно, т. е, кгабр = О. Проентируя уравнение (6.6) на оси координат и используя равенства (6.1), (6.2), (6.4) н (6.Т), получим: р, —" =м,(у у — Ъг )+я.р -Ъ'а, ~Л/а и г(гу р, —" = — — а(р — р) — й~ (та+ ятр л ~, л — )г ) лг Фрь р — = — )егУ„ аг лу Ф (6.8) атаки обтекания продолговатых тел, а во всех других случаях эта подъемная сила фактически оказывается меньше, чем по формуле Жуковского, то введенный коэффициент йз будет всегда меньше единицы.
Введднные силы (6.2) и (6.3) зависят от разностей скоростей частицы и потока з том месте, где частица находится, и они обращаются в нуль, если относительная скорость обращается в нуль. Однако нельзя думать, что в этом последнем случае рассматриваемая частица будет лишена всякого воздействия со стороны прилегающих частиц жидкости основного потока. Во всяком случае, воздействие окружающих частиц с помощью давления, представляющего собой результат молекулярных движений, должно сохраниться и при отсутствии относительной скорости движения частицы.
Это аоздействме 'на единицу объвма частиц со стороны поля давлений основного потока будет представляться з виде Р, = — ягаб р (6.6) м оно будет зависеть только от положения частицы з потоке, а не от разности скоростей частицы и потока. В силу последнего обстоятельства можно полагать, что это воздействие поля давлений на частицу должно учитываться и при относительном движении частицы, в особенностя в тех случаях, когда это воздействие поля давлений не отражено з воздействиях сил (6.2) и (6.4). Таким образом, векторное уравнение движения посторонней частицы в потоке жидкости будет представляться в виде р, — = Р-~- Р, +- Ря-(- Рз. Рассмотрим случай ламинарного течения между параллельными стенками с прямолинейным распределением скоростей по сечению, для которого 430 тстойчивость ллминьвнык течений (гл. к! Если частица будет иметь плотность, одинаковую с плотностью жидкости, т.
е. р, = р, то одно из возможнык движений такой взвешенной частицы будет представляться равенствами )г„=О, )г,=О. (6.9) Для исследования устойчивости возможного движения (6.9) частицы введвм новые переменные рм уе у уе 1„и! ха= — — —, х. = — — —, х = —,;= —. (6,10) и л' ' л л з (г '= л Тогда нз (6.2) получим уравнения возмущенного движения частицы лх, — = Ь(ха — х!)+Йехе, ,à — ха Лхт — = — Ьхв+ йа (хя — х,), асл г Характеристическое уравнение системы (6.11) будет иметь вид Л(Л + 2ЬЛ+Ь + Фа — (ге) = О.
(6. 12) Так как при выполнении соотношения ь()г~ (1 — ь) (6.13) один из корней уравнения (6.12) может стать положительным, то возможное движение (6.9) взвешенной частицы может стать неустойчивым. Если ввести число Рейнольдса основного потока й= —, уд (6.14) 9 (Л)з ! 2 Л а.1 У «з (1 — ФЗ) Прн выполнении неравенства (6.15) движение взвешенной шаровой частицы в потоке (6.7) будет заведомо неустойчивым. Рассмотрим ламинарное течение между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению, при котором () = У„,„~1 — — ) (, го! У= 2У лай. (6.16) н предполагать частицу в виде шара, т. е. использоват~ (6.3), то кз соотношения (6,13) получим следующее неравенство для числа Рейнольдса: (6.15) $ 6) ов Устойчивости движвния взвяшянной частицы 431 В этом случае основные уравнения движения взвешенной частицы будут представляться в виде (6.17) Решения этой системы уравнений, отвечающие невозмущанному дви- жению взвешенной частицы, будут иметь вид (6.18) Составляя дифференциальные уравнения возмущанного движения ча- стицы и ограничиваясь в ннх слагаемыми с неизвестными величинами в первой степени, получим характеристическое уравнение « ~ — (Л+ — ') +4 — 'Фя(! — «в)~ =О, (6,!9) Один из корней уравнений (6,19) будет положительным, если будет иметь место неравенство 2 ~Уа )г' « (1 « ) ~ гсгм,„' (6.20) Вводя число Рейнольдса (хэ 1' ~пвх~~ (6.21) и предполагая частицу сферической, получим следующее неравенство для числа Рейнольдса: 9 «2 к) — (' — )— 4 ' а / !Ую ! )' «т(1 — «з) (6.22) При выполнении неравенства (6.22) движение шаровой взвешенной частицы в ламинарном потоке (6.16) будет заведомо неустойчивым.
Чтобы сде,тать заключения об условиях устойчивости движения взвешенной частицы, необходимо по методу А. М. Ляпунова провести дополнительные исследования в отношении нулевого корня уравнения (6.19) с учетом нелинейных слагаемых в уравнениях возмушвнного движения частицы. При проведении этих исследований можно убедиться в том, что для обеспечения устойчквости движения шаровой частицы в ламинарном потоке можно знаки неравенств(6,16) и (6.22) изменить на обратные. Таким образом, движение взвешенной шаровой частицы з потоке (6.16) будет устойчивым, если для числа тстойчивость ллминлзных тзчаний 1гл.
х~ Рейнольдса будет выполняться следующее неравенство: 9 д э л 1 (б.23) Рассмотренные примеры показывают, что движение взвешенной частицы в ламинарном потоке может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от значения числа Рейнольдса потока. Следовательно, по исследованию устойчивости движения одной взвешенной частицы можно в какой-то мере судить об устойчивости всего потока в целом, как зто и делалось в некоторых опытах. На основании неравенства (6.23) предельное значение числа Рейнольдса основного потока, при превышении которого должна наступить неустойчивость движения взвешенной частицы в потоке, будет пред.
определяться: 1) квадратом отношения характерного размера основного потока к характерному размеру частиц, 2) отношением характерного размера потока к расстоянию частицы от стенки в момент ей ввода в поток и 3) внешней формой поверхности взвешенной частицы, влияние которой должно отражаться значениями коэффициентов сопротивления й, и подъзмной силы л . Из этой формулы, в частности, следует, что лля частиц большего размера неустойчивость наступает раньше, чем для частиц с меньшими размерами; для частиц, вводимых в поток ближе к стенке, неустойчивость наступает раньше, чем для частиц, вводимых ближе к средней линни (уэ = О).
!'ЛАВА Х1! ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ 5 !. Два режима течения вязкой жидкости В прелшеству!ощих главах изучались упорядоченные течения вязкой несжимаемой жидкости, которые полу. чили название ламинарлых течений'. Общая особенность течений такого рода заключалась в том, что траектории всех частиц жидкости преаставляли собой плавные кривые, а поле скоростей и давлений было иелрерыэным как в отношении пространственных координат, так и в отношении времени.
Для этих течений принималось, что внутреннее трение частиц жидкости полчиняется гипотезе Ньютона н что закономерности этих течений полностью могут быть изучены на основании полных дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости или приближвнных уравнений, но полученных из полных с помощью отбрасывания отдельных слагаемых. Ламинарное движение в трубке осуществляется при небольших перепадах давления, и по мере увеличения перепада давления характер течения жилкости может измениться. При движении жидкости при больших перепадах лавления в трубке осуществляется особый режим.
течения, получивший позднее название турбулентного. Основная особенность турбулентного режима течения вязкой жидкости заключается в беспорядочном характере траекторий частил жидкости и в наличии беспрерывных откосительнах леремеи!еиий частиц, позднее названных лульсациями. Турбулентный режим течения осуществляется не только за счет больших перепадов давлений, но и за счет больших размеров поперечных сечений труб или каналов.
Закономерность для силы внутреннего трения при турбулентном режиме резко отличается от соответственной закономерности при ламинарном режиме. По вопросу о сопротивлении трения в работе Н. П. Петрова' ) сказано: «Сен-Венан и Дарси заметили даже, что сопротивление трения !происходящего от увеличения путей, проходимых точками приложения г) Петров Н. П., Трение в машинах и влияние нэ него смээывающей жилкости, сборник «! идродинэмическая теория смаэкик ГТТИ, 193й 434 [гл. хп тугяулвнтнов авижвнпя сил трения) возрастает вместе с увеличением поперечного сечения канала. Ьуссинеск, принимая это обстоятельство в соображение, вводит даже некоторый особый коэффициент трения, относящийся к некоторому несуществующему прямолинейному лвижению, заменяющему истинное лвижение воды в трубе или в канале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
