Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Если независимые реше- ниЯ обозначить чеРез Р4, Рз, Ра и Р,, то общее Решение УРавнениЯ (4.3) представится в виде в 4) 415 течяния мяждэ пьвлллвльными стенками уравнение ~,(о) р,(о) р',(о) р,'(о) йз(У1) ', (Уг) э!(Уг) Р,'(Уг) характеристическое или вековое р, (о) р',(о) 'рг (У1) р',(у ) р,(о) р',(о) Ря(У~) Р',(Уг) (4.16) Это уравнение как раз и будет прелставлять собой зависимость (4.12) между параметрами я, )х и с для случаи лзминарного течения между параллельными неподвижными стенками, Для течения в погрзничном слое мы должны одно из независимых, например лм отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения (4.! 1).
Следовательно, общее решение уравнения (4.3) в этом случае должно представляться в зиле ~=Ср,+С,р,-+Сэр,. (4.17) Это общее решение должно уловлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как прн приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырожлаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение ра должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10), В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет; р,(о) р,(о) р,'(о) р,'(о) = о, «.!8) з4,(У,)+ Р.,'(У,) О р,(о) р,'(о) Яфг (Уг) + фг (Уг) Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.!8) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном зиле, необхолимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинариых течений.
Наиболее распространенным методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метол представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра но>кис было бы выбрать 1 отношение —. Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит ай множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаЕт дополнительные трудности в применении метода разложения решения 1 по степеням малого параметра —.
Этн трулности возникают, ай 416 гстойчивость ллминьвных течений (гл. х~ во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвертого. Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка У = у„ для которой будет выполняться равенство (4.19) чв (у,) = с, будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками.
Наличие особой точки У = У, вынужлает по-особому выбирать путь соответственного интегрирования в плоскости комплексного переменного у прн аналитическом продолжении дифференциаль. ного уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина. Для проведения числовых вычислений в этой работе используется метод построения асимптотических решений уравнения (4.3), ваключающнйся в следующем.
Первые два независимых решения строятся путам непосредствен- 1 ного разложения решения по степеням параметра —. Полагая ай р (у) = <рз (у)+ (ай) 'рг (У) + (я й) %рз (у) + ° " (4 20) подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка: (4,21) (ш — с)(уь — вара) — ш ра =- — Г(фа-г — 2в-'рь-г+а рл-г) (Л~~1), (4.22) Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближении, отвечающее полю возмущений без учета сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра из. Этим путам можно получить два независимых решения: 'ро~~~ =(гя — с)(д (у)+ аа)г (у)+ игд,(У)+ ...1, (4.23) Рвм -— -(ш — с)А(У)+ «'Дв(У)+ Я'йа(У)+ $4) 417 теченне между плглтлельнымн стенклми где "о(У) = 1 У У Дэлоэ(У) = ~ с(У(ш — с)-'л ~ (ш — с) йэл(У)о(У, О т(У) .) (м — с)я о (4,24) о У („-) Р(,),~~~~- ~У) „-1ЗУ- о о (4.25) Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для и нелинейное диф- ференциальное уравнение (оэ — с) (й я+ л' — о') — шо = = — — (но+ бнэн'+ Зйж+ 4до+к"' — 2ээ(до+а')+ во), (4,26) Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда: й(У)=-744К (У)+й (У)+ =,— З' (У)+ „— К,(у)+ ...
ш - ° Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра э(х, по- лучим последовательность уравнений с) зо = 'Юо (еэ — с) (хо+ 2конт) = — г (4йо~, + 6~ойо), (ов — с) (у, + д~ + 2 кока — о Я) — ш" = = — 1(4й',дэ+ био+ Заойтао+ Зао — 2з'ао) Последующие приближения могут быть найдены нэ уравнений (4.22) с помощью метода варнзцнн произвольной постоянной через решения (4.23). Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без последующих приближений. Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в асимптотической форме положим: хстойчивость ллминлвных твчвннй (ГЛ.
Х1 Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур. Первые два решения представля~отся в виде не= — )У(( — с), ) 5 е"а Для определенности положим; (4.29) агд(= 2, агд(ш — с) ) 0 для тя — с ) О. я -) гы ййю-е) лг у =(ти — с)е и) яа ~Ю (4.30) У + ) тт Л~и-е1 ат = (ш — с) е 1О яе Ю Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом приближении будут представляться в виде [4.23) и (4.30). Однако эти решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено поведение этих решений в окрестности точки у=у и в зависимости от этого не установлен путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30).
Для выяснения этих вопросов в работе Лина вводится новое независимое переменное н новый малый параметр в виде у — у =ато а=(а)С)-'ь. (4.3 1) Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового параметра т(У) = Хрй) = йо(т1)+ еХ~ Й)+ еХг(ч)+ (432) и полате ю — с = тв'ат,+ та" ('"1) + (4. 33) Для отрицательных значений разности м — с будем полагать агн(ш — с) =+к или агй(ш — с) = — г в зависимости от обстоятельств. Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка у = у в асимптотическом решении (4.23) была логарифмической, то для решения (4,29) она будет алгебраической точкой ветвления. Если ограничиться первыми двумя членами в разложении (4.27), то для второй пары независимых решений уравнений (4.3) будем иметь: 419 тачанки между пхтхллвльными станками можно получить следующяе четыре независимых решения уравнении (4.3) в нулевом приближении: у~п й у~п .о ' о ч 71а~= ~ Ит, ~ ф' й Н(Г~' ~ — (1т,а)Ч] Ггт„ Ф (4.34) уом = ~ П,~ р', Н.",,' ~3 (Гаа,) ~ 3тп где зг„, (4.35) з Н))' и Н~'-" ,— функции Ханкеля.
Если воспользоваться асимптотнческимн выражениями для функ. ций Ханкеля, то можно показать, что для весьма больших значений параметра а(х решения (4,34) будут совпадать с решениями (4.23) и (4,30). При этом выбор асимптотических разложений для функций Ханкеля, подчинвнный требованию совпадения решений (4.34) с (4.23) и (4.30), предопрелеляет путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Лля этого пути интегрирования должно выполняться неравен- ство тя я б ( агй("ой) ( 6 ° (4.36) Палее в работе Лина исследуются различные случаи расположения точки у =у, на плоскости комплексного переменного у и в связи с этим выясняются асимптотические представления решений (4.30) и параллельно рассматриваются случаи, когда можно ограничиться решениями (4.23), не учитывающими действия сил вязкости.
В частности, показывается, что при расположении точки у =у, ниже действительной оси (сч с". О) эффектом вязкости пренебрегать нельзя, как бы ни были велики числа Рейнольдса. Попутно доказывается ошибочность утверждения, что если р(у) есть решение уравнения (4.21) с собственным значением г, то сопряжвнная функция р(у) будет представлять второе решение, удовлетворяющее тем же действительным условиям на действительной оси и имеющее в качестве собственного значения с, сопряжзнное с первым с. Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра а(ч. Проводя эти упрощения, Лин показывает, что разграничительная кривая (4.14) имеет две асимптоты при Я -+ оо.
Эти две асимптоты сливаются в одну (« = О), если профиль скоростей основного (гл. х~ устоичивость лхмннлтных течении потока не имеет точки перегиба. В результате своих подробных исследований Лин формулирует правила приближенного подсчета наименьших значений критического числа Рейнольдса, за пределамн которого может наступить неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле, Прежде всего по заданному профилю распределения скоростей в потоке и, = ()тв(у) надо составить следующее уравнение: ктв'(О) (3 — 2 ~1, ' ' = — 0,58 (4 Зу) гв (У,) НУ~ (у,) и решить его графически относительно у,. Затем необходимо нз уравнения тв(у,) = с найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между параллельными стенками по формуле НУ(0) / шва)пу Зов' (О) а св с (4.38) Для случая ламинарного течения между параллельными стенками разграничительная кривая (4,14), отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости, представлена на рис.
100. Минимальное значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно гс „= — ж 3314. ид Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая представлена на рис. 1О1, а наименьшее значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно ((х 320 (3 ч = — — им 1800. В работе Скрэмстед н Шубауэра ') приведены результаты измерений пульсации в пограничном слое и на основании этих из- г) 3кгашз(ад апд 8сЬЕЬаиег, Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
