Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 65
Текст из файла (страница 65)
На основании многочисленных опытов обнаружено, что, чем плавнее осу>цествлястся вход жидкости в трубу, тем выше значение верхнего критического числа Рейнольдса. Но при этом оказывается, что при малейшем возмущении потока характер траекторий частиц резко изменяется. Если же число Рейнольдса не превышает значения нижнего критического числа Рейнольдса, то изменение условий входа жидкости в трубу, т. е.
надо>кение возмущений на поток, не вызывает суцгественнь>х изменений вида графика коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме. Отсюда мы заключаеч, что ламинарное течение жидкости будет реально осуиссс>лвимь>м, >и. с. уса>ойчивым, если число Реикальдса ке иреаышас>и своего кимсксго кри>пического зкачския. Второе условие реальной осуществимости лвминарного течения связано с длиной начального участки трубы. Ллина начального участка трубы должна быть достаточной для того, чтобы на протвженни этого участка всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, должны почти полностью исчеапуть, а основные признаки ламинзрного течения почт> полностью развиться.
Как уже указывалось в главе Х, длина начального участка трубы по результатам ряда экспериментов находится в прямой зависимости от числа Рейнольлса и от рчднуса трубы. т, е. с. ) с>ха, 1Н21 где и — числовой множитель. Таким образом, экспериментальная проверка возможности осуществления ламииарного течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе привела к необходимости рассматривать этот вопрос с двух несколько различных точек зрения.
С одноп стороны, вопрос об осуществимости ламинарного течения в трубе непосредственно связывался с условиями устойчивости такого рода течения. С другой же стороны, этот вопрос тесно увязывался с условиями возможности развития основных признаков ламннарного течения в трубе. Благодаря этому обстоятельству теоретические исслелования вопроса об осуществимости ламинарны течений также велись в двух различных направлениях. Основная часть теоретических исследований была направлена в сторону выяснения необходимых и достаточных условий устойчивости различных ламкнариых течений вязкой несжиь>аемой м,илкости, А вторая часть теоретнче- овщля постановка вопгоса оь тстойчивостн 387 скнх исслеловаиий быяа направлена в сторону выявления основных особешюстей развития ламннарного течения на начальном участке труб и диффузороз.
О теоретических исследованиях, посвящбнных развитию ламинарного течения на начальном участке, была речь в главе Х. В данной же главе булут вкратце рассмотрены теоретические исслелования по вопросу об устойчивости ламинарного течения в нескольких простейших случаях. Теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости и об условиях перехода этого течения в >пурбулемшноз были начаты ещз Рейнольдсом '), Рэлеем з), Кельвином з), Лоренцем ') и были продолжены многими исслеловзгелямн. Подробный перечень статей по этому вопросу приводится в конце первой статьи Лина з). Из работ, опубликованнь>х за кослелние годы по этому вопросу, можно назвать статью В.
Беляковой з). Многочислениь>е теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарных течений, опубликованные в различных журналах и книгах по гидродинамике, можно распрелелнть на две группы. К первой группе относятся те исследования, в которых преимущественно использовался метод малых колебаний и решение вопроса об устойчивости лачинарных течений сводилось к исследованию корней характернсти>еского трансцендентного уравнения, явный знд которого для большинства случаев можно было установить лишь приближзино.
Существо метода малых колебаний заключается в том, что на исследуемое лаиинарное течение накладывается нестационарное поле малых скоростей, удовлетворяющих' линеаризированпым дифференциальным уравнениям. Послелнне уравнения получаются из полных уравнений движения вязкой >кнлкости после замены проекций скорости и давления через суммы проекций двух векторов скоростей и давлений исследуемого течения и наложенного поля возмущений и последующего отбрасывания из уравнениИ слагаемых, содержащих произведения производных по координатам от проекций вектора скорости поля возмущений. Затем рассматривается частш>й вид поля малых возмущений, отвечаюк>ий тому частному решению линеарнзнрованных урзвнений.
в котором в качестве множителя входит показательная функция е,зг-.я> >) Кеу по!ба О., РЬП. Тгапз о1 Юе Коул) Вос. А, СЬХХЧ1, !894. Перевод имеется з книге «Проблемы турбулентное>ш, О)!ТРЬ 1930. з) К а У (е >8 Ь П., Ргос, Ьопб. 5!а>Ь, Вос., Х (1879); Х( (!880); Х(Х (1887); ХХЙ (1895); Рпя >Х(ад (5), ХХХ)У (18925 (О), ХХЧ1 (1913); ХХЛП (1914); ХХХ (Ы15). Вс>еп!. Рарегз 1, Ш, Н>, Ъ'1. 3) К е > и> и 1, РЬЬ. )йай. (5), ХХ!У (1887); РзРегз, 01. 4) ! о> е п ! з )Ь А., АЬЬ. Я.
Юеог, Рйуа!г, ! (!907). 4) 1. > п с. с. 1;>чаг!ег!у о1 Аррпеб ма>ьеаансз, т. п>, 194.". з) В е л я к а я > В, К., Пршгл. магем. и мех„т. Х1(', зын. ! (19зо). [Гл. Х! УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЗЧЕНИЙ содержащая в показателе время Г и основную координату оси, параллельной скорости течения При этои прелполагается, что неизвестный ииожнтель о может принимать только действительнь>е значения, а для множителя )> допустимы и комплексные значения.
На частное решение линеариэированных уравнений поля возмущений соиножителем (1.3) в большинстве случаев накладывались граничные условия прнлипания частиц жнлкостн к стенкам. 1(альнейшая задача сволилась к решению обыкновенного дифференциального уравнения, к удовлетворению граничных условий н исследованик> полученного с помощью последних характеристического уравнения, связывающего множители р и о с числом Рейиольдса.
Вопрос об устойчивости или неустойчивости ламииарного течения решался затем по знаку мнимой части множителя р. Если иннмая часть этого множителя оказывалась отрицательной, то исследуемое течение считалось неустойчивым по отнои>ению к возмущению этого рода, так как после своего возникновения амплитуда этих возму>цсний будет расти со временем. Если же эта мнимая часть оказывалась положительной прн всех значениях множитешг п н числа Рейнольдса, то делалось заключение о том, что исследуемое течение устойчиво по отношению к возмущениям частного вида (1.3). Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический жешод.
При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, ио оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выра>кения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря, В частности, это выражение прелставляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в ноле скоростей возмущений, к тону количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задача>г ва.
риационного исчисления. Этот метод бь>л использован в работах Решюльдса, Лоренца, Орра'), Кармана я), Сайнджаа) н др. й 2. Общие уравнения для возмущенного движения Прежде чем переходить к исследованию устойчивости отдельных лалгинарных течений, установим общие уравнения для возмущенного дан>кения вязкой несжииаемой жидкости и некоторы интегральные соотношения идя этого движеяня. >) О г г, Ргос. йоу 1гц>ь Асад., ХХЧ11, 1903 — 1907. з) К аг ш д и, АШ>апд1. Аегод.
>пз>„Аасйеп, № 5, !925. >) б У. и Хе, Зопгп, о1 ЫАШ. зпд РЬУМВ, т. ХЧ, 1936. Овщив гглиньним и и и»»* Если действием массовых сил пренебрегать, то дифференциальные уравнения лвижения вязкой несжимаемой жидкости булут представляться в виде ди ди ди ди 1 др дг дх ду дг Г дх +и.— +о..— +»о — = — — — +»1и, до д»» до до 1 др д! дх ду дг р ду --+и — + — + — = — — — +чд д»о дж ди», дм 1 др — +и — +о — +»о — = — — — +чош, д! дх ду дг а д" ди до дш — + — +--"=О, ! дх ду дг (2.1) Частные решения системы уравнений (2.1), отвечающие определенному аснолно.иу течению жидкости, обозначим через (2.2) и» о» »о» Р, Для этик частных решений (2.2) лифференциальиые уравнения (2.!) удовлетворяются либо точно, либо приближенно.
Следовательно, можно написать; (2,3) ди» д»»,, дш» дх ду ' дг Составим разность соответствеш<ых уравнений (2.1) и (2.3) и введем обозначения = и', — ! = о', (2.4) Если величины и, о, »и и р будем рассматривать как проекции вектора скорости и давление результирующего возжушдннага движения жидкости, то и', о', ш' н р' будут прелставлять собой проекции вектора скорости и давление далолнитгльнага движения жидкости, которое в дальнейшем будем именовать пален возму»лений. Для изучения изменений характеристик поля возмущений получим из (2.1) и дп, ди, ди, ди, — +и — + о —.+»о — ' д!»дх»ду» дг до, до, до,, до, -+и,— -+о -' ' »о '— д! дх 'ду ' »дг дш», дш» дж, дш» — + и — +и --+то д! 'дх»ду»дг и- — и » о — о ш — »и р р» др! ! др, рш = О. ! (2.3) слелующие дифференциальные уравнения; дие ди' ди' ди', ди!, ди, ди — + и — + и — + еп — + и' — + о' — + щ' — '+ д! гдх !ду ! дг дх ду дг 1 д!"з 1 др' + 2 (а' ю' — а'и') + — — = — — — + ч Ли', и = 2 дх р дх до' дп' дп' дп', дп„, дп,, дп, +и =+о — +то — +и — +о — '+о — + дг !дх еду ! дг дх ду дг 1 д1l'Я 1 др' +2 (а'и' — а( м') + — — = — — — + т Ьп', 2 ду я ду да' да' двн да', даь,д!а,, да~ — + и — + Π— + со †.+ и — + и — + ю — - + дт 'дх 'ду ! дг дх ду дг 1 д1'"- 1 др' +2(а о — а и')+ — — — = — — — +чЬю', и 2 ду у дг ди' дп' да' (2.5) дх+ду+ дг ! В этих уравнениях и,, и,, ю, и р, представляяп собой известные функции координат и времени для основного ьчечекил, )г' — модуль вектора скорости поля возмущений, а а', а', и а' — проекции век.о ч г тора вихри поля возмущений, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
