Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. ° да' д1п' 2а.. = — — —, ду дг' ди' дтп' 2а, дг дх ' дп' ди' 2а = — — —. дх ду' Если считать проекции вектора скорости поля возмущений малыми и пренебрегать квадратичными членами инерции этого поля, то по- лучим следующие дифференциальные уравнения: диг ди' ди' ди' — +и — +о — +а — + дс гдх еду тдг ,ди!,ди!,ди! 1 др' + и — + и' — + ы' †.== — — — + Ли', дх ду дг я дх дп' г!пг до' дп' — +и — + — + — + дг тдх еду е дг ,до,,дп,,дп, 1 др' + и — + о' — — + щ' — = — — - — + Ьо', дх ду дг у ду да' да' да' да' — +и — +о — +м — + д! 'дх !ду где ,да~,,да,,дев, 1 др' + и' — + и' — + щ' — = — — †.+ ч йщ', дх ду дг у дг ди' до' дяи — + — + — =о.
дх ду дг (2.6) 9 2! овщнв ттлвнения длв возмтщвнного движения Умно>язв первые три уравнения соответственно на елиничнь>е векторы осей координат и складывая, получим приближенное лифференциальное уравнение поля возмущений в векторной форме дУ' дУ' дУ' дУ>,,дУ> — +и - -+о — +ю - — +и' — '+ дт >дх >ду >дх дх +о' — +ж> — =- — — и>ад р + ЬФ". ,дУ> >дУ> ! дт дх (2.7) Если основное течение считать прямолинейно-параллельным, т. е. ю =О, ~~ — — О, — =О, дх то дифференциальные уравнения (2.6) поля возмущений будут пред- ставляться в вилс "1 дх (2,8) дх Для случая плоско-пара;щельного поля возмущений булем иметь; ди' дгх др' дх ' дх ' дв Исключая из первых двух уравнений (2.8) лавление, получим следующее приближенное уравнение лля функции тока поля возмущений: д ЬВ6> д Ьф> дф'двп> — — '.
+и — - — — — = ьь)'. (2.9) дг ' дх дх ду' Хотя дифференциальное уравнение (2.9) установлено для случая плоского прямолинейно-параллельно>.о основного течения, все же его можно с некоторой степенью приближения использовать и в случае, когда основное течение и не будет в точности прямолинейно-параллельным и вектор скорости течения будет иметь две проекции, но тогла одна проекция должна быть малой по сравнению с вру>ой, а основная проекция лолжна мало изиеняться вдоль течения. Иначе говоря, уравнение (2.9) можно использовать и для плоского пограничного слоя. Чтобы получить приближенные дифференциальные уравнения поля возиущепий в цилиндрических координатах, проще всего поступить дл> дк> — + и — + о' — -(- дг >дх ду де' > де' — +и— д! 'дх дж' дю' — +и,— дт д.к ди' дв' — +— дт дв ! др'„ — - — +чЛи', в дх ! др' — — + ч г>ю', г дт — — + >Ьщ', дх ! следующим образом.
Взять уравнения (6.6) и (6.7) главы П без учета массовых сил, подставить в них о,= вы+и„, о =и„+ о„ о» = и„+о», Р=Р»+Р учесть уравнения лля проекций вектора скорости основного течения о,„, о, и о„ и пренебречь произвехениямн производных от проекций вектора скорости поля возмущений. В результате получим следующие лифференцнальиые уравнения поля возмущений: до,. де,. е, „дог — '+ — 6+- — — г+ дг "" дг г де + = — "+о.— + — ' — "+: — — -~ч-6=-= оде "дг г д» 'дг г дрг / ~ »:,. аде х де де е,» де' +о — + — —,+ д/ ы дг г дт "дя ' дг г дт "' дг (2. 10) агдт+ (, » гя )6 да)' до,, е,.
1 де„де„ вЂ” '+ — г+ — —" »- — '= О. дг г г де ' дз Лля случая прямолинейно-параллельного основного течения в круглой цилиндрической трубе будем иметьс и жО, о ~0, — О, — = — О, с'»'»» до»» дя ' дт до» де» е»» де — *+ — '+ — '-' — »+ д/ ыдг г де де» де +»» + ' д е деы,дсы г дт+»д. 1 дР' р дз = — — — -+»»»е, Ъ к! оящиа ттявняния лля возмтщянного лвнженин и поэтому дифференциальные уравнения поля возмущений булут прел- ставляться в виде (2,11) Если полагать поле яозмущсннй осесимметричным, т. е. — "=О, — '= — О, — =О, дт ' дч ' дч о„— О, то на основании послелнего уравнения (2.11) можно внести функцию тока д(г д", (2.! 2) Первые лва уравкения (2.!!) прелставятся тогда я виде ! т даф , дг~~! 1 дп ,,)()Ы г~,дтдл ыдл"-) З дг+ г д" ' 1 1 (дтд» дезы дф'дом') ! д)г' ~ дВУ (2.!3) 1' ' г !дед» ' яь дгдл ддл дг / а де г д где 0 — оператор Стокса: дз ! д , дт дгз г дг ' длз' Исключая из уравнений (2.!3) лавленне, получим следующее диффе- ренциальное уравнение лля функции тока симметричного поля возму- щений.
наложенного на прямолинейно-параллельное течение в круглой цилиндрической трубе: д Оф' дар», 1 дф»доы дзф» дпы дф»дтиы д! ы дл ! г дл дг дгда дг дл дгт Для случая основного кругового течения вязкой несжимаемой жидкости в уравнениях (2.10) необходимо положить: де,, диет о жО, о ямО, — вяб, — — О, дф * дл до, — '+ дг до дп', — 1+ дг о "дг;г дт ' ( т ге+ге дт)' де„.доы 1 д)г „ ыдл ' "дг р да+ д (го„) д (го,') ди, + — — '+ — ' =- О.
дг де дт >стойчивость ллминленых течении — г+ -г+ — -"-"-+ --.- = О. дг г г дт дг Гели в рассматриваемом случае дополнительно предположить, что проекции вектора скорости поля возмущений и давление не будут зависеть от поляркото угла о до,. до до, др дч ' дт ' дт ' де — '=О, — — ==О, — -'==О, — =О, то из (2.!5) получим следу>ошие дифференциальные уравнения симметричного поля возмущений, наложенного на основное круговое движение вязкой несжимаемой жидкости: д> г В д>' (, > ' гт! до, 1др дт рдд (го,.) д (го„) дг д" + — =".= О, ('2.
16) тдс д'-' ! д дз дгз ' гдг ' д'' Приближш>ные дифференциальные уравнении (2.9), (2.14) и (2.16) соответственных полей возмущений использовались отдельными автора>>и для исследования устойчивости основных ламннарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Теперь перейдзм к установлению некоторых энергетических соотношений для поля возмущений.
Обратимся к полным уравнениям поля возму>ценив (2.5). Умножая первые три уравнения на и', о' н ш' соответственно и складывая, При этих предположениях дифференциальные уравнения поля возмущений представятся в ниле > > дт„о, до, до,„огт>,ч —,, ~бо' т ( '.) (2.15) де+ г дт яда а 21 овщие телвнзиня для возмюценного движения 395 получим: Используя уравнение несжимаемости и выражения компонент вектора вихря, будем иметгн г г и' ди'+ о' ао'+ щ' Лщ' = г .— 2 — (о в' —. юа',) + — (ю а' -- и'в') + + — (и'а' — о'а' )1 — 4 в', =-Й" (';: — ~- ")1+АИ'-а+ ~ ")1+Й-'6+1 "М Первые четыре слагаемых в левой части (2.17) в своеп совокупности представляют собой ииднвидуальнухз произ~годную по времени от кинетической энергии единицы массы в поле возмущений при условии, что переход частиц из одного положения в другое происходит со скоростью основного движения.
Для этой производиои введем отдельное обозначение д д д д де дь ' 'дх 'ду 'дх ' — '= — + и — +о — +щ —. (2.18) Для всех последующих слагаемых левой части (2.17) также введем отдельное обозначение ,а диг, ду,,а да,, удиг де 'г г)4 = — 1и' — +о' — — + щ' — '+ и о ~ — + — )+ дх ду д- )ду дх 7 ' и'.-"'(й'-.'+'д — ')+"'о'(' — "+'— ")) (2 ") Г/г (э д- — д —,— д — д —— 2 2 2 2, мдиг,едег,гдвг — + и, = + о — + тп — + и — + ед" — .+ щ' — + дг дх г ду г дх дх ду дх + (а'Ьи'+о'Ло'+щ'Ьщ'), (2,17) уСТоичньоь~~ вви Используя обозначения (2.18) и (2.19) и предшествующие формулы преобразования, получим из (2,17) следующее энергетическое соотношение для единицы объЕма частиц жидкости в поле возмущений: — '(Р—,) = рМ вЂ” 4рв'+ — (и'(р'+ —, р(>' )+29(о'в' — -ш'в,')~+ + — (о'(р'+-,— р)г' )+2р(ш'в' — и'в'„))+ + — ~ш'(р'+ — р)г' )+ 29(и'в,' — и'в',)~.
(2.20) Для случая плоского поля возму>ценил будем иметь: ь„э — '( — ) = р Ч вЂ” 4йв' -à — ~и'(р' -1--,; э(г' )-4 21>п'в'~+. г> ~ при этом из (2.19) получим: ,э ди> с ди... Гди> ди,т) М = — (и'э — + о' — -(- иги ( — + — )(. дх ду )ду дх ) (2.21) (2.22) Если >ке основное течение будет плоским прямолинейно-параллельным, т. е. д»> ю,—= . О, д — '=О, и, =- и,(у), то вь>ражение для М примет вид , ии> М =- — и'о —. ду (2.23) Допустим, что мо>хно выбрать такой конечный прямоугольник с площалью 5, на границах которого у = с, у = с( проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль, а на других границах х = а, х = д распределение скоростей, давлений и вихрей будет олинаковым.
При этих условиях при интегрировании по >лощади рассматриваемого прямоугольника будем нметгн ~ — (и'(р'+ — р)>' )+ 2ро'в'~ г(хг(у = ~ ~и (Р + -2 р"" ) г-2ро™~ >(у = О, з=е ш'=— О, в'= — О, в' =О, в'=.в' х ' и и, следовательно, энергетическое соотношение (2,20) будет предсгавляться в виде й 2) озщиа уиляиання для аозмущйнного даижаиия 397 ~ ~ д [о' (р'+ — 71' ) — 2 и' '~дхду = и:.ь ~о'(р'+ —, р)l' ) — 2ри'м'~ дх =- О, и=а — — рР' с(х ду = р ~ ) М Нх игу — 4)ь ~ ) м' с(х игу.
(2.24) Полученное интегральное соотношение (2.24) представляет собой энергетическое соотношение для частиц жидкости внутри указанного прямоугольника в поле возмущений. Это соотношение показывает, что возрастание кинетической энергии поля возмущений может происходить только тогда, когда величина М будет заведомо положительной и прн этом такой, чтобы значение первого интеграла в правой части (2.24) превосходило значение второго интеграла. г4ля случая плоского прямолинейного течения, для которого Щ)О, дй величина М из (2.23) может быть полозкительной, если проекции вектора скорости поля возмущений будуг иметь разные знаки, т.
е и'о'( О. (2.25) В указанных в предшествующем параграфе статьях, в которых исследование устойчивости ламинарныл течений проводилось с помощью энергетического метода, в качестве допущения принималось, что возрастание со временем кинетической энергии поля возмущений может служить вполне достаточным признаком возникновения неустойчивости исследуемого ламинарного течения. Если принять это допущение, то дальнейшая задача исследования устойчивости прямолинейно-параллельного течения между параллельными стенками будет сводиться к подбору соответственного поля возмущений, удовлетворяющего неравенству (2,25), при котором правая часть равенства (2.24) обращалась бы в нуль и при этом число Рейнольдса исследуемого ламинарного течения принимало бы наименьшее значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
