Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 64
Текст из файла (страница 64)
8) Таким образом, задача изучения развития движения вязкой несжимаемости в коническом днффузоре сводится к решению дифференциальных уравнений (4.2) при граничных условиях (4,5), (4,7) и (4.8). Проводя интегрирование по углу 0 в третьем уравнении (4.2), получим выражение дчя поперечной скорости ., 1' оа — — — — — 1йз / о з1п 0г(0~.
ЫязДадй'( ~ л а (4.9) В силу условия (4.8) левая часть выражения (4.9) будет обращаться в нуль на стенках диффузора, т. е, условия (4.7) для поперечной скорости будут выполнены. При испояьзовании (4.3) и (4.6) первое уравнение (4.2) может быть представлено в виде Гга17а двл 1 ЛУ д Г дел ~ — — = — — — +-, — (з!и 0 — ), дК а Л,2 )7аыпе дз (, да )' (4.10) то условие постоянства расхода через радиальное сечение диффузора будет представляться в виде $4! гззвитие движения жидкости в коническом дне оязоте 3?7 Умножав левую и правую час~и этого уравнения на йза!пбд0 и проводя интегрирование по углу 0 в пределах от О до О, получим: о (/ й й — ! ! и а!П 0 Ньз~ = — — — йз( — соз О, + 1) + ып 0 ! — Г! . о Используя условие (4.8), напдеи: дУ Г!217ойо + В ош Оо (дзп ) лй зй П вЂ” соо О,) + йз П вЂ” созе,) ( дз ), Если равенство (4.8) применить к начальному сечению, то для расхода будем иметь следуюнаее выражение: 1;! = 2п(/ой~(1 — соа Оо).
(4.!2) Подставляя (4,11) в уравнение (4.10), используя (4.12) и вводя обозначения — = Д, 1п — =.", (4.13) ггой йо получим уравнение для радиальной скорости дед д д ( дел) . мо Оо (дел — — з!и 0 — ~ — 2(! е-ет — А ( — \, (4.14) дс о!и О дз 1 дз у о 1 — соа Оо1 да ~о' которое необходимо решить при следующих граничных условиях: при 1= О ол = йо, ~ (4.15) при 0= Оо ол =О. К решению уравнения (4.14) применяем метод преобразования Г!апласа. Полагая (4.10) будем иметь , дид д( = (го+ о * дО о е-ла-зе = —;. 1 р4-2 о Применяя преобразование Лапласа к уравнению (4.14) и к первому .граничному условию (4.15), получим следующую задачу для изображения радиальпоп скорости: (4.17) 878 глзвитие ломиногного движения жидкости [гл.
х Из двух независимых решений однородного уравнения (4.!7) выбираем именно то решение, которое булет ограниченным на оси диффузора, т. е, при 0 = О. Обозначая это решение через Ао'(0) и присоединян к нему частное решение неоднородного уравнения (4.17), получим: ср = Ао'(О) +, — — с!и — ( — ! . ыор Л Оо Где 1 р+ 2 р 2 1ЛО)о Отсюда будем иметь: Ле йу оГО Лв ' (4.18) (гор 1 Р+2 Л Оо У (Оо) — — с!8 — оч (Оо) р 2 Таким образом, решение задачи (4.17) для изображении радиальной скорости будет представляться в ниле о (0о) — о (01 иор (4.! 9) Р+ 2 л "о У(Оо) с!Я Р (Оо) 2 )[о сих пор мы никаких ограничениИ на угол раствора диффузора не накладывали. А теперь допустим, что угол раствора лиффузорз настолько мал, что можно приближенно положить: с!8.
0 = —. 1 0 ' (4.20) При такой замене дифференциальное уравнение (4.17) без правой части будет представляться в виде Лог~ ! 1 Ло' [ — .=0, Лво ' О ЛО Л и поэтому ограниченное решение этого уравнения будет представлять собой функцию Бесселя нулевого порядна от мнимого аргумента, т. е. .ЦО)=7,(0~77 Р). (4. 21) Если к тому же воспользоваться рекуррентной формулой 2 „Ро(х) = (о(х) — Рз(л) то решение задачи для изображения (4.19) при малых углах рас- Удовлетворяя граничному условию прилипания, получим следующее выражение для постоянной: (, 7,(зв ~, л) — гз(О ~7 — ) ( к') (4.22) Сопоставляя равенство (4.22) с решением (235) для изображения осевой скорости частиц жидкости в круглой цилиндрической трубе, мы замечаем, что различие состоит в наличии дополнительного мно- жителя Р р+2 и в том, что под знаком аргумента функции Бесселя вместо множителей а н г находятся множители бв и О.
Раскладывая правую часть на простые лроби, будем иметь: " = ",,'(") = и, ~ — ", + ~ (4.23) тле рж связаны с корнями уравнения 4(7) =О соотношением (4.24) О,)/~' = (4.25) а коэффициенты разложения (4.23) будут представляться в аиде зв(зо )Г ~) — Уо(О $/ ~) 2) Х (Ов Ог — 7 2Л., ~уе(т~я) 2о(О тя)~ я Оа(2 ..
) (4,26) Используя разложение (4.23) и выражения (4.2б), получим выражение для оригинала радиальной скорости ол Уз(О )гГ Л) — Го(зо фг — ) (ч'-') — р- '! ') ' з —,и (4.27) 2 4) влзвитие двнжвнив жидкости в коническом дичзязоге 379 твора конического диффузора будет представляться в виде 33О глзвнтив ллмннлиюго движения жидкости (гл, т При замене 4 через )г на основании (4.13) радиальная скорость он будет представляться в виде е ( ) -10(З 11 — ) — Уо(ЗОБУ Л) з(Ч' ~) +4 00' — ' 1 О (ка) О (4.
28) Подставляя (4. 12) и (4.23) в (4.11) и проводя интегрирование по переменному )с, будем иметь; — У лу 2ОБО)', 2нда, /- 2 о( о вг д! 1„, О 3'!)о ~ч )ОА(НО) !')Оа) 'о "' ' уа(т )( — — т„,) "~ ' " 'О(Ч/2) т„га(т„,) 00 ГО(та)( Л ) Те)( Л ТОО) Па основании рекуррентныл формул для бесселевых функций Ро(х)= /1(х)= 2 (ОО(х)+аз(х)! мы можем в правой части (4,29) произвести следующие замены: , '( г'й ( г'1) ~ 60' 1 Уз(даф а) 20(за)гг ~) ) (4.30) да (т„,) 382 талвитие ллминаеного движения жидкости [гл. х Подставляя в (4.34) последовательно х = Оз ~/ —; х =(=— ао получим: жи 26е 4 а=ч л '(ч'й ( зе уе( ~Л) (4, 35) 1 За+4 О /(О) Следовательно, сумма (4.38) будет иметь следующее значение: Таким образом, лля разности давлений из (4.32) и (4,36) будем иметь: Рз Р, 1 Ч т' Л ) = 2)з — 1 -1- —— яи-„' 3,,( Вч ) (4.37) При исследовании функции Р(х) = 37я(х) — lс(х) можно обнаружить, что действительным корнем этой функции будет: хт = 2,175, (4.38) и до достижения аргументом х значения хд функция будет отрицательной, а затем положительной, На этом основании будем иметь р ( Р при выполнении неравенства эч ~- <, '2,!75.
В этом случае течение в диффузоре будет происходить з сторону падения давления. Если же считать параметр 5 малым и пренебрегать поэтому первым слагаемым в правой части (4.37), то при вы- (гл. х тязвнтив лхминлвного движвния жидкости Так как при выполнении неравенства ),( А беден иметь: (4,44) у,(),) > о, у,(д) > о, то знаки левой н правой части (4.42) будут различны. Следовательно, при выполнении неравенства (4.44) отрыва жидкости от сте- ~~. Ф л ! л ггб 'обула ю,уст ыо ы ~вс г~о лина, Рвс, 97. й ) — 'а-, (4,46) то поток жидкости будет отрываться от стенок диффузора, а так как при этом будет выполняться и неравенство (4.39), то течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления. Прн этом с возрастанием числа Рейнольдса место отрыва потока от стенок будет приближаться к входному сечению.
В цитированной выше работе С. М. Тарга приведен график зависимости места отрыва от значения числа Рейнольдса, который мы и воспроизводим здесь (рнс, 97). нок происходить не будет. Подставляя в (4.44) значения Х и й, получим неравенство для числа Рейнольдсз д Б (4А5) ео Таким образом, при малых числах Рейнольдса, не превышающих правой части неравенства (4.45), течение вязкой жидкости в коническом диффузоре будет безотрывным. Если число Рейнольдса будет превышать правую часть (4.45), т. е. ГЛАВА Х1 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В !. Общая постановка вопроса об устойчивости В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел нли сред опрелеляют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния.
Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится в механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда иетодов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова.
В главе 1У были рассмотрены простейшие решения точных дифференциальных уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. На основании сказанного выше эти решения определяют класс пока только возможных простейших угзшнавившихся движений зязиай несжи.чаемой жидкости, которые получили название ламинариых течений. Вопрос >ке о реальной осуществимости этих возможных простейших движений должен решаться отдельно либо с помощью непосредственной экспериментальной проверки основных особенностей ламннарных течений, либо с помощью теоретических исследований условий устойчивости этих течений. Экспериментальная проверка основных особенностей ляминарного течения, например, в круглой цилиндрической трубе показала, что для осуществимости ламинарного движения необходимо выполнение двух условий.
Первое из этих условий заключается в том, что число Рейнольлса ие должно прьвып1ать своего критическага значения, т. е. Я< Наю (1.1) При этом иногда различают лва критических числа Рейнольдса, одно ив которых называют верхним, а второе — иижни.я. Под верхним 386 >стойчивость ллминхвных течений 1гл, ю критическим числом Рейкольдса подразумевается то его значение, при котором можно еще наблюдать прямолинейность траекторий всех частиц жидкости прн наиболее благоприятны:с для этого условиях входа в расс>>атриваемую трубу Ни>кисе критическое числа Рейкольдса прелставляет собой го значение числа Рейнольдса, за пределами которого при произвольных условиях входа жидкости в трубу график коэффициента сопротивления трубы на логарифмической диаграмме не будет представляться отрезком прямой, одинаково наклоненной к осям координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
