Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(9.14) Поэтому корни уравнения (9.12) будут совпадать с корнями простого трансцендентного уравнения 18).=>,. (9.16) Используя разложение мероморфной функции, будем иметь: (9. 16) где коэффициенты се и с„представляютси в виде (9.17) .гэт('~ ль) рлУ., (а у' — ) о = ай з)п 0 (1+2( — ) ~з е а' *, ]. (9.18) «=1 ь~,у,г (ьщ Из полученной формулы (9.18) следует, что с возрастанием, времени скорость частиц жидкости приближается к предельному своему значению, равному скорости частиц твердого шара при его вращении вокруг неподвижной оси. Определим по формулам (6.9) главы П ту часть силы вязкости на поверхности самой сферы, которая отвечает одной лишь поперечной скорости о . Имеем: ;до о ч гдов~ (Л ),= р( — ' — --) = р( — ) — риз)п 6.
(9.19) Подставляя разложение (9,16) в (9.11) и используя соответственные значения интегралов и выражения для коэффициентов (9.17), получим для поперечной скорости частиц жидкости внутри вращающейся сферы окончательное выражение 6 10) движения шатл в неогеаничвнной вязкой жидкости 341 Вычисляя на основании (9.18) производную от скорости и по ради. усу и используя граничное значение этой скорости, получйм: ,"а (д ,; — .=-шип 0+2шыпб ~ е ( д02,~е а=в Следовательно, сила вязкости на поверхности сферы будет представляться в виде вв а= 'а (рк )„= 2рш з!п 0 ~ е (9.20) а=! Умножая левую и правую части (9.20) на элемент поверхности сферы аэа!пйдшд!! и на расстояние до оси вращения аз!п0 и интегрируя по всей поверхности сферы, получим следующее выражение для момента сил вязкости относительно оси вращении: т-, а= » гав 1О 1., = а" ~ ~ (рл ) з!пэ0дь~дй = — тошев т е "', (9 21) в а а=! Чтобы осуществить вращение сферы, наполненной вязкой несжимземой жидкостью, с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить переменный момент.
равный правой части (9.21). Сопоставляя выражение (9.21) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей сферу, с выражением (6.16) для момента сил вязкости частиц жидкости, наполняющей круглый цилиндр, мы видим много общего в этих выражениях. Для случая цилиндра радиус входит во второй степени, но в качестве третьего линейного измерения входит длина цилиндра, которая в формуле (6.16) равна единице. Различие имеется только в отношении числовых множителей и в значениях корней соответственных функций Бесселя. 9 1О, Движение шара в неограниченной вязкой жидкости Вели пренебрегать квадратичными членами инерции, не учитывать лействие массовых сил и считать движение частиц осесимметрнчным, то дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (6.10) и (6.11) главы П в сферических координатах предста- вятся в виде д д — ()сз з!п 6 ад)+ — Я жп вбяв) = 0 дел ! др г 2ел 2ев 2 дпвт — = — — — +в~до — — — — С!Кб — — =), 1 (101) дг Е дР 1 л А'в А2 ЛЧ дз,)' дев 1 др пв 2 дола — = — — — +в(цпв — + — — ) ° дг рдтда (, Ив!пвв Ф дз,)' 342 нвкстлновившввся лвижзниз вязкой жидкости [гл.
Вх На основании первого уравнения (10.1) можно ввести функцию тока осесимметричного движения жидкости, полагая 1 дФ и А~~!па дз' дф )гми Вд~Р ' (10.2) Используя обозначение оператора Стокса последние два уравнения (10.1) можно представить в виде 1 дзФ ! дл ч д)зФ йчз!зВ дедВ р ддЗ+ Щз!вв дв 1 д'Ф ! др ° д!!Ф з!я Вд)Рдс р дВ + мп В д!В Исключая из уравнения (!О 4) давление, получим для функции тока следующее дифференциальное уравнение с частными производными четвйртого порялка: д)зФ вЂ” =-00Ф. дг (10.5) (10.4) Полученное дифференциальное уравнение (10.5) применим к задаче о неустаиовившемся движении шара в неограниченной вязкой жилкости. Пусть шар радиуса а движется с постоянной скоростью !го параллельно положительному направлению оси л в неограниченной вязкой несжиРис. 89.
маемой жидкости (рис. 89). Граничные условия прилипании частиц жидкости к поверхности шара будут представляться в лиле при )с=а о = — — — = (ге соз В, ~ дф и Язв!пВ дз 1 дФ (10.6) К граничным условиям (10.6) необходимо присоединить условие отсутствия движения частиц жидкости на бесконечности: (10.7) при !с=со пл — — О, па=О. Что касается начального условия в рассматриваемой задаче, то его пока формулировать не будем. Вид граничных условий (10,6) даат некоторое основание к тому, чтобы искать функцию тока в виде произведения квадрата синуса $10! движение шага в неогглннчкнной вязкой жидкости 343 на неизвестную функцию от радкуса и времени, т. е. ф = з!п !!Р(гс, Г).
(!0.8) При таком предположении дифференциальное уравнение (10,5) и граничные условия (!0.6) н (10.7) представятся в виде (10.9) 1 др — — '= — !г,, 1г дР 1 дР 1г д1г — — = О. 2г" = !е дн = при Я=а (10.10) при )с = со е-гнг" я, Г) =— г* Р е (10.11) и проводя преобразование Лапласа над уравнением (10.9) и гранич- ными условиями (10.10), получим: 1 МЕ' !о о цлт= !о ! Нг' ггИ при )с= а (! 0.13) при )с = со Пользуясь неопределенностью начальных условий, потребуем, чтобы первое слагаемое (10.12) обращалось в нуль, тогда дифференциальное уравнение (10.12) запишется ( —" — 2) ф — р-(~'+ — ')~ = О.
(10.14) Если ввести обозначение (10.15) то дифференциальное уравнение (10.14) представится в виде азу 2Г' — — — = О. нде уг Общее решение этого последнего уравнения будет иметь внд у= — '+СУ. К данной задаче применим метод преобразовании Лапласа. Вводя обозначение нвкстлновившвася движвнив вязкой жидкости (гл. гх Таким образом, для изображения В* будем иметь следующее неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: „(р+ й) с, (10.
16) Проверкой можно убедиться, что частным решением уравнения (10.!6) с правой частью будет выражение " (с!+с о~) (10.17) С помощью подстановки Г = !/Я~ Л/!х(В)1/ ~)+ ВК.;, (В 1/ — )1+ — '+ СЯ'-. (1ОА6) Чтобы удовлетворить условию (10.13) на бесконечности, необходимо постоянные А и С, приравнять нулю. Функция К (х) представляется в виде Кд(х) =-.
1/ — "(!+ — ). Следовательно, решение (10.18) будет теперь: В* = В,е ' (1+ =--)+ —. я) /г Используя граничные условия (10.13) на самой поверхности шара, получим уравнения для определения постоянных Вт и С, В,е ' (1+ — )+ — = — - — усох, У г— ч а ал 1/р) аа ~" =у1/й однородное уравнение для В' можно привести к уравнению Бесселя леу 1 лу (р 9 Ига ВЛВ (» 4Кн) — + — — — у (-+ —,1= О. Решение етого уравнения представляется через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента у =- А!т, ()г 1/ Р ) + ВКт, (й 1/ Р ) . Таким образом, полное решение дифференциального уравнения (10.!6) будет: 9 10) движвнив шлел в нвогеаннчвнной вязкой жидкости 345 откуда получим: вз — — -аУО )г — ' е 2 З р Ь'зи ( з+ за )Гб+3~) Таким образом, решение уравнения (10.16), удовлетворяющее всем граничным условиям, будет иметь вид 2 ! )Гр рА' l й l! у'р йр1 Проводя обращение преобразования Лапласа (10.1!), получим; р()з Г) Ьеи ! ~ ел~Зе ! " (~/ — + — )— аз за Ги зи1ар — — — а; — — — ~ —, (! 0.20) Л !3г' р Лр! р' В теории операнионного исчисления ') доказывается, что асимптотическое значение оригинала прн бесконечно больших значениях независимого переменного Г можно получить с помощью разложения самого изображения в окрестности той особой точки на плоскости комплексного параметра преобразования р, для которой действительная часть этого параметра имеет наибольшее значение.
В рассматриваемом нами случае такой особой точкой изображения (10.19) служит точка, для которой р = О. Если показательный множитель (1О,!9) представить в виде ° Гр — ~н — и!и — Гр ! зр е р "=! — я — а)у — + — я — а)з— У ° то нз (10.19) будем иметь: (Р')„~, — — — аЪ'з !!Зй — — ).
1 г аз (10.21) Учитывая (!0.8), получим для функпин тока при бесконечно больших значениях времени слелующее выражение; (9) ьь о = — (3)х — — ) 5!пз !д (10.22) Правая часть (10.22) совпадает с правой частью (6.12) главы Ч. Таким образом, полученное решение (10.20) при возрастании времени г) Л у р ь е Л.
И., Операционное исчисление н его приложения к задачам механики, Гостехиздат, !951. нктстлновившввся движанив вязкой жидкости (гл. !х до бесконечности вырождается в решение задачи Стокса об установившемся движении шара в неограниченной вязкой жидкости. При проведении решения задачи о движении шара мы не сформулировали точно начальное условие. Начальное распределение скоростей мы можем получить из самого решения (10.20).
Для этого достаточно найти выражение для изображения при стремлении параметра преобразования к бесконечности. Полагая в (1О 21) р = со и учитывая (10,8), получим следующее выражение функции тока для начального момента времени: (ф)8-ьо = — э!и 0, и" Ь е 2!г (10,28» Правая часть (10.23) представляет собой выражение для функции тока прн движении шара в идеальной жидкости. Следовательно, установленное выше решение (10,20) имеет место при том начальном условии, что распределение скоростей в момент начала движения совпадает с распределением скоростей при движении шара в неограниченной идеальной жидкости. Заметим, что дифференциальное уравнение (10.5) можно представить в двух эквивалентных формулах: в Д',-' —.
вф) = о, (,— ',—.В)ВФ=О. Поэтому решение уравнения (10.5) можно в ряде случаев искать в виде суммы двух функций: Ф ='а+фа (10.24) из которых первая является решением дифференциального уравнения параболического типа — ' = чР)ы (10.25) а вторая представляет собой решение уравнения эллиптического типа !)Фз = О. (10.25) Построенное нами решение (!0,18) как раз и представляет сумму двух иэображений: Р' = Р;+ Р". Для первого из этих иэображений оригиналом будет функция Р„()с, !), с которой решение уравнения (10.25) связано зависимостью ф, = ыпзйР ()с, Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
