Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 62
Текст из файла (страница 62)
27) где [с — число Рейнольдса для круглой трубы, т. е. (70 й=— (2.28) Подставляя числовое значение Т, и значение У„(П) из таблиц ') У,(Т„)= — 0,133, будем иметь из (2.27): 7. = 0,16а[с. (2.29) Таким образом, длани начального участка круглой цилиндрической труба пропорциональна числу )зейнольдса и значению радиуса трубы. Значение коэффициента пропорциональности в (2.29) достаточно хорошо совпадает со значением, определяемым из ряда опытов. 9 3. Развитие ламинарного течения жидкости в плоском диффуаоре г) К у з ъ м и н, Бесселевы функции, ОНТН, 1935, сгр.
217. В 9 !О главы % было рассмотрено радиальное установившееся течение вязкой жидкости в плоском диффузоре с помощью полных урзвнений, Но при этом не учитывалось возможное влияние распределения скоростей во входном сечении, через которое жидкость реально может поступать в диффузор из какого-либо отдельного резервуара. По этой причине рассмотренное в 9 1О течение в пло- ф 31 РАзвитие лАминАРного течений жидкости в плоском диоетзоте 363 дог о до, о" 1 др о — + ' дг + г ду г г дг Гдтог 1 дог 1 даог о, 2 до т (, дг" ' г дг ' ге дте ГА гз дт)' до„г,г дот, огоч 1 дР , — Р+ — ' — "+ — '=- — —, -т+ 'дг г дт г агдт гдзо„1 до ! дяо о 2 дог! ': дгз г д» га дтз гз гд дт)' дг„ог 1 до дг г где (3.
1) В уравнениях (3.)) как слагаемые от вязкости, так и слагаемые от квадратичных членов инерции учтены полностью. Упростим эти уравнения с помощью лишь частичного учета слагаел!ых от вязкости и от ускорения, подобно току как это лелалось в теориях смазочного и пограничного слоя. Во-первых, будем полагать, что производные от о„по г, входящие в правую часть первого уравнения (3.1) в ком- бинации дзот 1 до, о„2 Г догт дто, 3 до„о„ вЂ”,г+ — — ' — —" — —, ! — о„— г — "~ =-.,'+ — — "+ —,", (3,2) дгз г дг гз гз 'А " дг/ дга г дг в своей совокупности л!алы по сравнению со второй производной от этой скорости по углу о. Во-вторых, компоненту скорости о будем считать малой по сравнению с о„и поэтому будем йренебрегать всеми слагаемыми, солержашимн эту компоненту скорости ском диффузоре носило характер течения от источника, помещенного в вершине лиф(Рузора.
Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного движения в плоском лиффузоре с учвтом распрелеления скоростей но входном сечении, но не на основании точных нелинейных лифференциальных уравнений, м а с помощью приближенных линейных уравнений, зналогичных уравнениям (2.1). Пусть две прямолинейные стенки, простирающиеся в направлении оси г до бесконеч- Рнс. 96 ности, наклонены лруг к пруту под углом 2я (рнс. 94). Прелполагая жидкость несжимаемой, а ев движение — установившимся и плоско-параллельным, будем иметь из (6.6) и (6.7) главы И слелующие дифференциальные уравнения в полярных координатах: 364 развитие ллминлрного движения жидкости (гл.
х в качестве множителя или под знаком производной по г. В-третьих, радиальную скорость, входящую в качестве множителя в первое слагаемое в левой части первого уравнения (3.1), заменим ей средним значением, определяемылр из выражения расхода источника на плоскости для идеальной жидкости 1) 2«г' (3 лй) где сз' -- полнын расход жидкости через сечение лиффузора. Прн этих трех допущениях получилр из (3.!) слеаующие приближЕнные уравнения: !3 до„1 до . дэог 2«г дг р дг гэ дтт ' ! до 2~ до„ 0= — — — +--,", рдт г от' до„о, 1 доч ".+ "+ — — =о. дг г г дт (3.4) Иэ второго уравнения (3.4) после интегрирования по углу й получим: (3.5) (,') до„ « деон 1 дУ 2«г дг гэ др' р дг' д дог дг " дт — (го )+ — =-.
О. (3.7) Задачу о развитии движения жиакости в плоскол~ диффуэоре будем решать с помощью приближенных уравнений (3.7). Сформулируем теперь граничные условия. Условия прилипания жидкости к стенкам будут представляться в виде: при ~7= — «о„=О, о„=О. (3.3) Условие постоянства расхода жидкости через каждое сечение будет давать следующее равенство: ~ о„г д р = 12.
(3,9) где 7(г)- — неизвестная функция от г. Продифферснцируем (3.5) по г: др д lо,л дУ (3.6) дг ' дг(г г' дг' Если подставить выражение (3.6) з правую часть первого уравнения (3.4), то первые слагаемые (3.6) согласно указанным выше допущедго„ ниям должны считаться малыми по сравнению с — "- и мы их можем дт (но только после подстановки в (3.4)) отбросить. В' таком случае из (3.4) получим: $ 31 елзвитиа ллминлгного тячания жидкости в плоском диесхзоге 365 Примем, что по входному дуговому сечению диффузора радиальная скорость распределена равномерно, т, е. при г = гз пт ее () (3.10) 2яге ' Проволя интегрирование второго уравнения (3.7) по углу еч получим слелующее выражение для поперечной скорости: д г дг,) (3.! 1) В силу постоянства правой части (3.9) условия обращения поперечной скорости в нуль на стенках будут выполнены. При интегрировании первого уравнения (3.7) по углу ф получим: (3.
12) Определяя из равенства (3.12) —. и полставляя в первое уравнение Фу и'г (3.?), получим для радиальной скорости следующее уравнение: В силу симметричного распределения скоростей по входному сечению можно полагать, что и в кажлом другом сечении радиальная скорость будет распределяться симметрично относительно средней линии р = О. При этом предположении булем иметь следующие равенства: (3.14) Вводя обозначения — -=Д, )п — =Е го и используя равенства (3.14), получим из (3.13) лля рости лифференцизльное уравнение дв„дав„г а где„1 (3.13) радиальной ско- (3.10) На основании (3.9) интеграл в левой части данного равенства можно заменить отношением расхода к поаярному радиусу 368 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ЛВИЖЕНИЯ ЖИЛКОС1И (гл. х Подставляя рааложение (3.24) и равенства (3.27) в (3.23) и вычисляя простейшие интегралы, получим для радиальной скорости выражение а а ( соа = — соя =) у'л ул~ с г+ — а а )гд а!и —, — а сов =— у'л р"л ° =1 л — т'а (3.28) Если от переменного $ перейти к переменному г, то радиальная ско- рость иа (3.28) будет представляться в виде т а а (соа = — соа = р'л у'л,) — а а г ! ЙА1п —, — а соя = )лл )г л СОА Уж— а Р)'" А- 2 ~ (3.29) соя т„, аа а — — т, А Подставляя (3.29) в (3,)2), получим: а мя -=- )'Ла + л/ р~')1 Р (догА р1зв нпага дг 4авга аг1 'Адт!„4аага АГЛ А .
— а а !' ЛА1я — — а СОА = у'д тж (З.ЗО) СОА = =р +"""+Я г ЗА1.1 а а )га я!я —, — а соа— р'л (3.3!) где р — постоянная интегрирования правой части (3.30). Выполняя интегрирование в (3.30) и подставляя в (3,5), будем иметь для давления: 6 3) талвитие ллмннлююго течения жидкости в плоском лиеекзоте 369 )«а лт йиео Ра=р + ге Найдем конечное выражение суммы (3.32). Раскладывая функцию Р(х) = —. Р (х) х! Р (х) Р— хе!йх на простые дроби '), будем иметь; „,, Р,(т„,) х — (м та, 1:,( — ! л) («+т„т„,Г1 где ( — корни уравнения (3,25).
Выполняя вычисления, получим: хз =3+2х У, сгт 1 — «с!йх а ~ ха — т;"ь л=! или с~ 1 . за к~ь 2 г — '= — —;+! + —.— — —. а.а ьз а па и зь=! — ты !й а )Гл ул (3.33) Заменяя а через га, будем иметь: 2 у~~ » =! — +"'„, у% (3.34) !и = — = )% )га !) С м ир нов В. И., Курс высшей матеиатнки, т, Щ Гостехиздат, 1939, стр.
443. Из вида правой части (3.29) заключаем, что радиальная скорость на бесконечном удалении от входа в днффузор обращается в нуль, как и должно быть в силу конечной величины расхода. Вследствие этого постоянная интегрирования р должна представлять собой давление на бесконечности в диффузоре. Полагая в (3.31) г= ге, получим следующее выражение для давления на входном сечении рассматриваемого диффузора: ь 2 —, Т'в а а Я !а — —— )д вл Такии образом, разность давления на входном сечении диффузора и на бесконечности будет представляться в виде 1 а 2 )ГЛ йч ле л гео (3.35) Я ге — ш= во !% )гл При исследовании функции шх у=-1 —— можно обнаружить, что ее значение меньше 0.5 при х< 1,92 и больше 0,5 при х > 1,92.
Следовательно, при выполнении неравенства =< 1,92 (3. 36) давление в начальном сечении будет превышать то давление, которое имеет место на бесконечном удалении от входа в диффузор. Если ввести число Рейнольдса так же, как оно вволилось при рассмотрении движения в плоском лиффузоре в 5 1О главы !Ч, т. е. в виде отношения полного расхода к кинематическому коэффициенту ввзкости (3.37) то на основании обозначений (3,15) будем иметь: (З.ЗВ) Подставляя (3.33) в (3.36), получим следующее неравенство для числа Рейнольлса: !с< — ',—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
