Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(3.39) Таким образом, при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.39), лавление у вхола будет больше давления на бесконечности, и позтому течение жидкости будет происходить в сторону падения давления. 370 Развития ллмннлгного лвижвния жидкости !гл. х Составляя равность левых и правых частей (З.ЗЗ) и (3.34), получим: й 3) глзвитив ллминленого течения жидкости в плоском дивекзогв 371 При использовании равенства (3.38) выражение (3,35) для перепала давлений можно представить в виде р~ — ро вее Если рассматривать случай малых углов раствора диффузора, то последним слагаемым можно пренебречь.
В этом случае при выполнении неравенства Р) — '„ 7,38 (3.41) течение жидкости будет происхолить в сторону возрастания лзвлеиия. Обратимся теперь к вычислению силы ввзкости, Согласно равенствам (6.5) главы П будем иметь следующее общее выражение для касательной компоненты напряжения: Г 1 двя дет е„) =«~ — — -+ — — — / ° 'т (г де+де г! ной формуле (3.42) Подставляя выражение длв радиальной скорости (3.29) в (3.42), получим выражение для силы вязкости на стенке диффузора вз з 77я (~о)в —.
~я — — — =-, = т;„—— )а уХ "= "' а (3.43) В 9 1 главы ЧШ при рассмотрении вопроса об отрыве пограничного слоя от стенки указывалось, что условие отрыва слоя от стенки представляет собой условие обращения силы вязкости на стенке в нуль. Распространим это условие отрыва пограничного слоя на отрыв всего потока вязкой жидкости от стенок диффузора, т. е. место отрыва потока от стенок диффузора булем определять из условия (т), = О. (3 44) Слагаемые, содержащие поперечную компоненту скорости, на основании принвтых выше попущений должны считаться малыми по сравнению с производной от о„по углу р.
Следовательно, силу вязкости на стенке диффузора р.— -я можно подсчитывать по приближеи- 372 елзвнтив ллминлгного движвния жидкости [гл. х Полагая левую часть (3.43) равной нулю и обозначая отношение радиуса начального сечения к радиусу сечения места отрыва через з, т. е. гч — = Я, гв (3.45) получи~ уравнение лля определения л аз а (м «,т л Зл „е ' — 2 а — — 1д л )ха )гд (3,46) Проведвл1 небольшое исследование уравнения (3.46). Наименьший корень уравнении (3.25) имеет значение 3, == 4,49. Следовательно, при ив|полнении неравенства 9« — =я<449 ~/л левая часть уравнения (3.46) при положительных значениях у булет всегда положительной. С другой стороны, известно, что при г 0<к<в 2 (3.
47) будет иметь место неравенство (йх)х, а в интервале 2 <л<Я зна ~ение тангенса будет отрицательным; (дх< О. Таким образом, при выполнении неравенства (3.47) правая часть уравнения (3.46) будет всегда отрицательной. А это значит, что при выполнении неравенства (3.47) уравнение (3.46) не может иметь действительного и положительного решения, т. е. отрыва потока от стенок диффузора произойти пе мозкет. Подставляя значение Л из (3,39), получим ив (3.47) следующее неравенство длв числа Рейнольлса: (3,48) Таким образом, при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, не превышающих значение правой части неравенства (3.48), отрыва потока вязкой жидкости от стенок диффузора проиаойти не может. 9 3) глзвитив ллминлгного течения жидкости в плоском диеегзоге 373 В 9 !О главы 1Ч показано, что чисто радиальное (о ж О) течение в плоском диффузоре возможно лишь при выполнении неравен- ства (3.49) и 42 ' Гт.т- 27 877 М 720 Югт Ж7 ЛО 24ОЪ сг Рпс.
95. были заиспены приближенными линейными уравнениями (3.7). )й шы торос различие правых частеи неравенств (3.48) и (3.49) следу 1 объвснить качественным различием самих требований, выполнение которых приводило к этим неравенствам. В олпом случае (3.49) неравенство получено в результате требования возможности чисто радиального расходящегося течения в плоском диффузоре, а в прутом случае (3.48) неравенство получено в результате требования безотрывности течения жидкости в том же лиффуаоре. Уравнение (3.48) будет допускать действительное и положительное значение лля я только тогла, когда неравенство (3.48) будет заменено обратным, т, е. 2яя й)-„—.
(3.50) Таким образом, при выпотнении неравенства (3.50) будет происходить отрыв жидкости от стенок диффузора, При этом, как этп Сопоставляя правые части неравенств (3.48) и (3.49), мы можем придти к выводу, что при малых углах раствора диффузора правые части этих неравенств не булут резко отличаться друг от друга. Это обстоятельство в известной мере оправдывает принятые выше допущения, благодаря которым точные нелинейные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в плоском диффузоре 374 (гл. х Развитии ламинаоного дзнжвния жидкости 4) 4. Развитие ламинарного движения жидкости в коиичесном диффузоре Пусть мы имеем конический днффузор с углом раствора 26„ (рис. 96). Предполагая движение вязкой несжимаемой жилкости ( дол доя установившимся и осесимметричным 1о =— О, — О, — — = О), буда дем иметь из (6.10) и (6 11) главы !! следующие дифференциальные уравнения в сферических координатах: дол о дол оз 1 др , !дзол 2 дол 1 о л дд)+А дб Аэ — а дд (ддз А дА 1 д1.,долм 2ол 2 д + — — — ~з!п '1 — / — —;, — — (з)п боя)~.
Аммпб дб'! дб / !2з Агзыпб дб до„о до одо„ о — + — — + — = вдгг 12 дб А' (4.1) 1 дд ! о„ , 2 дол, р!Одб + ~ " !газ!паз ! А' дб /' дол 2ол 1 д — + — + — — (з!и бо,) = О. дР ГГ Газ!п Ода Как и в предшествующих параграфах, упростим нелинейные дифференциальные уравнения (4.1) с помощью частичного учета слагаемых от вязкости н от квадратичным членов инерции. Во-первых, предположим, что из всех слагаемых в квадратной скобке в правой части первого уравнения (4.1) наибольший порядок величины будут иметь слагаемые, содержащие произволные от радиальной скорости по углу О.
Во-вторых, поперечную скорость оэ будем считать малой по сравнению с радиальной скоростью и на этом основании будем пре- следует из вида левой части (3.46), с возрастанием числа Рейнольдса (с возрастанием )г й) точка отрыва жилкости от стенок будет приближаться к входному сечению (величина з будет уменьшаться). Выполнение неравенства (3.50) влечйт за собой и выполнение неравенства (3.41). А это значит, что при наличии отрыва потока жидкости от стенок течение жидкости будет происходить в сторону возрастания давления.
В цитированной выше работе С. М. Тарга проведено более подробное исследование развития течения вязкой жидкости в плоском лнффузоре. В частности, в этой работе приведены и ревультаты численных расчетов зависимости положения точки отрыва потока от стенок от значений числа Рейнольдса, и эта зависимость представлена графиком, которьщ мы здесь воспроизводим без изменения (рис. 95). й 4! гязвитне движения жидкости в коническом дисвтзогв 373 небрегать в первых двух уравнениях (4.1) всеми слагаемыми, содержащими поперечную скорость. В-третьих, множитель ол в первом квалратичном члене инерции первого уравнения (4.1) заменим той скоростью К которая является характерной для каждого сечения диффузора.
При этих трех допущениях нз уравнений (4.!) получим следующие приближвнные линейные уравнению дел ! др ч дг дед~ д!7 р дрс ' дмз!па дв дз др 2п дол 1 д ., ! д )7 д!7 Л Мп В да — ()сяп )+ — — (яп бо,) == О, (4.2) Проводя интегрирование по углу 0 во втором уравнении (4.2), получим давление р= — ~ +У(й) (4.3) где 7' — произвольная функция от одного переменного тт. Г!Ри подстановке (4.3) в первое уравнение (4.2) мы можем пренебречь согласно нашему первому допущению теми слагаемыми, которые будут получаться от дифференцирования первого слагаемого (4.3).
Приближенные уравнения (4.2) аналогичны приближйнным уравнениям (1.1), (2,1) и (3.4), которые были использованы в прелшеству- Рис. зб. ющих параграфах. Во всех этих уравнениях сохранялся лишь один квадратичный член инерции в первом уравнении, но не в полном свози видс, а в виде произведения некоторой скорости, характерной для данного сечения трубы или диффузора, на соответственную произволную от истинной основной компоненты вектора скорости. Легко усмотреть, что в предшествующих параграфах характерная скорость выбиралась таким образом, чтобы вводимое число Рейнольдса по характерным величинам сечения оставалось одним и тем же длв всех сечений трубы или диффузора.
Зтнм же соображением будем руководствоваться и в данном случае конического диффувора. Выбирая за характерный размер сечения геено, определим число Рейнольдса для сечения в виде р! =- — „ 17!го, (4,4) 376 глзвитие ллминлгного движения жидкости (гл. х Тогда требование сохранения числа Рейнольдса лла всех радиальных сечений будет выполнено, если характерная скорость будет переменной величиной, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию от вершины днффузора. Полагая, что по входному сечению радиальная скорость распределена равномерно, т. е. )7 = )оа ол = ()а (4.5) при получим из требования постоянства числа Рейнольдса следующее выражение дла характерной скорости: (4.6) К граничному условию (4.5) необходимо присоединить условия прилипания частиц жидкости к стенкам диффузора: од=о, о,=о. (4.7) при Так как элемент поверхности сферы с центром в вершине диффузора равен аИ = )7з з1п 0 г70 агф, 2яйз ~ о з!п 0 г(0 = д а (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
