Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 60
Текст из файла (страница 60)
а для второго — оригиналом будет функция Рз®, Г), через которую решение уравнения (10.26) представляется в виде 4з — — э!пзбРяЯ, 1). Учитывая (10.24), (10.26) и (10.26), для оператора Стокса от функпии тока 5, будем иметь: 1 дрч з1еза дрч дг ч дг' (10.27) Обратимся теперь к вычислению давления в произвольной точке и к определению результирующего воздействия вязкой жидкости на шар. Подставляя выражения (!0.24) и (10.27) во второе равенство (10.4), получим: 1 / дейч дзйз Х 1 др „ ! дзд, з1п Н 1д17 д1 + дА дз ] р дз ' з1п Н д/7 де ' или др г дзр,, дар, — = — — — = — е з!п Н вЂ”.
да з1п Н д17 де ' д1731' После интегрирования обеих частей этого равенства по углу Н будем иметь: р=рсозН вЂ” '+С, дчг дГ (10.28) Подстановной выражения (10.28) в первое равенство (10.4) можно убедиться в том, что С может представлять собой лишь произвольную функцию от времени. На основании (10.19) можно заключить, что изображение функпии Ре()3, г) имеет вид Р, = — — ~ (а + За 1/ — + — ) . (10.29) По виду правой части (10.29) легко установить выражение самого оригинала Р ()з т) а е/аэ+ба1// ч— + 3 1). (1О 30) Подставляя (10.30) в (10.28), получим следующее выражение для давления в произвольной точке вязкой жидкости: р г о (За 1/ — +Зч)+С, (10.31) Лля сопротивления шара мы можем использовать общую интегральную формулу (4.16) главы !И, которая в нашем случае принимает вид (10.32) 9 10! движвнив шлтз в нвогтаничанной вязкой жидкости 347 348 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ )ГЛ.
!К где та — составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии. Используя выражения (10.2) и граничные условия (10.6), получим: ш= о сОЕ6 — юзз!и 6, ) На основании уравнений (10,25) и (10.26) будем иметь: дЧ дзе, дед, . 72Р, ! дг, 27У,, е 72Р „! др,1 (10.34) Используя первое граничное условие (10.10), получим: [2 (Р~ + Лз) ~ (10.35) Так как это равенство справедливо для любого момента времени, то его можно дифференцировать по времени, т. е. (10,36) Подставляя (!0.35) и (10.36) в (10.34) и (10.33), найдем: Используя теперь выражение (10.30), будем иметь'.
(дм) 31е ге ( / ) (10.37) С помощью равенства (10.31) и (10.37) подинтегральное выражение в (!0.32) будет представляться в виде ( дшт 3 Г)го l — l — р соз 6+ о — .)! =- — — — (а ат — + ) — С соз 9. Г1~ Р = — бкраЪ'е(1 + а Яг г 1' (10. 38) При возрастании времени до бесконечности правая часть (10,38) будет совпадать с правой частью формулы сопротивления шара при установившемся лвижении вязкой несжимаемой жидкости, установленной в главе Ч.
Подставляя это выражение в (10.32) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для результирующего воздействия неограниченной вязкой жидкости на шар, движущийся прямолинейно и равномерно: 10) движзниз шага в нвогтлничвннои вязкой жидкости 319 Вели шар будет перемещаться не с постоянной скоростью, а с переменной, то решение задачи можно получить с помощью применения формулы Дюгаиеля (1.12) к правой части (10.20).
В частности, длв результирующего воздействия ввзкой несжимаемой жидкости на шар при его неравномерном поступательном движении мы получим следующую формулу: Р,= — — ковра" (Г) — 6кра1'(Г) — 6)/ чарлз!=+ У'(т) 1. 3 (!0.39) ГЛАВА Х РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В 1. Развитие ламннарного движения между параллельными стенками В главе !Тг были решены задачи об установившемся прямолинейно- параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижными стенками и в круглой цилиндрической трубе.
Предположение о прямолинейности траекторий всех частиц жидкости пожег оправдываться строго только при условии, что сами стенки на всвм своам протяжении являются прямолинейными и простираются в обе стороны до бесконечности. Если же стенки по своей длине ограничены н если к тому же у своих концов они не будут строго прямолинейными, то предположение о прямолинейном характере траекторий всех частиц жидкости может оправдываться только приближенно на тех участках, которые булут достаточно удалены от коннов стенок, Как уже указывалось в 9 5 главы !Ч, ламинарное движение в цилиндрической трубе ограниченной длины может реально осуществляться при выполнении двух условий. Во-первых, число Рейнольлса не .аолжно превышать своего критического значения.
Во.вторых, длина трубы, отсчитываемая от входного ез сечения, должна превышать ллину так называемого начального участка, на протяжении которого всякого рода возмущения, неизбежно возникающие при входе в трубу, будут постепенно уменьшаться, При выполнении зтих двух условий на протяжении начального участка будут постепенно развиваться те основные признаки ламинарного режима, о которых была речь в 9 б главы !Ч.
Задача определения характера движения вязкой несжимаемой жидкости на начальном участке цилиндрической трубы впервые решалась в работе Буссинеска в) с помощью ряда допущений и упрощений дифференциальных уравнений движений вязкой жилкости в цилиндрических коорлинатах. Затеи зта же задача решалась Шиллером 'г) путви сопряжения прямолинейного профиля распределения скорости г) Воавввпевя Ю., Совр!ее йепбнв бе ГАс. б, Вс., т. 1!3, 1891, стр. 9 н 49. в) Ш ил хе р Л., Течение жидкостей в трубах, ОНТРь 1936. $1! влзвития ламинлзного двнжвния мвждт плвлллильн. стенками 35! в ядре течения с параболическим профи.чем распределения скоростей в пограничном слое.
Таким же способом Л. С. Лейбензоном ') была решена задача о начальном участке для течения между параллельными неподвижнымн стенками. Систематическое исследование вопроса о начальном участке течения в трубах и в диффуворах бы.чо выполнено в работе С. М Тарга а) с помощью приближвнных уравнений. Пусть две прямолинейные и параллельные стенки простираются до бесконечности лишь в одну сторону (рис. 90). Обозначим расстояние между стенками через 23. Начало оси х выберем в середине расстояния межлу концами стенок. Для определения движения на начальном участие применим уравнения, формалыю совпадающие с приближенными уравнениями (5.1) главы НИ1: 1 др дзи — — — +ч —, З дх дуз О, ди (1 — = др ду дл дх+ (1.!) до д — — О, У Рис.
99 В этих уравнениях квадратичные члены инерции учтены лишь частично в первом уравнении, а слагаемые от вязкости учитываются так же, как в теориях смазочного и пограничного слоя. Множитель У представляет собой среднюю по сечению скорость. Сформулируем теперь граничные условия. На стенках должно выполняться условие прилипания жидкости к стенкам, т. е.
при у= + Ь, х)0, и=О, п=О. (! .2) Расход жидкости через каждое сечение рассматриваемой плоской трубы должен оставаться одним и тем же, т. е. ь ~ иду = 2И/. (1.3) К граничным условиям (1.2) и (1.3) необходимо присоединить условие у входа в трубу. Рассмотрим тот простейший случай, при котором основная компонента скорости и по начальному сечению трубы распределяется равномерно, т. е. при х = 0 и = У. (1.4) ") Лейб е язон Л. С., руководство по иефтепромыслозой механике, ч.
1. Гидравлика, ГОНТИ, 1931, стр, ЗЗ. з) Та рг С. М., Основные задачи теории ламинариых течений, Гостехиздат, 195!. 3Ы влзвитив льмнньаного движения жидкости (гл. х Из последнего уравнения (1,1) для поперечной компоненты скорости о получим: !ди д à — ~ — с!У = — — а! и дУ. ,~ дх дх -ь -ь (1.5) Используя равенство (1.3), легко видеть из (1.5), что условии обращения скорости о в нуль на стенках будут выполнены. Проводя интегрирование левой и правой частей первого уравнения (1.1) по переменному у, получим: ь ь дх ) У р дх,~ У+ ((ду)ь (ду)-ь1 Отсюда, учитывая (1,3), получим следующее выражение для перепада давления: (1.6) Таким образом, рассматриваемая задача сводится только к определению основной скорости и из следующего дифференциального уравнения параболического типа: (!.7) Уравнение (1.7) и равенства (1.5) и (1.6) будут иметь место прн любом распределении основной скорости у входа в трубу. В рассматриваемом нами частном случае (1.4) начального распределения скоростей можно полагать, что распределение скоростей в произвольном сечении плоской трубы будет симметричным по отношению к средней линии.
В таком случае будут иметь место следующие равенства: при у=о ди ду (!.6) (!.9) Обозначая (1. 10) (!.1 1) получим из (1.7) следующее деления основной скорости: ди дх' дифференциальное уравнение для опре- й 1) газвитив ллмннааного движения мзждз паглллельн. стенками 353 Уравнение (1.11) необходимо решить при следующих граничных усло- виях: при х=О при у=О при у=)г (!.!2) Сопоставляя данную задачу решения уравнения (1,11) при граничных условиях (1.12) с задачей неустановившегося прямолинейно- параллельного движения между параллельными стенками, простейший случай которой был рассмотрен в 5 4 главы 1Х, мы видим много общего. Это обстоятельство указывает на возможность использования при решении данной задачи того же метода операционного исчисления, который использовался при решении задач в главе !Х, Вводя преобразование Лапласа по независимому переменному х от искомой функции и е-л 'и (х, у) с(х = й( (1.13) Р и используя первое граничное условие (!.!2), будем иметь: ,~-й =- е Ре — г(х =-.—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
