Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 55
Текст из файла (страница 55)
~'-У вЂ”, ""Е 2 17) 2яГ,! р г-г Подинтегральное выражение (2,!7) имеет особую точку в начале координат, представляющую собой точку ветвления. Проведем на плоскости комплексного переменного р Рис. 79. контур АЕСРЕггА, состоящий из отрезка прямой е †à и е + ! со при малом значении а, из полуокружности радиуса )г, двух разрезов СР и ЕЕ и малой окружности РЕ вокруг начала координат (рис.
79). В области, ограниченной замкнутым контуром АВСРЕЕА, функция, стоящая под знаком интеграла (2.17), не имеет никаких особенностей, а поэтому по теореме Коши ш-е р — „ир г/ р Е ли ОРАВА $21 дан>кение иеогглничвнной плоскости в вязкой жидкости 31! Отсюда получим; ~е ' Р= — ~( ) Р— ~( ) Р ~( ) — — (( ) — — 1( ) —, (2.18) ДХ ДУ РЗ РС ВР -.,— ЛР 1 ~ РС ЯГ, ЛР з/« ° ГР е — — — ~ е 2хг р 2гг , р сю 1 ! Рс-з)' с аср — — л! е ' —. (2.19) 2зс Р Преобразуем переменные интегрирования в правой части (2.19).
Зля разреаа СЕ> положим: — « р=аве" = — аз, )Гр=- аез =!а, с)раа — 2а«2а, тогда для разреза ЕР будем иметь; р = азе '« = — ая )Гр = ае ' = — !а, сср = — 2а с)а. Испольауя новые переменные, из (2.!9) получим: и — -и— з з е '" — е РС-З'и †„ Фр ° ГР е 2пс Р ~ е-ыс о ! — — ) е>м з)п= —. 2 1 „,с, «у >та у-., « о где в скобках под знаками интегралов в правой части должна находиться та же функция, которая стоит в левой части под знаком интеграла. Будем теперь увеличивать радиус полуокружностей до бесконечности.
Тогда интеграл в левой части (2.18) будет стремиться к интегралу (2.17). Интегралы в правых частях по дугам окружностей ВС и РА согласно лемме (2.16) будут обращаться в нуль. Интеграл по окружаости ВЕ будет представлять собой вычет рассматриваемой функции в точке р = 0 с обратным знаком, умноженный на 2пс. Таким образом, из (2.18) будем иметь: 312 нетсглновившввсн авигкгщис вязкой жидкости (гл. ~л Таким образом, окончательное решение рассматриваемой задачи представляется в виде и(ль Г) .= (Г(1 †. — ) е-" з1п = — ~ 6 (2.20) Подсчитаем ~еперь значение силы вязкости на движущейся стенке: Интеграл в правой части можно представить через интеграл Пуас. сова Ю 1 " =--т~ е "ч г(я == — = 1 е Ф'г(х = —, 1/ е о Следовательно, сила вязкости на движущейся с постоянной скоростью стенке равна нгг (2.21) Тхг г В момент начала внезапного перемещения плоскости с конечной скоростью сила вязкости -.
обращается в бесконечность, что естественно ожидать по аналогии с явлением удара. Однако, если подсчитать импульс силы вязкости (г' =- У(Г), то решение задачи о передаче движения от стенки к слоям гкидкости можно представить на основании формулы Люгамеля (1.12) в виде и(у, 1) =(/(0) иг(у, Г)-Г ~ Е/'(т)и,(у, à — т)г)т, (2.22) е и устремить промежуток времени его действия е к нулю, то получим для импульса значение нуль. Таким образом, импульс, потребный для внезапного приведения плоскости в движение с конечной скоростью, будет зависеть только от массы самой плоскости и не будет совершенно зависеть от плотности и вязкости соприкасающейся со стенкой жидкости.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью, зависящей явно от вреиени: Ь 2) движение неогглниченной плоскости в вязкой жидкости 3!3 где и (у, Г)=-1: ! егм э)п —— 2 (,, ьт Па (2.23) В частности, сила вязкости на стенке при переменной скорости дви- жения самон стенки будет представляться э виде Правая часть (2.2ч) указывает на то, что сила вязкости на стенке в момент Г зависит от всего предшествующего состояния движения этой стенки. Обоаначим через г)1 массу единицы площади, а через В(Г) внешнюю силу, приходящуюся также на единицу площади стенки и зависящую только от времени, Составляя дифференциальное уравнение движения стенки с учетом силы Р и силы вязкости (2.24), найдем: Таким образом, для определения ускоренна движущейся стенки мы получили интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности à — -,.
Такого вида интегральные уравнения решаются с помощью того же преобразования Лапласа. Умножая левую и правую части (2,25) на до бесконечности и вводя обозна. проводя интегрирование от нуля чения [/т е- г(7)г(Г = —, Р ' о получим: е-РгР(Г) г(Г =- — —, (2.26) Р о 3 Предположим, что функция (7'(Г) такова, что в последнем слагаемом (2.27) возможна перемена порядка интегрирования. Областью интегрирования (2.27) служит бесконечный треугольник выше биссектрисы (рис. 80). При первом интегрировании по переменному -. в (2.27) мы должны идти вдоль отрезка Ог, при втором интегрировании 314 нввстлновившиеся движвнив вязкой жидкости (гл. ~х отрезок ОГ должен перемещаться вверх от начала координат до бесконечности. После перемены порядка интегрирования мы должны при первом интегрировании по переменному Г перемещаться по прямой, параллельной оси Л от т до бесконечности, а при втором интегрировании эту прямую необходимо перемещать вправо от начала координат до бесконечности.
Следовательно, будем иметь: а е я'пг ~ =а(т= ~ и'(х)тт ~ е-ш= о о а Полагая затем г — с =х, о((.=г(х и учитывая (2.26), получим: е-Рог(Г ! ' = ~ с-Рои'(т)г(т ( е ™л= = — В/ ! г й(о)ла г, г л и" — .! й о о о и(о) р. и' — +— Р ро — = Л4 о н 1 34)г; )гр (2. 30) Рассмотрим тот случай, когда внешняя сила Г отсутствует и когда стенка после получения некоторой начальной скорости и(0) Таким образом, соотношение (2.27) представится в виде р,а '~' р р )~'ор Отсюда для преобразования Лапласа от ускорения будем иметь; Р" ни(О) — — (2.
28) Р и М .~-— Р, Применяя равенство (2.6), получим: е Раи'Ш.=- = и' — и(0), (2,29) Р о сг йр Р с. ВО. нс. где — — преобразование Лапласа от ско- Р рости. Приравнивая правые части (2.28) и (2.29), получим следующее выражение для преобразования Лапласа от переменной скорости движущейся стенки: Ф 3) 315 ДИФФУЭИЯ ВИХРЕВОГО СЛОЙ (/(Г) — (У(0) еич [1 2 ~ е Рг(Р~, )г (2.31) где (2. 32) М Тгт В правой части (2.31) находится функция, которая широно используется в теории вероятностей. Вводя для этой функции обозначение () (х) = = ) ' е-рг13, 2 (2.33) будем иметь и(г) .Еч В (0) О,— — 1 В(в.
У'г) Полагая, например, Д).'Г =- 0,01, (2,34) по таблицам, приводимым в курсе теории вероятностей, получим: (4(Д )г Г) = 0,01128, 2 е "" = 1,1283, г е то) = 0,9888 Таким образом, скорость движущейся плоскости уменьшается примеРно на 1е)е по пРошествии пРомежУтка вРемени, опРеделЯемого нз соотношенйя й 3. Диффузия вихревого слои Если плоская стенка начнат перемещаться с постоянной скоростью (т', то скорость прямолинейного движения частиц вязкой несжимаемои жидкости будет определяться по формуле(2.20).
А теперь изменим постановку задачи. Пусть до момента времени г = 0 часгицы жидкости и стенка имели постоянную скорость с( в отрицательном движется только под действием тормозящей силы вязкости. Для определения по изображению (2.30) оригинала мы можем воспользоваться, как указывалось выше, справочными таблицами или провести те же рассуждения и вычисления, которые были проведены выше при введении в рассмотрение замкнутого контура АВСЕ)ЕГА. В ревультате для оригинала скорости движения стенки можно получить выражение нзхстлнозиешзяся движение вязкои жидкости !гл. > *>и и .—.= () (1 — = ) е> ш з!и —; — - ! — (>' == — — „) с.
"" з)п = †. (!!. 1) о Выражение з правой части (3.1) будет обращаться в нуль при у = О, ! ) 0 и при ! = О, у= 0 и будет равно — (> при у = сю. Лля всех промежуточных значений у от нуля !р до бесконечности скорость и будет отрицательной, т. е. при 0(у(со и(у, !)(О. Распространим это решение (3.1) и для отрицательных значений у. Тогда будем иметь: при 0)у) — -сю и(у, г)>0, Рис. 8! и при этом для значения у = — сю скорость и (у, !) будет раана (/. Следовательно, выражение (3.1) для всего пространства будет означать то, что для начального момента времени частицы жидкости, расположенные выше оси х(у ) О), имели скорость — (/, а частицы, расположенные ниже осн л, имели скорость + (>', и сама ось к представляла собой скачок скоростей (рис.
31). Таким образом, функиия (3.1) выражает собой рассасыаание начального скачка скоростей благодаря вязкости жидкости. Найдем теперь по скорости (3.1) значение вихря. В рассматриваемом случае вихрь будет представляться в виде ч> = — -=- ~ е-'*'соя =ля. 1> ! ' ау я)гч ТГ> (3.2) Для вычисления интеграла (3,2) поступаем следующим образом. Положим — б. =(> и обозначим интеграл через Л т. е, р ч l= ~ е-"н соя(>иг(а, е (3.3) направлении оси х. В момент ! = 0 стенка у = 0 была внезапно остановлена, Требуется установить, как будет происходить торно>кение дан>кения всей жидкости, Легко проверить, что решение этой новой задачи мы получим, если из правой части (2.20) вычтем скорость (), т, е.
если положим: ;11 2 ЛНФФУЗНЯ ВИХРКВОГО СЛОЯ Дифференцируя этот интеграл по параметру Ь, получим: лу — — е "' яп Ьв а4и. лв = ч Выполняя интегрирование по частям, будем иметь: lе е -"и я(ЙЬа аФа = ~ з(п Ья с((— (:2Г~ 1 ь 21 = — — е — "" з1п Ьа + — е-"ч соя Ьа г(я. 21 Й Первое слагаемое в правой части при подстановке верхнего и нижнего предела обращается в нуль, а второе слагаемое представляет в собой первоначальный интеграл с множителем —. Таким образом, 2г получим следующее дифференциальное уравнение для ./: Л2 Ь вЂ” = — — у. ЛЬ 21 После разделения переменных и интегрирования будем иметь: (п У = — — ЬЯ+ (п С, я 41 Отсюда ь У= Се (3.4) Полагая параметр Ь равным нулю и используя значение интеграла Пуассона, получим: (3.5) Подставляя значение С из (3.5) в (3.4) и значение интеграла (3.4) в (3.2), наплел~ конечное выражение для вихря скорости м(у, г)=, е 2 )',чу Полученное выражение (З.б) показывает, что для начального момента вихрь всюду был равен нулю, кроме оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
