Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 53
Текст из файла (страница 53)
= (Еиы и в уравнениях сохранить лишь члены порядка единицы, то из пер- вых лвух уравнений (9.2) можно получить те же уравнения, которые были получены в 9 1 для плоского пограничного слоя, т. е. г = 0 д) ! 1 до до„! др дао ° — -+. ==----+.-'-.-. 1 лдх Яду удх дуа' ( 9.9) — ! а х =- — ! г,с1х, у:=- — 'у — м.! о Ео, Ег га го (9.1 О) тле масштаб длины Е введен лля сохранения размерностей координат и скоростей.
Скорость частиц на границе слоя с внешним потоком выразим также в виде функции от новой координаты х, т. е. (Е (х) = й( ). (9.11) ') Степа но з Е. 1!., Прнкл. матем, и нех., т. Х1, № 1, 1947. К тем же уравнениям (9.7) и (9.9) можно прийти и не прибегая к уравнениям (9,2) в цилиндрических координатах, а используя криволинейные коорлинаты х и х на самой поверхности тела и направление нормали к этой поверхности. При этом начало отсчета криволинейной координаты х берется в критической точке, а дополнительные слагаемые за счет криволинейности линий х и у не учитываются.
Слелуя Е. РК Степанову а), приведем уравнения (9.7) и (9.9) к тому виду, который имеет место для пограничного слоя на соответственном плоском контуре. Введвм следующую замену координат н скоростей; (гл. шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Так как дх дх Гз ' (9.12) ду го дх ! то получим: до до дх до ду газ до ге до дх дх дх ду дх Гз дх Г ду доп доп дх доп ду го доп ду дх ду ду ду 1 ду дУ дУ гз д'о гз дзо дх дх ГА дуз Гз ду и, следовательно, уравнения (9,9) и (9.7) принимают вид (9.13) до, — до„— дУ дзоп о — и+ и — и = У вЂ” +ч=' 'и дх "ду дх ду до, доо =о дх ду (9.14) Граничные условия для уравнений (9.9) и (9.7) имеют вид: о =О,оя — О, (9.10) ду при у= О при у=В о =У(х), ='=О. ~ ду Таким образом, для изучения дни>кения жидкости в пограничном слое при осесимметричном обтекании тела врашеняя достаточно провести решение уравнений (9.14) для плоского пограничного слоя при условиял (9.16) и затем воспользоваться формулами преобразований (9.10).
7(ежду прочим, заметим, что при обтекании безграничным потоком цилиндрической трубы в продольном направлении будем иметь; г,(х) = сопзг, и уравнение несжимаемости (9.7) переходит в уравнение несжимаемости для плоского потока. Следовательно, в том приближении, в котором составлены уравнения (9,7) и (9.9), пограничный слой для Если воспольаоваться преобразованиями (9.10), то из условий (9.15) получим: при у = 0 о = О, о„ = О, гоз при у=4=в 299 погглничный слой нл тзлв вглщения $9) внутренней поверхности трубы будет одинаков с пограничным слоем на внешней поверхности трубы и будет совпадать с пограничным слоем на пластинке. В качестве конкретного примера использования преобразований (9.10) рассмотрим пограничный слой на внутренней поверхности конического диффузора с углом раствора 2в (рис.
75). Если ось х направить по верхней гранипе конуса в плоскости меридиана, х а начало ев взять в его вершине, то уравнение конуса будет: ге (х) = х ап а. (9.17) В качестве линейного масштаба ( Рнс. 75. возьмЕм расстояние вершины до входного сферического сечения рзссмзтриваемого диффузора, т. е. (=хо Если скорость во входном сечении обозначить через Уе, то распределение скоростей в потоке зне пограничного слов как для источника булет представляться в виде ."о и(х) = (7,— '.
(9.18) На основании первой формулы преобразования (9.!О) будем иметь: Зтхе (9. 19) о Подставляя значение х из (9.!9) в (9.18), получим: О(х) = У мпн а(=~! = Ах ~Зх/ Для дальнейшего решения задачи применим самый простой и приближвяный метод 9 8. На основании формулы (8.15) и распределения скоростей (9.20) будем иметь: е'=- — '„, Ущг(х+С,~ = — — "х ' ~ — — х-Ш +-Сг~. (9.21) 7 О~Л 'ь,) Если снова вернуться к переменному х, то найдем: Считая, что во входном сечении толщина пограничного слоя равна нулю, будем иметь: З = —,' Зв= — — —,~( — ') ' — ( — ') '~.
(9.22) го 4! 17 х Зоо (гл. Рш теОРия погганичного слОя Решив его, будем иметь; — е = 1,1070. Хе (9.23) Таким образом, отрыв пограничного слоя от стенок произойдет тем ближе к входному сечению, чем больше угол раствора диффузора, так как ха — хо — 0,1070 мге (9.24) Для определения точки положения отрыва пограничного слоя от стенок диффузора применим формулу из того же параграфа (б,!б) . = — 7,2.
Подставляя значение сг' из (9.20) и значение бз из (9.21) и обозначая расстояние точки отрыва до вершины конуса через х, получим уравнение ГЛАОА1Х НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ несжимдемой жидкости $ 1. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся течении вязкой жидкости Будем считать жидкость несжимаемой, т, е, р = сопя!, действием массовых сил будем пренебрегать и будем полагать траектории всех частиц пряиолинейно-параллельными, т. е.
о= — О, ю=б. 11ря этих трех предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь: — =О, (1.1) а дифференциальные уравнения движения (!0.1) главы Н предста- вятся в виде (1.2) На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и . Если при этом учесть (!.1), то в первом уравнении (!.2) слагаемые, содержавгие и, будут зависеть от переменных у, я н Г, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и Г, а это возможно только в том зой наустлнОВЯВшявся дяижВния ВязкОЙ жидкости (гл, ьх случае, если перепад давления по течекию будет функцией только от одного переменного — времени, т.
е. — -" — =у(г). ! др р дх Таким образом, задача изучения неустановившегося прямолинейно- параллельного течении вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению дифференциального уравнения параболического типа д (д + )+М' (!.4) (1.5) при с==О и =ф(у, з). Область течения в плоскости уОз может быть олносвязной, дву- связной и многосвязной. Если, например, рассматривается прямоли- нейно-параллельное течение между двумя цилиндрическими поверх- ностями, ограниченными в сечениях какими-либо замкнутыми кри- выми (рис.
76), то область течения будет двусвязной. На обоих контурах 5г и 5п должны быть заданы граничные условия. Если полагать, что внутренний цилйндр перемещается параллельно своей образующей со скоростю у, (Г), а внешний цилиндр неполвижен, то граничные условия, выражающие г гипотезу о прилипании частиц жидкости к стенкам, будут представляться в виде: на 57 и =)г(г),~ на 5п и=0. Рис.
76. Слеловательно, изучение неустановившегося прямолинейно-параллельного тече- ния вязкой несжимаемой жидкости сводится математически к решекию уравнения (1.4) типа уравнения теплопроводности при начальном условии (1,5) и граничных условиях (1.6), Общую задачу решения уравнения (1.4) при условиях (1.5) и (1.6) мы можем разделить на две отдельные задачи, из которых первая задача будет учитывать действие перепала давления, а вторая— движение стенок и начальное распределение скоростей. Полагая и=и+и, функция у(Г), характеризующая перепад давления на единицу длины, должна, вообще говоря, считаться известной.
Лля определанностн решения дифференциального уравнения (1.4) должны быть заданы начальные и граничные условия, Начальное условие должно сводиться к заланию распределения скорости во всей рассматриваемой области в плоскости уОг для какого-либо момента времени, принимаемого обычно за начальный, т. е. 9 1) пгямолинзйно-плвлллвльнов нвтстлновивш. твчзнив жидкости ЗОЗ будем иметь для первой задачи: при 1=0 из=О, наБг и =О, на бд и,=О, (1.7) и для второй: при г = 0 из= р(у, а), иа Б~ ля=/,(Г), на 5и из — — О.
(1. 8) то для первой задачи будем иметь: при г.=- 0 па — — ср(у, а), на 5г оз= О, на оп ов — — 0 (1.9) и для второй: при 1=0 шв —— О, на 5г шз=у,(Г), на Бп ш. =О. (1.10) Таким образом, решение первоначальной общей задачи можно составить из решений трех отдельных задач (1.7), (1.9) и (1.!0). Если перепад давления будет равен нулю, то решение первой задачи (1.7) будет тождественно равно нулю.
Если же для начального момента времени жидкость будет находиться в покое, то решение задачи (1.9) будет также нуавм. При выполнении зтих двух условий задача изучения прямолинейного движения жидкости будет сводиться только к задаче (1.10). Решение задачи (1.10) при произвольном задании функции уг(г) может быть построено на основании решения той же Вторую задачу в свою очередь можно разделить также на две отдельные задачи. Первая из них будет представлять собой задачу о выравнивании начального распределения скорости, а вторая будет характеризовать распространение скорости движения от стенки к промежуточным слоям жидкости.
Если мы положим: ге= па+ шз 304 нгжстлновившвяся движение вязкой жидкости (гл. !х задачи, отвечающей значению шя, равному единице на границе 5н с помощью интеграла Люгамеля. В самом деле, обозначии через шг единичное решение задачи (1.10), т. е. решение уравнения (1.11) при условиях при г=О ш,=О, иа 5! шх.= 1, на 5ц ш, =-О. Тогда решение задачи (1.10) будет представляться формулой Люга- меля ,',.гю Данную кривую заменим ломаной линней, .начальная ордината которой будет у',(0). К концу интервала времени бг приращение ординаты будет равно у,'(о)м. в(у, ° Г) =Л(0) ~,(у, я, Г)+ Ху ( ),(У,,à — х)ах.
(1,12) ч Покажем вначале формально, что правая часть (1.12) действительно представляет собой решение задачи (1.10). Так как правая часть (!.12) представляет собой предел суммы частных решений вида еи (00 я, ! — х)7', (х) г(т дифференциального линейного уравнения (1.10), то этот предел будет также решением того же уравнения. Полагая в правой части (!.12) Г.=- О и учитывая значение тв,, получим, по и ша = О. диалогично обстоит дело и с удовлетворением граничного условия иа контуре 5ц.
На. ух 0 г)ы-ляг/д! контуре же 5з будем иметь: ш,(у,г,г)==1, ю.,(тчя,()= фмг =у,(О)+~у, (т).х =Л(Г) 0 Таким образом, функция езж представляемая ввиде(1.12), действительно будет решеддг нием задачи (1,10) Ладим теперь непосредственный вывод формулы Люгамеля (!.12), Представим заданную функцию 7,(Г) графически в виде некоторой кривой (рнс. 77). Фиксированный конечный интервал времени от нуля до Г разобьем на малые интервалы продолжительностью бг. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
