Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Импульс струи считается заданным, так как считается заданным распределение скоростей в начальном сечении струи. Лля изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (И)3) пограничного слоя. Эти уравнения при использоаании постоянства лавления принимают вил ди <)и дэи и — +Π— = — У— дх ду дух ' ди, ,дэ — + — =- О. дк ду (7.4) На линии симметрии продольная составляющая аектора скорости должна быть наибольшей, а поперечная составляющая лолжна обратиться в нуль.
Таким образом, для линии у = О будем ил|еть следующие граничные условия; ди д — — О, у при у=О (7.5) Считая, что движение от струи распространяется до бесконечности, булем иметь дополнительное условие; при у — «оо и-ьО. (7.6) Таким образом, задача изучения движения жилкости в плоской струе сводится к решению уравнений (7.4) при граничных условиях (7.5) и (7.6) и при интегральном инварнанте (7.3). Для случая струи типа источника можно методом размерностей свести уразнения (7,4) к одному обыкновенному уравнению. В этом случае единственной заданной размерной величиной будет импульс струи и, следовательно, масштабы длины ( и скорости (7 будут связаны олним соотношением Пэ! Кэ' у'й где (х †чис Рейнольдса, а а в неопределенное пока безразмерное число. Пользуясь этим соотношением, мы можем, например, масштаб длины выразить через масштаб скорости в аиде 284 [гл.
шц ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ При таком выборе масштаба длины формулы перехода от размерных координат и скоростей к безразмерным будут представляться в зиле Кз х=-!х =-— пз У х — 'и'у,,! У= ~- У1= (7.9) и =Уи,, У . '111— у [а Уравнения (7.4) при переходе к безразмерным коорлинатам и скоростям примут вид ди1 ди1 дзи1 и 1 -+о — = дх ду ду (7. 1О) а.-::,=' ! Если мы построим решения уравнений (7.!О) и затем перейлзм к размерным величинам, то размерные скорости окажутся функциями произвольного масштаба скорости У, который в размерные уравнения (7А) не входит.
Следовательно, можно потребовать, чтобы размерные скорости не зависели от произвольного масштаба скорости У. Если положить и, = — /(хт, у,) =/[ —, узх, — у), КА Кч (7. 11) —,'у- ~ЬУ ( — "",' У х, -" —," у)~ = 0. Выполняя дифференцирование и используя (7,9), по.учим следующее уравнение: У+ бх — -+ 2у — О.
дУ дУ 1дх, 1 ду, Применяя метод характеристик, получим: ду дх1 ду1 — Х дх1 271 ' Интегралами зтих уравнений характеристик будут: ух,п= С1, утх, '= С, и поэтому решение уравнения (7.12) будет представляться в виде и =7(х1, у,) = х, 'ф(у х, '"). (7.13) то требование независимости размерной скорости от -асштаба У даат1 $ 7) Распеостганание тонкой ламинлгной ствяя 286 Таким образом, новым независимым безразиерным переменным будет: 9=Угхг ", (7.14) н для этого переменного будем иметь: (7.15) Если ввести безразмерную функцию тока, полагая ф(хм уг) = ) и,дур — — хз ' ) 9(т) г)ог=хзи ~ 9(т~) сН1 =ха Р(т), (7 16) о а о то получим: и,=ха ""Е (з;) При подстановке этих равенств в первое уравнение (7.10) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравненяе для введенной функции тока 7а(т): +3( + (7.18) Иа граничных условий (7,5) получим следующие условия для искомой функции Р(т): т = О, Р" (0) = О, Р(О) =- О.' (7.19) Непосредственно находим первый интеграл уравнения (7.18) в виде Р" + — сс' = С.
(7.20) На основании граничных условий (7.!9) постоянную С необходимо положить равной нулю: С= О. Выполняя дальнейшее интегрирование уравнения (7.20), найдем: (7.21) На основании равенств (7.17) и (7.9) размерная продольная состав- ляющая скоросги будет представляться в виде (7.22) ди, дх, ди, ду, др 1 о = — д ' = 3 хг "(2тУ й) — Р) дх, 3 1 = — —;хг '(К + 2з~Рт), ь (7.17] ! и ду," [гл. нщ 286 твовия погглничного слоя Распорядимся выбором неопределенного числа а так, чтобы Р'(О) = 1.
(7.23) При этом условии и втором условии (7.19) постоянное интегрирова- ния В должно равняться единице. Таким образом, получим лля функ- ции г'(т)) следующее уравнение первого порядка: Р'+ — Гм = 1. (7.24) Решая это > равнение методом разделения переменных и используя второе условие (7.19), получим конечное выражение для искомои функции в виде 7'(т,)=)т'611 (' ' '). х~'б/ (7. 25) На основании (7.25) и первых равенств (7.17) получим следующие выражения для безразмерных скоростей; и =-х 1 — з с па = а )г 6 (7.25) о =- — кг ' — '1/ б 99 = 1;,Г 2т )6 )' 6 йля мзксимальноп скорости на линии симметрии будем иметьп итж = х! (7.27) Связь между продольной скоростью и максимальной выражается в виде (7 23) 1 пт — пгт ' сиз уб — и, (У„=- ~ 76ж( 1) пт, = ~ '-.— — = — ф 6 = 3,27. (7.29) 3 1' 6 Переходя в равенстве (7.3) к безразмерным величинам на основании (7.9), (7.15) и (7.26), получим следующее выражение для числа п: ф 7! глспоостглнвниа тонков ллминавной отгон 287 В заключение подсчитаем расход через бесконечную прямую, параллельную оси дп Э + = — „' У ' ~ и,г(У, = — 'х',"(7 ' ~ Лг(т)г)т, чы =( „) ~ ' =2Ф 6( — ~) .
(73О) 6 Таким образом, расход через начальное сечение струи (х= 0) равен нулю, а затем расход растет благодаря подтеканию с боков струи. Примерный характер линий тока, определяемых по уравнению х'ЛГ(т() = сопв1, (7.31) показан на рис. 72. Обращаемся теперь к рассмотрению пространственной ламинарной струи, имеющей ось симметрии. Расстояние точки до оси симметрии будем обозначать через г, Импульс пространственной струи необходимо определить в виде 2п ~ рое,г дг =- РКе, (7.32) гле о представляет осевую компоненту скорости. В силу отсутствия стенок давление можно полагать всюду постоянным: р = соп51.
до, дол Г дзоо 1 до Π— — +Π— =ч~ — + — — и дх "дг (, дга г дг)' д (гол), д (гоИ (7.33) Если обратиться к уравнению Рис. 72. для осевой компоненты скорости и уравнению несжимаемости в цилиндрических координатах (7.1) дао, главы )Ч и в первом из них отбросить слагаемое — о в правой дхз части, то получим те уравнения, которые применяются для изучения пространственного пограничного слоя на теле вращения и для изучения распространения движения от ламинарной пространственной струи: (ГЛ. Я1П ТХОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Граничные условия для пространственной струи будут следующие: при г=Π— =О, О„=О, доы при г -+со и -+ О.
(7. 34) В случае струи типа источника уравнения (7.33) можно таким >ке методом, как н для плоской струи, свести к обыкновенному уравнению для функции, тока. Если положить: ги й=— а о = (гиы (7.35) г ° г=- —,=г =1г =г, — Р и то на основании равенства (7.32) будем иметь: Ка = 2я 1() ~. я,г,с(г,. (7.36) Выберем масштаб лля скорости У так, чтобы выполнялось равенство Ка — - — а)(7, (7.3?) тогда из (7,3О) получим; (7.38) Если масштаб длины 1 оставить чроиавольным, а масштаб скорости определить из (7.37) в зиле и= — -, Ка а К аа ' (7.
40) Тогда формулы преобразования разиерных величин в безразмерные будут: l г = —.=г,= )гй х =1х,, (7.41) 0 о ==пав уй Ка и.= — и,, то число Рейнольдса представится в аиде: Ь гы а Ка Р Ка — 'юы й 7) РоспРОстРАнение тонкой ЛАминАРной стРуи 239 Решения уравнений (7.42) будут зависеть от отдельных безразмер,.
координат х, и г,, и поэтому при переходе к размерныи координатам размерные скорости будут зависеть от произвольного масштаба длины Е который в уравнения (7.33) не входит. Можно потребовать, чтобы осевая компонента скорости о . не зависела от Е Если положить: О (ГН о/(Х Г ) о/( о Г) (7 43) то требование независимости скорости О От 1 даст: Выползая дифференцирование, получим уравнение у'+х„— — +г, — = О. дг дУ "дха ' дг, Решение этого урзвнения, построенное по методу характеристик, будет следующее: (7.44) Таким обрааом, новым безразмерным независимым переменным, являю- щимся комбинацией прежних независимых переменных, будет: ! хт ' (7.45) Если обратиться ко второму уравнению (7.42) и использовать усло- вия (7.34) и равенства (7.44) и (7.45), то получим следуюшее выра- жение для радиал~ной скорости: г,о,= — ) д (г,и,)ФТ= — д ) ) т)р(т))х,с(о)~.
(7.4б) Г д д ддк, '' т дхт о а Вводим чоункцию тока ф, полагая дф дт Ги = — ', ГО.= — —. =д; = дх,. (7.47) Используя эти формулы преобразования (?.41), получим из (7.33) безразмерные уравнения дио дма дэи, 1 дно '+; — '= —,.'+ — — ',1 дхт дг, дг', г, дг, д (гтит) + д (гаэа) б дха дго 290 (гл. чн1 твогия посв*пичного слоя Подставляя в левые части (7,47) значения скоростей нз (7,46) н (7.44), получим: 1 (7.48) о На основании этик равенств функция тока равна 6 = х, ~~7(т)) т)дт) = х,Р(т)). о (7.49) Компоненты скорости и их производные через несданную функцию Р(т!) выражаются по формулам 1 дф ха сдв — Р—,г, гг дгг гг дг1 х1Ч 1 дт 1 1 х — — — Р+ — Р', г дх, х|ч хг — — Р—, Р'~ — — ~~ — —.
,ч 1 1 и,= о Ри х1 ди1 дх! (7.50) диг Р' 1 дгг х'чт хгч Если подстазиуь выражения (7.50) в первое уравнение (7.42), то получим обыкновенное лифференциальное уравнение Р"' — — Р" + —, Р = — РР" — — Р~ — — РР". (7.51) чз Так как Р" — — Р'+ — Р = !Р— — ), ж 1 и 1 г г и -'- РР— -'- Р" — — 'РР" = — ("— '!', (7.53) то первый интеграл уравнения (7.51) будет: Р'..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
