Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В последнем случае толщина слоя должна считаться неизвестной функцией кривоаинейной координаты х, для определения которой лолжны быть использованы условия на границе слоя. Эти граничные условия в первую очерель лолжны отразить непрерывность основной компоненты скорости и и непрерывность силы вязкости при переходе из слоя в область внешнего потока. Если через У обозначить компоненту скорости частиц во внешнем потоке, параллельную касательной в соответственной точке рассматриваемого контура, то простейшие граничные условия на границе пограничного слоя булут: прн у = 3 и ==(/(х), — =-О. ди ду (1.15) Таким образом, задача изучения движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое сводится математически к решению дифференциальных уравнений (!.13) при граничных условиях (1,14) и (1.15).
Наличие нелинейных слагаемых в первом уравнении (1.13) и наличие граничных условий на неизвестной границе создают большие трудности на пути изучения лвижения жидкости в пределах пограничного слоя. Но все же этн трудности оказалось возможным преодолеть во многих случаях с помощью различных приближЕнных методов. Пз экспериментов известно, что при обтекании выпуклых тел гронсходят отрыв внешнего потока от поверхности тела и образование завихренной зоны позади тела.
Благодаря наличию завихрвнной зоны меняется распрелеление скоростей во внешнем потоке. Следовательно, уравнения пограничного слоя П .13) могут быть использованы не лля всего обтекаемого контурз, а только для той его части, которая обтекаегся внешним потоком плавно, без срыва отдельных частей потока, без образования завихренной зоны. Пограничный слой, подчиняющийся уравнениям (1.13), будет заканчиваться в той точке плоского контура, с которой будет. происходить отрыв внешнего потока от контура. Явление отрыва внешнего потока от поверхности выпуклого контура качественно момгно объяснить с помощью следующих рассужлений При обтекании выпуклого контура потоком несжимаемой жидкости скорость частиц на повгпхности контчпа после пеоедней критической точки билет няоастать, а давление билет чменьшаться.
После достижения максимума скорость булет уменьшаться, а давление билет чвеличиваться. следовательно, после этой точки максимума скопости частицы жнлкости внттпи погпаничного слоя от акт тоомозиться не только за счет действия снл вязкости, но и за счет действия противолавлення. Вследствие этого у частиц, расположенных близко от поверхности тела, скорость может обращаться в нуль задолго ло того, как онп подойдут к залней критической точке твогня потел«ичного слоя !гл.
чш Эти частицы, подвергаясь действию протнволавления, должны начать лвигаться в обратном направлении. В результате етого обратного течения вблизи поверхности тела будет происходить подмыв погрв. ничного слоя. Если на первых участках слоя профиль распределения скоростей в слое будет обращен своей выпуклостью в сторону течения (рис. 68), то на последних участках верхняя часть будет попрежнему выпуклой в сторону течения, а нижняя часть будет выпуклой в обратную сторону. При таком распредед ленин скоростей в слое в какомто месте может произойти отрыв слоя от стенки. Прн этом оторвавшаяся часть пограничного слоя в верхней части приобретет вращение по ходу часовой стрелки, а в нижней части †прот хода часовой стрелки.
Оторвавшиеся завихрйнные части пограничного слоя булут внешним потоком сиоРнс. 68. ситься в сторону течения. Такая картина отрыва пограничного слоя будет повторяться периодически. Опыт показывает, что отрыв пограничного слоя с верхней и нижней частей границы происходит не одновременно. В результате этого саади тела завихрения располагаются не друг под другом, а в шахматном порядке, Иа сказанного следует, что отрыв внешнего потока от контура может начаться не раньше той точки, после которой изменяется направление выпуклости профиля распределения скоростей вблизи контура. Но изменение направления выпуклости связано с изменением наклона касательной к кривой профиля скоростей, т.
е, с изменением знака первой производной от рассматриваемой скорости во нормали. До тех пор пока в точках вблизи контура профиль рас- дипределения скоростей будст выпуклым, первая производная ду будет положительной. Как только изменится направление выпуклости профиля распределения скоростей вблизи контура, знак этой производной станет отрицательным. Таким обргсзом, мы и приходим к след>ющему условию отрыва пограничного слоя от стенки. Отрыл пограничного слоя может происходить толысо после той точки, е которой первая производная от осноенод скорости по координате у обращается е нуль: лсйчптотичвский погглничныи слоЯ нл пластинки 259 рормальное условие (1.16) отрыва до некоторой степени можно збъяснить и с механической точки зрения. Из механики известно, гто в том месте, в котором материальная точка покидает связь, зеакция связи обращается в нуль.
Аналогично обстоит дело и здесь, голько роль своеобразной реакции связи играет сила вявкости, котозая в месте отрыва слоя от стенки обращается в нуль. Е 2, Асимптотнческий пограничный слой на пластинке Уравнения пограничного слоя (1.13) при этом принимают вид дн да дзн и — +о — =э —, дх+ ду дуз' ди до д — „+д-=О. (2,1) В качестве граничных условий принимаем условие прилипания (!.14) и одно лишь первое условие (1.15) для скорости на бесконечности: при у=О и=-О, о=О, ~ (2.2) прн у =оо и =(у .
Для решения уравнений (2.1) введем безразмерную переменную ве- личину -у ое т~ — — у з, (2.3) и примем. что компонента скорости и есть функпия только от одной введйнной безразмерной переменной и =()опг(ч). (2. 4) На основании уравнения несжимаемости вводим функцию тока полагая дй дь и= —, о= — — ', ду ' дх' Чтобы удовлетворить предположению (2.4), необходимо для функции тока ф принять следующее выражение: ф = У ()ох/(6) (2.5) Рассмотрим установившееся обтекание безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости в продольном направлении плоскости, простирающейся вдоль положительного направления оси х до беснонечности (рис. 69). Так как скорость во внешнем потоке будет всюлу постоянной и равной (уз, то и лавление будет б также постоянным, и поэтому др ~=О. Рнс.
69. ТЕОРИЯ ПОГРЛНИЧНОГО СЛОЯ ХОО (гл. чш где /(и) — функция от одной безразмерной переменной ть При таком предположении будем иметь: = ')7 '(/ех/'(6) ~Д = (го/' (~~), ' ду 1 т у~а,, да О= — — ~7 '— '/(9) — у' и,. /'(Т) 2В' х е ' дх / .и, 2 7' ди и Р дп /г й, дзл К. дх 2х ' * ду Р х 'дуа х — = — — ' 7/" (7)) — = (/о вг~ — „' /" й) — = — /" Ю (2.6) Граничные условия (2.2) принимают теперь вид: при ь.=.О /.=-О, /'=-О, ~ при 7) =со /' =1. (2.8) Решение нелинейного с одним числовым коэффициентом дифференциального уравнения (2.7) в окрестности П = О можно искать в виде степенного ряда / (7)) =,~~~ Ает~ (2.9) ч=е Чтобы удовлетворить двум первым граничным условиям (2.8), первые два коэффициента ряда (2.9) необхолимо приравнять нулю; Аа — — О, А,=О. Подставляя ряд (2.9) в уравнение (2.7) и приравнивая нулю суммы коэффициентов при различных степенях переменного 7), получим в конце концов следующий рял дчя искомой функции )'(г): Х (,2) (Зп+2)1 ч=а В этом ряде коэффициенты гч имеют определенные числовые значения, например са — 1, г, =:= 1, сз.— -1П сз — — 375, с, —.-27897, а множитель а является пока неопределенным.
Для установления вида решения уравнения (2.7) для весьма больших значений аргумента 7~ можно применить следующий приближен- Подставляя значения и и о и их проивволных из (2.6) в первое уравнение (2.1), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: 2/'х+// =О. , 2) лсимптотичвския погглничныя слой нл пластинке 201 де р — неизвестная постоянная, Первая производная от этого реше,на всюду равна единице, следовательно, третье граничное условие 2.8) будет уловлетворено, йля построения второго приближения и аменим в уравнении (2.7) произведение 77 через у уэ, тогда полушм следующее уравнение для второго приближения: — '„=- -(1 — т,).
1ыполняя интегрирование, будем иметь: и 1~7 =- — —,(~З вЂ” «,)'+1~7, де Т вЂ” постоянная. Вторая и первая производные от второго при~лижения будут представляться в виде ! уз= Те У,=Т)е ' '' г!т,, (2.13) !ижния предел во второй формуле был выбран с тел~ расчетом, тобы первая производная от рассматриваемого приближения обралалась в нуль при бесконечно большом значении аргумента. Ограничиваясь только двумя первыми приближениями, будем ~меть следующую приближенную асимптотическую формулу для ~скомого решения уравнения (2.7): ! /.—...т,— р+7 ~ Ит~ ~е Т г(Ч, Ю Ш (2.14) Чтобы правая часть (2.14) леяствительно представляла аналитиеское продолжение на область вемма болыпих значений аргумента гункции 7(ч), представляемой для области малых значений аргу~ента рядом (2.10), необходимо потребовать совпадения значения 2.10) и (2.14) для ряда тех значений аргумента, при которых обе юрмы могут иметь место.
Требуя, например, совпаления значеия (2.10) и (2.14) при трах значениях аргумента, получим три 'равнения для численного определения трех постоянных э, 3 н 7. ') В!аэ!аэ Н., Сгепээсщсщеп 1п Г1аээ!8ненеп шн Не!пег Кюнппэ, :е!1эсйг. (аг Э(ангепэапи нпд Риуэбп г, 06, !908, ,ын метОд' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
