Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 45
Текст из файла (страница 45)
3 е у = — асГ получим: 3 е егв *' 4 а(à —,—, (,—, + д) л, 3 ел!де!1 — — аУ, ( — + )е)у, 3 е 'е ы'+не = — аУ (1+)е)3) з!и 0. (5.43) Впереди шара лля больших значений показателя а)с (1 — сов О) б>.деч иметь: 3 е-вьк ы„=- — аг/ — (1+ 2)еес) мп 0 О. е (5.44) слеловательно, поверхность с максимальной завихренностью частиц будет представляться уравнением з!п 0 !и 11 = ~ . 1 (5.45) Полагая в правой части (5.43) сов 0 1, з!и 0 1 уИ' получим слелующее выражение максимальной завихренности на далеких расстояниях повали шара.
(5.46) Таким образом, впереди шара интенсивност~ вихрей с увеличением расстояния от центра шара резко убывает, и поэтому лвижение жидкости впереди шара на далеких расстояниях можно считать потенциальным. Так как правая часть (5.43) обращается в нуль при 0 =0 н 0 = я, то в промежутке межлу этими значениями интенсивность вихря будет иметь максимальное значение. Имеем: 3 е 3 и(1+атг), „„, „„,(„, д, „.„, ) 252 движения пги малых числах гвйнольдсл. матов озввнл 1гл. чп Таким образом, интенсивность вихря на поверхности «хвостовой» части потока позади шара с увеличением расстояния от центра шара затухает обратно пропорционально лишь полуторной степени этого расстояния, тогда как впереди шара интенсивность вихря убывает по закону показательной функции (5.44). Сопоставляя результаты, которые были получены при решении задачи об обтекании шара на основании приближвнных уравнений Стокса в й 7 главы Ч и на основании приближенных уравнений Озеена, мы лолжны придти к следующим заключениям.
При полном отбрасывании квадратичных членов инерции получаемая картина обтекания неподвижного тела в малой степени согласуется с реально наблюдаемым течением, особенно в отношении характера потока позади тела. При частичном же учЕте квадратичных членов инерции получается картина течения, которая с качественной стороны в отношении различий характера потока впереди и сзади тела удовлетворительно согласуется с картиной действительного обтекания потоком жидкости этого тела. Заканчивая рзссмотренне примеров использования приближенного метода Озеена, заметим, что с помощью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости.
На основании дифференциальных уравнений с частичным учетом квадратичных членов инерции Озееном') построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями. с) Оа е ел С., Нудгодупаппх, Ее1рз~й, 1927. ГЛАВА У)П ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В 1. Дифференциальные уравнения движения жидкости в пограничном слое В предшествующих трех главах были рассмотрены три приближенных метода изучения лвиження жидкости с учатом вязкости.
Следующую ступень развития приближенных методов изу. пения движения вязкой жидкости составляет глеория логранзчного слоя. На то обстоятельство, что прилипание жилкости может оказать существенное влияние на характер течения и его закономерности, указано еща в гилродинамикс Д, Бернулли' ) В работах Навье, Пуассона и Стокса также имеются указания на то, что в связи с учетом вязкости жидкости лолжны измениться граничные условии вблизи стенок.
Но зти указания вса еща не давали основания к утверждению того, что вязкость жилкости проявляется главным образом только вблизи твердых стенок. Идея о преобладающем влиянии вязкости жидкости толгпсо вблизи стенок была высказана позднее, а именно в работе Д.
И. Менделеева" ), а затем в лекциях Н. Е. Жуковскогоз). Свой оформление в виде уравнений зта идея получила в работе Пранлтля '). рассмотренные в предшествующих трах главах методы относились к движениям жидкости при сравнительно малых числах Рейнольдса, методы же теории пограничного слоя относятся к противоположным случаям, т. е.
к случаям движения гкндкости прн весьма больших значениях чисел Рейнольлса. Если в метолах Стокса и Рейнольлса квалратичные члены инерции совершенно не учитывались, а в методе Озеена зти члены учитывались лишь частично, то в теории пограничного слоя Лранлтля квадратичные члены инерции г) В е г и о з111 О., Нудгобупзп1)са, ГигазЬнгро 1738. г) Менделеев Д. И., О сопротпзлеиин жидкости и о возлухоплаза. нии, 1880, з) Жук аз с к и й Н. Е, Собр. соч., т. 1г1, Гостехиздат, 1949. ') р г г и б 11 Ь.. уег!ь Лег 111 )л~егй.
Мггн. Копит. 1и Неще)Ьегй, ье1рг)8, 1905. 254 [гл. шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ полностью учитываются в основном уравнении. В приближзнных метолах Стокса и Озеена члены от вязкости учитывались полностью, тогда как в теории Прандтля эти члены учитываются лишь частично, так же как и в методе Рейнольдса лля слоя смазки; Теория пограничного слоя получила широкое практическое применение и поэтому ез развитие было весьма интенсивным. Эта теория и ло настоящего времени продолжает привлекать внимание многих исследователей. Для вывода основных уравнений теории пограничного слоя рассмотрим лишь плоско-параллельное установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости без учета действия массовых сил.
Бу.дем полагать радиус кривизны рассматриваемой твердой стенки (рис. 67) достаточно большим по сравнению со средним значением о толщины предполагаемого пограничного слоя. Обозначим через х кринолинейную координату, отсчитываемую вдоль рассматриваемой стенки от некоторой фиксированной на ней точки О, и через Рис. 67. у — координату, отсчитываемую по нормали к стенке. Дифференциальные уравнения (2,!3) главы 1! переноса количества движения в проекциях на введенные оси координат и уравнение несжнмаемости представятся в виде д д — (р — ри-)+ — (р„— рои) = О, д д ,— (р.„— рип)+ — (у„, — рпз) = б, (1.!) ди до дх ду — „+ — =о.
Соотношения, выражающие обобщенную гипотезу Ньютона в рассматриваемом нами случае, будут иметь вид ди до р, .=- — р+2р —, р„„= —.--у+2р3-, ' ( +ду)' (1 2) Обозначим через ! характеристику протяженности слоя, через У— характерн>ю скорость частиц в продольном направлении слоя и через )У в характерную скорость в поперечном направлении.
Вводим безразмерные величины, полагая х=-1х,, у=оу, О=!ОТ 1 (1.3) $1) твлвнвниэ движвния жидкости в погг ничном слов 255 Вводим безразмерное число Рейнольдса сгт и безразмерное давление ~и! я17Я Р = за Рт = йж Рз. (1 6) (1.7) Соотношения (1.2) при использовании (1.3), (1.5), (1,5) и (1,7) при- мут вид р =- —,~ — рг+2з— го"з г я ди11 1 (1.3) Полставлян (1.8), (!.3) в (1.1), будем иметь: — ! — р, + 2з- — — йзаиз) + — ~ —. + вз — — (те-и о,) =О, 1 д ( здиг я,~ д аудит: дия дхг~ т дхг " 1) дуг(дуг дх ' т т д ( ( 2 яди, ~=воз) О. При выводе уравнений Рейнольдса для смазочного слоя мы полагали число Рейнольдса обратйо пропорциональным первой степени безразмерного параметра е. Так как мы рассматриваем теперь случай весьма больших значений чисел Рейнольдса, то примем, что зто число обратно пропорционально квалрату параметра а, т.
е, Р= — ° 1 гй' (1,1О) Уравнение несжимаемости тогда представится в виде дит У ! дит — + — — — = О. дхт 17 а дуг Если считать, что слагаемые в уравнении (1.4) будут иметь один и тот же порядок величин, то необхолимо положить: У С уз=' Это равенство означает, что порядок отношения скоростей — дол- 17 жен совпалать с порядком отношения среднего значения толшины слоя к характерной длине 1, т. е.
(1.5) 256 (гл. шг ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Сохраняя в уравнениях (1,8) и (1.9) только члены наивысшего порядка, получим: р = — о угре гда,, (1.11) рвн = — Фгр~ д г д (ди, дх, ' ду,!ду, ' 'у — ( — р — а,)+ — ( — -'- — и о!= О, ~ др1 д — „— О. (1.12) ди, ди 1 др дги и — +о — = — — — +ч —,, дх ' ду е д.х ду" -Р— =О, ду= '— " — О Г+ду=-О (1.13) Так как давление по толщине слоя не меняется, то внутри слоя давление должно быть таким же, каким оно было на границе этого слоя с областью внешнего потока жилкости без учета ее вязкости. А это значит, что в пределах пограничного слоя давление должно считаться известной функцией криволинейной координаты х.
Эта функция для давления устанавливается на основании решения залачи об обгекании рассматриваемого контура идеальной жидкостью. Таким образом, дифференциальные уравнения (1.13) для пограничного слоя булут содержать только две неизвестные функции — компоненты и и о скорости частиц жидкости в слое. Если рассматриваемый контур является неподвижным и непроницаемым, то для неизвестных функций должны уловлетворяться условия прилипания: при у=О и=О, О=О. (1.14) К граничным условиям (!.14) необходимо присоединить граничные условия на границе предполагаемого пограничного слоя, тол- Таким образом, при весьма больших значениях чисел Рейнольдса компоненты нормального напряжения в пределах пограничного слоя сводятся к одному давлению, з компонента касательного напряжения имеет порядок е по отношению к скоростному напору (рув) и определяется только одним слагаемым, прелставляющим собой первую произволную продольной скорости по поперечной координате у.
Из второго уравнения (1.12) заключаем, что в пределах пограничного слоя давление ао толщине слоя не иэменнетсег. Переходя в уравнениях (1.4) и (1.!2) к размерным величинам, получим слелующие уравнения плоско-пзраллельного усгановившегося движения вязкой жилкости в пограничном слое без учета действия массовых сил: 5 1! теавнения лви>квния жидкости в погглничном слов 257 шина которого может считаться либо бесконечно большой (асимптотический пограничный слой), либо конечной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
