Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 40
Текст из файла (страница 40)
которые были рассмотрены в Чв 4, 5, 7 и 8. Естественно поставить вопрос, нельзя ли приближенно учесть часть квадратичных членов инерции, но так, чтобы при этом сохранилась та простота решения отдельных задач, которая имеет место при использовании самих уравнений Рейнольдса. Оказывается, что это можно сделать, если вместо проекции действительного ускорения на ось х авеста его осреднвнное по толщине слоя значение. Лля плоско-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учета массовых сил основное уравнение в проекции на ось х представляется в виде др , даи дзи ) (9.1) дх 1 дхч дуа где 1г' -- проекции вектора ускорения на ось х, равная й/ — — + 19.2) дх ду' ! Умножая левую и правую части 19.2) на — ду и интегрируя по д толщине слоя, получим выражение для среднего ускорения в рассматриваемом сечении слоя ~(д+д) а (9.3) Таким образом, формула (8,8) дает несколько завышенные результаты, но по своему порядку эти результаты удовлетворительно согласуются с эксперимента.чьными.
Характер распределения давлений, даваемый форл|улой 18.5), также удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными. Нз основании этих результатов сравнения теории и опыта можно придти к тому заключению, что я ряде случаев обработки горячего металла давлением можно для решения отдельных вопросов пользоваться аналогией с соответственной задачей течения очень вязкой жидкости (гл. ч1 гидгодинамичвскля теогня смазки Вместо истинного ускорения Гг' в левой части (9,1) подставим его осреднаиное по толщине слоя значение и затем проведем те упрощения, которые были ироведены прн выводе уравнений (2.!б) Рейнольдса, тогда получим: оаи ! др ! доа н дх+ . — р- ==О, оч ди ди — + †.=- О дл.
ду ь Уравнения (9.4), приближенно учитывающие квадратичные члены инерции, естественно назвать обобщенныжи урианенияии Реднольдси для слоя. Так как правая часть первого уравнения (9А) не будет зависеть от переменного у, то интегрирование этой системы уравнений будет проводиться так же просто и в том же порядке, в котором проводилось интегрирование основных уравнений Рейнольдса в Я 3 н 4. Проводя интегрирование по переменному у в первом и третьем уравнениях (9.4), будем иметь: и= — 2( — —,+-- !Рп,)У +С,Р+СЯ 1/1 др ! (9.5) ! ди в —.—..
— ) — — дт+С., ,) дхПодставляя найденные значения и н о я ~етвертое уравнение (9.4), можно получить выражение для среднего ускорения, а используя граничное условие для скорости о, можно получить соответственное уравнение для давления. Правую часть выражения (9.4) для среднего ускорения можно представить в другой форме, если учесть равенства ь д ! и' 1 о и)г — — бу — — (ия)„—, дх .( 2 2 дх * о ь ь ь ои) — ~ и — бу — — ои~ + ~ и — бу, о (ди,,д! ил — д де+ (! = д ! и бу+ (и)а дх + С! (о)ь = 9 9! озоюцзнные трлвнения ряйнольдсл для слоя Таким образом, среднее по толщине слои ускорение будет иметь вид В'ср — — 1, ~д |пас!у — (и)4,= ~ п4(у+Се(и)4,— (ои)р~ (9.6) О о где через (и)„и (ои)р обозначены значения величин, эаключенных в скобки, иа верхней границе слои (л) и на нижней (О).
В качестве примера использования уравнениИ (9А) рассмотрим задачу о сдазливании слоя вязкого вещества параллельными пластинками (рис. 60) при следуюьцил услозняк: у:=0 л —.=О, о=О, у.—.= 'и а — О, и == — ! при т э р== О, р.= О. при (9.7) Рис.
60. при х= О х=! при Используя граничные условия (9.7), получим выражения для ско- ростей и = —,' А (уз--уй), (9.8) где 1 др 1 А .=. — — + — В'рр. и дх (9.9) Второе граничное условие для и дает уравнение Из дА — К =- — —. 12 дх' Следовательно, 12 А = — ~' (С вЂ” х), (9.
! 0) где С4 — произвольная постоянная. Подставляя значение и из (9.8) в правую часть (9,6) и учитывая граничные условия (9.7), получим зыражецие для среднего уско- рения 1 4 дА Л ф, /44А (9.1 1) Если в выражение (9.9) подставить значение Юп, нз (9.1!) н значение А из (9,10) и провести интегрирование, то найдем: р= — я(р+ — '" ) з)(С4.
— — 2+ С,). Входящие з это выражение С, и Сз должны быть определены из условий (9.7) для давления. 224 (гл. в гидводинлмичаскля теогия смазки Таким образом, распределение давления в слое между пластинками будет определяться следующей формулой: р — — ~р + —,)(Š— х) х. бра Е РЛУа 1 лт 5 Полученное решение (9.12) будет отличаться от решения обычных уравнений Рейнольдса дополнительным слагаемым (9.! 2) 5шз — (Š†-л)х, 5Л' которое не зависит от вязкости и пропорционально квадрату скорости поджатия слоя.
Умноаеая обе части равенства (9.12) на г)х и интегрируя по переменному х от нуля до Е, получим следующую формулу для сопротивления сжатию вязкого слоя прямолинейной пластинкои ширины Н: г Ез 1 „П Р =- Н ~ Егг)х.== иГвН вЂ” + — 91/,.сŠ—, в Гт ' 5' /!т' О (9.13) Отношение второго сла~аемого в правой части (9.13) к первому будет выражаться через число Рейнольдса слоя таким образом: Уааа 1 (9.14) 5н 5 Следовательно, если число Рейнольлса слоя будет иметь порялок единицы и более, то пренебрегать вторым слзгаемым в формуле (9.13) уже нельзя.
ГЛАВА ЧЛ движение вязкой жидкости при мйлых числАх РЕЙНОЛЬДСА. МЕТОД ОЗЕЕНА Е !. Обобшйнные уравнения Стокса Векторное днфференцнальное уравнение лвнження вязкой несжнмаемой жидкости можно представить в следующей форме: дУ 6рвх' дУНу" дреГхе 1 — + — — + — — + — — =гт — — ягабр+тйУ. (1.1) дт дх йс дуЖ дх ей Г Левая часть этого уравнения представляет собой индивидуальную пронзводную от вектора скорости фиксированной частнцы. До снх пор под координатами х, у, х мы рааумелн координаты фнкснрованной точки пространства по отношению к неподвнжной системе координат, тогда множители Фх' еГу* гй' дг' гй г Зе Ге' представляли собой проекцнн вектора скоростн абсолютного движения фиксированной частицы на осп координат.
Будем теперь под х, у, х разуметь коордннаты геометрнческой точки по отношению к подвнжной системе коорлннат, имеющей поступательное движение со скоростью 0 н мгновенное вращение с угловой ско. ростью и (рнс. 61). Прн таком предположе- х нпн производные — —, — будут предИхе еГу' еГх' дг ' егг ' дг Рнс. 61. ставлять собой проекции на осн координат вектора относительной скоростн фнкснрозанной частицы жндкостн. Между векторами абсолютной (У), переносной (У,) н относительной (У,) скоростей имеется следующая зависимость: — Уе+ Уе где / й у.=и+а)(я=и+ а. а, а.. х у кйп движзниз пги малых числах гзйнольдсл. метод овззнл [гл.
чп Так как левую часть уравнения (!.1) можно представить в виде дУ дх' дУ с!у* дУ дв«дУ дУ вЂ” + — — + — — + — — = — ) ! ЧЧ, дс дс д» дс ду дс дз дс где ЧЧ= — г+ — У+ — й, дУ дУ . дУ дх ду дв то векторное дифференциальное уравнение абсолютного движения вязкой несжимаемой жидкости, отнесенное к поднижной системе каор. динзт, будет иметь следующий вид: дУ вЂ” + (У вЂ” 1) — !в Х г) ° Ч Ч = Р— — ига б р+ > 'о Ч. (1,2) 1 дг Если система координат будет иметь только поступательное дан>кение, совпадающее с поступательным движением рассматриваемого тела, то уравнение (1.2) примет внд дУ ! — +(Ч вЂ” - !1) ЧЧ= Р— — -кгадр+«Ы~.
дг Предполагая чис.чо Рейнольдса малым, мы можем, так >ке как и в методе Стокса, отбросить квадратичные члены инерции, содержащие переменный вектор скорости У, т. е. положить: ЧУжО. !1.4) При етом предположении мы получим из (!.3) уравнение дУ 1 дг — - — !«' ЧУ= Р— — пгадр+«дУ, ().б) которое было впервые предложено Озееном и по его предложению названо векторным обоб>пенныл> уравнением Стокса.
Будем предполагать, что ось х поступательно движущейся системы координат прямо противоположна направлению вектора скорости поступательного движения тела. В таком случае при проектировании левой и правой частей уравнения (!.5) на оси координат и при присоединении уравнения несжимаемости мы получям еле. ду>ощую систему обобщднных дифференциальных уравнений стокса: !1.ь) дс ! ди дг от+ дг ди —.+ д.г 1) — =Р— — — + ° Ли, 1 ди ! др д» е В дх !/ —" = Р— — — Р + «по,, д» в, ду Сг — -= Р— — — +«5т, дт 1др д» * «дв до дьв — + — = О. ду де 227 $ !! оаоп>цаш>иг уРАвцвпия стокса К установлени>о уравнений (1.6) можно полой>и и с лругой сто- роны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
