Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(8.!2) о Будем полагать, что на бесконечном удалении от шара скорость жидкости обращается в нуль: при )7=по От=О. (8.7) Вид граничного условия (8.6) указывает на возможность искать решение дифференциального уравнения (8.5) в виде от = шп07Я), (8.8) 136 движзниз пги малых числах гзйнольдсл. мвтод стокса [гл. т Таким образом, при решении задачи о вращении шара в неогранкченной вязкой жидкости на основе приближенных уравнений, без учета квадратичных членов инерции момент сил сопротивления вязкой жидкости пропорционален первой степени угловой скорости вращения.
Е 9. Движение вязкой жидкости в коническом днффузоре Рассмотрим движение вязкой жидкости в коническом лиффузоре в предположениях: 1) жидкость считается несжимаемой, 2) движевие предполагается установившимся и осесимметричным, 3) действием массовых сил и квадратичными членами инерции можно пренебречь и 4) движение частиц является строго радиальным, т.
е. от — О Лз1П В ддэ (9.1) При этих предположениях функция тока булет удовлетворять диф- ференциальному уравнению Стоков (9.2) ов)=о и, кроме того, не будет зависеть от переменного гс. Учитывая выражение (7.2) оператора Стокса и независимость функции тока от К, получим: зжа К~ ! НФ~ (9.3) '= 17з ЛВ1.1 В,~В) Введем новое независимое переменное, полагая соз В =- -.. (9.4) Тогда из (9.2) и (9.3) получилп 1 .,з ьпф 7)7)ф ' б(1 2) +(1 -Я) (1 т ) ~ 9 1 1 изр Ж 1 и'"т «тз ~ лтз лз лмр 1 атз , бф+(1 —:) — '1=9, лтз 1 или (1 — ) ~„+бф=С,+Сят. леф 9.5) Легко видеть, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) с правой частью представляется в виде ф»= — (С,+ Сзс) = А+Вт. Таким образом, дифференциаль е уравнение (9.2) будет предстлвляться в виде 9 9) движвнив вязкой жилкости в коничвском диеетзогв 187 Проверкой можно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (9.5) без правой части будет иметь вид ф» = С(» —:3).
Для построения второго частного решения однородного уравнения положим: фз = ф»и (»). Тогда будем иметь: 2(1 — 3»э) — +(1 — »3) — = О, "% а'и = — 2й 1!и (» — »з)!. Лл гз л'» ( — »1)з ' !3 1+» 3»1 — 21 и =Р ~ (»з-+Сз — Р ( 4!и !— 1+2»(! 1))+Сз. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (9.5) преаставится в виде ф = л+8»+с( —; )+ +Р ~ — (» — »з) !п — + + — »э — 1~. (9.6) Обозначим угол раствора конического диффузора бе (рис. 50), Рнс. 50.
а полный расход через сечение — (). Граничные условия, выражающие прилипание частиц жилкости к стенкам н заданную величину расхода,'можно представить в виде: при ". = — 1 ф=о, при»=» — з Р-' Ын З ЛЗ Лг» в, () = 2г. ~ од йз з1п 8 49 = 2». [ф(те) — ф (!)), » (9.7) Производная от функции тока ф (9.6) по переменному» благодаря наличию слагаемого с !п(1 — ») будет при» = 1 обращагься в бесконечность. Поэтому для обеспечения регулярности радиальной скорости внутри конуса необходимо положить: Р = О. движвник вязкой жидкости в коннчвском диеекзоги 189 Таким образом, при малых углах раствора конического диффузора радиальная скорость и перепад давления будут представляться при- ближенно в виде Рз Зе4 Й=- к 4 (' — '"') (9.10) Полагая, наконец, получим: гсб,=а, )с0=г, 2ьг каа (9.11) з) Славкин Н.
А., движение вязкой жидкости в конусе н между двумя конусами, Метем. сборник, т. 42, га 1, 1935. Сопоставляя зти формулы с формулами (5.9) и (5.9) главы Ш для движения жидкости в цилиндрической трубе, мы видим, что правая часть первой формулы (9.11) для скорости в точности совпадает с правой частью соответственной формулы для скорости движения в цилиндрической трубе. Козффицнент правой части выражения (9.11) для перепада давления представляет собой выражение перепада давления в цилиндрической трубе. Следовательно, множитель в скобке выражения (9.11) есть первая поправка в перепаде давления на конусность трубы.
Выражение (9.6) для функции тока может быть использовано также и для решения задачи о движении вязкой жидкости между двумя соосными конусамнт). ГЛАВА Н1 ГИДРОДИ АМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ я 1. Теория И. П, Петрова В предшествующей главе рассмотрены отдельные задачи на применение тех приближенных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости, которые получзются из полных дифференциальных уравнений при отбрасывании всех квадратичных членов инерции, но прн полном сохранении всех слагаемых, обусловленных вязкостью. Следующую ступень развития приближенных методов теории движения вязкой жидкости составили дифференциальные уравнения, получающиеся из полных при отбрасывании всех квадратичных членов инерции и при отбрасывании лишь отдельных слагаемых, обусловленных вязкостью. Толчком к развитию именно второго приближенного метода использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости послужила весьма важная техническая проблема смазки в машинах.
Основателем так называемой гилродинамической теории смазки является известный русский ученый и инженер Н. П. Петрова). В своей основной работе, посвященной вопросам смазки, Н. П. Петров много внимания уделил доказательству зозрожности использования самой гипотезы Ньютона о силе вязкости. В втой же работе он дал решение залачи для того случая, когда поверхности шипа и подшипника приняты за поверхности соосных круглых цилиндров. Для проверки своих теоретических ааключений Н.
П. Петров произвел большое количество опытов. Эти опыты не только подтвердили основные полоигепия его теории, но и много способствовали выяснению вопросов, которые возникли в то время в связи с использованием минеральных масел. Задача о круговом движении частиц вязкой жидкости между двумя вращающимися соосными цилинлрамн была рассмотрена нами в 9 8 главы ГП при условии полного прилипзния жидкости к стенкам. В работе же Н.
П. Петрова зта задача решалась при условии частич- г) Петров Н. Пь Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости, сборник хггглродииамнческая ~сория смаакиж ГТТИ, 1934. й 1! ТЕОРИЯ И, П. ПЕТРОВА ного скольжения жидкости вдоль стенок, т. е. Ори граничном условии (7.4) главы 11: рш —,П, = ' (р; — р). Вкратце воспроизведьм это решение. Пусть мы имеем два соосных цилиндра, вращающихся с угловыми скоростями ш, и ая (рис.
51). Предполагая, что траектории всех частиц суть концентрические окружности и единственная компонента скорости о не зависит от продольной координзты з, получим следующее дифференциальное уравнение движения; 1гав ! до о (!.!) Общее решение уравнения (1.1) может быть представлено в виде СЕ+СЕ (1.2) Касательное напряжение, вычисленное по формуле до„в р„= й( — т — — т), будет в рассматриваемом случае (!.2) иметь вид 2РС, (1.3) Рис.
51. Обозначим коэффициенты внешнего трения через Л, и Ля. Тогда условия частичного скольжения на поверхности рассматриваемых цилиндров, согласно которым произведение коэффициента внешнего трения на разность скоростей точек цилиндров н соприкасающихся частиц жидкости равно касательной компоненте напряжения, будут представляться в виде Л1 (ш1Ь (От)ь! (Р т)ь (!.4) Ля [шша — (от)и! (Ргт)а Подставляя значения О нз (1.2) и р„, нз (!.3), получим уравнения для определения постоянных С и С.! 1+'~(ьа — ~— .'ь'-) =-' откуда .Чаз(Ь ! 2!" ) ,Ьз(а — — Р) (1.5) СЛЬ1 (ш — ш1) а— г аа Ь11 аЬ(а — Ьз)+2 ! — "'-+ — ) ЛЛ, Ля) (92 (гл.
ш ГИДЭОДИНАМИЧИСКАя тиотня СмАзки Так как на элемент поверхности внутреннего цилиндра действует сила (Р г)ьдет= — 21ь ь (1.6) момент которой относительно оси цилиндра равен (рт )АЬЯгЬЬ = — 2нС. 09 то полный момент сил вязкости, распределенных по всей поверхности внутреннего цилиндра с длиной Н, будет представляться в виде Е = — 4я Н Я1" гез аз с ' аЬ(аз Ьз)+2„~ — '+.— ) ( ) 1.7 ~>., 'Аз) Полагая внешний цилиндр неподвижным, ез — — О, и обозначая а — б=д, после разложения в правой части (1.7) по степеням Д и сохранения слагаемых лишь в первой степени, получим формулу для момента в виде .С,,ЧЬэ д4 Р(н (1.8) Хг Ха где 5 представляет собой величину площади поверхности внутреннего цилиндра.
Под силой трения г двух смазанных цилиндров в работе Н. П. Петрова подразумевается отношение момента 7., к радиусу цилиндра: р э з А Бе~ Ь Ь з+ — +— Лг Хз Формула (1.9) представляет собой окончательную формулу Н. П. Петрова для силы трения при смазке. Предполагая коэффициенты внешнего трения Лт и А достаточно большими, из (!.9) получим формулу для силы трения смазки в предположении полного прилипания частиц жидкости к стенкам (1НО) На основании этой формулы можно заключить, что сила трения обратно ппопоопиональна толщине смзаанного слоя, На основании экспериментов и последующего развития теории было установлено, что основные зависимости, полученные Н. П. Петровым, соответствуют тому предельному случаю, при котором шип совершает большое число оборотов и несет на себе сравнительно й' 2! пгивлижйнныя гвлвнвния гвйнольдсл для смлэочного слоя 193 малую нагрузку,- В этом предельном случае ось шипа действительно мало отклоняется от Пси подшипника, и этим отклонением можно пренебречь.
В обычных же условиях работы подшипников ось шипа ие совпадает с осью подшипника. Эксцентричное расположение шипа в подшипнике приводит к образованию той поддерживающей силы, которая уравновешивает нагрузку на вал, вращающийся в подшипниках. Теория смазочного слоя при эксцентричном расположении шипа в подшипниках была развита Н. Е. Жуковским и С. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
