Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2) Таким образом, прн удовлетворении граничных условий (4.!) на бесконечности из четырех постоянных, входящих в выражение (3.9) для функции тока, будут использованы три. Для удовлетворения двух граничных условий на самом. цилиндре останется только одно постоянное Р. Следовательно, удовлетворение граничных условий прилипания частиц к поверхности цилинлра уже не представляется воаможным. В самом деле, при использовании равенств (4.2) будем иметь нз (3.9): (4.3) Удовлетворяя условиям (3;3) в отдельности, будем иметь рааличные значения аля одного и того же постоянного Р: Р = ()аэ, Р = — Раз.
1ЬЬ пАРАдОкс стокса Это и значит, что нри решении приближенных уравнений Стокса для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной вязкой несжимаемой жидкости удовлетворить одновременно и условиям обращения в нуль скоростей ка бесконечности и условиям ярилияания частиц к коверхности не нредставляется ввзможным. Это заключение о невоаможности решения бигармоинческого уравнения для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости иввестно под названием парадокса Стокса ').
Для эллиптического цилиндра этот парадокс был доказан Уилтоном з), а для цилиндра произвольного сечения Одквнстом з). Пользуясь резуйьтатамв исследований Н. И. Мусхеляшвяли 4) и С. Г. Михлина 4), можно доказать парадокс Стокса и для случая одновременного поступательного движения нескольких замкнутых контуров с раиными скоростями в безграничной жидкости. Рассмотрим вначале тот случай, когда жидкость простирается до бесконечности и с внутренней стороны ,ограничена одним лишь замкнутым контуром. Лавлен44е р должно быть функцией однозначной, а согласно его выражемию (2.8) зто может быть только тогла, когда мйнмая часть функции Ф'(г) будет однозначной гармонической функцией.
Пусть действительная часть втой функции будет многозначной, т. е. при однократном обходе против часовой стрелки какого-либо замкнутого контура она будет получать приращение В, где  — действительное число. Рассмотрим теперь функцию Фд(г)=ФР(:) + — '1п(г — го), 2я (4.4) где ге представляет точку вне области, т. е.
точку внутри рассматриваемого контура. Так как функция 1п(г — г,) при обходе вокруг контура, содержащего точиу гз, получает приращение 2яс, то общее приращение всей правой части при указанном обходе будет равно нулю, т. е. функция Ф' (г) будет функцией однозначной. Таким образом, можно положить: Ф'(г) = Ф' (г) — — (п (г — "4), 2з (4.5) где Ф' (г) будет функцией, олнозначной и голоморфпой во всей области, занятой жидкостью. Выполняя ннтегрнропаипе, получим: Ф(г)=Ф (г)+(а+!8)1п(е — гз) — —,г(п(г — гз), (4.0) Вг 2и где Фх(г) представляет собой однозначную в голоморфиую функцию. Положим х'(г)= Х ("а+!ба)г"!п(г-гз)+Х' (г) (4.7) а=ь 4) Я ! о Ь е з О., Тгапь Са ш Ь.
РМ1. Я ос., т. ! Х, ! 851. з) 97!1!оп, РЬйоз. Майаз(пе, уй 175, 1915. а) Обцт!з1, Ма(Ь. Ее(!зейт., т. 32. 4) См. сноску на стр. 158. 4) Мих ли и С, Г., Плоская задача теории упругости, Труды Сейсн Нв-та, Уй 65, Изд. АН СССР, 1935, 166 движвиив паи малых числах авйиольдса. мвтод стокса (гл. ч н потребуем, чтобы скорость, представляемая равенством (2.6), была одно- значной. Для этого необходимо подсчитать приращение правой части (2.6) с учйтом равенств (4.6) и (4.7) прн обходе замкнутого контура и приравнять это приращение нулю: — ![(а+ ф) 2я1 — — а(2яг) + Вя+ д„(оа — фа) я ( — 2в!)~ =О. В1 'цт г т 2в а=о где Ф" и у" — функции, однозначные и голоиорфиые внутри рассматриваемой области. При представлении функций равенствами (4.9) как давление, так и скорость во всей области булут однозначными функциями. Если же область, простирающаяся до бесконечности, будет ограничена с внутренней стороны ие одним замкнутым контуром, а и замкнутымн контурами, то число логарифмических членов в выражениях (49) функций Ф(л) н у'(а) может быть равно числу контуров, т.
е. а=в Ф (л) = Ф" (л) + ~ (аа + фа) )и (х — ла), а"— г а а у'(г) = Х' (л) + ~ (оа — !Ра))и ( — ла). а=! (420) йозьмбм теперь окружность Г достаточно большого радиуса, охватывающую собой все рассматриваемые замкнутые контуры. Тогда для всякой точки л, находящейся вие этой окружности, будем иметь; яо 1 Яо 1 !лота 1и (л — за) =!п а+ 1п (1 — — !г = 1и л — — — — ! — ) — . я) а 2(л,) Слеловательно, для точек вне окружности Г равенства (4.19) представшая в виде Ф(Я)= Ф' (Я)+( о+!Ра)1пж '!г(л) = Х' (я)+(оо фа) )па, «О+1!а= ~З ~(оа+фа), а=т (4.11) где Фы и т' представлдют собой голоморфиые функции вне окружности, за ггсключеннем, быт! может, самой бесконечно удалбнной точки.
По теореие Так как это равенство должно выполняться при любом значении независи- мого переменного а, то лолжиы обращаться в нуль отдельно как свободные члены, так н коэффициенты при степенях а и л. Таким образом, будем иметь: 2В=О, а+ 16 — (ао — фа) = О, (4.8) щ-ф„=с (Д=!,2г ., и). Следовательно, функции Ф(я) и т'(з) при использовании равенств (46), (4,7) и (48) будут представляться в виде Ф (л) = Ф '(я) + (а + ф) )п (г — яа), ) (43) !'(з) = !' (я) ф ( — ф) ! ( — а), 1 167 ПАРАДОКС СТОКСА лорана этн функции вне окружности будут представляться следующими рядами; +го Аьг Ф'*(л) = ~ЧР~ а„л", )(г (л) = ~~~ а„л", (4.12) Потребуем теперь, чтобы давление было ограниченной функцией во всей области.
На основании (2,8), (4.11) и (4,12) для давления будем иметь: р= рь+2Р! — =+ р п(я.л"-' — явл -г)~~. Гвэ+ гбэ « -гйэ Сч л л Для ограниченности величины давлении для точек вне окружности необхо. лимо положить: а„=б, а„=б для п>2. (4.13) При выполнении этого условия первое равенство (4.!1) можно представить в виде Ф (г) = Фа (л) + (аз + грэ) !п л + (Ат -1- 1Вт) л, (4.14) где функция Фэ(л) является голоморфной вне окружности, включая и бесконечна удалбнную точку.
Используя выражение (4.!4) и вторые равен. ства (4.11) и (412), получим для скорости (2.6) выражение и + го = — 7 (Фэ (л) + (во+ гро) 1п л + (Аг+ 1ВД л + + л ~ФЮ (л) + ~— '+ Ат — ГВт1 + (аэ+ тйэ) (п «+ ~~~~~ а„л"~ „(4.15) Для выполнения требования ограниченности скоростей ао всей области вне окружности необходимо положить: ь=в 2АА=О, яв — О (и >1), «а+1!э А' (аа+!Рь) = О. (4.16) ь=т При выполнении втнх условий формула (4.14) для Ф(л) и вторая формула (4.11) для х'(л) будут представяяться в виде Ф (л) Фэ(л) + !Вт, )( (я) — г а(л), (4.17) где функции Ф'(л) и у'ь(л) будут функциями, гоаоморфными вне рассматриваемой окружности Г достаточно большого радиуса, включая и бесконечно удаленную точку.
Переходя к непосредственному доказательству парэдокса Стокса, обратимся к уравнениям (22). Умножая первое уравнение на и, а второе на о и силадывая, получим: бр бр 7 ббф б бф'т и — +о — =и~и — о — ~, дд ду 1 оу дх /' К левой части этого равенства прибавим выражение !68 движаиик пги малых числах гкйиояьдсл, мвтод стокса [гл. т а в правой части вынесем знаки дифференцирования за скобки. Тогла получич: — (ри) + — (ро) = и ~ (и бф) — о (о Ьф)~ — р (бф)э, д д Гд д дх ду ~ду дх или д д и(зфр = — ( — ри — ! о а))-[- — ( — ро-[-! иааф).
дх ду (4,18) г Ц (бф)эигхду = ч [( — ри — Во Ьф) сот(п,х)+(-ри- !эи Ьф) соэ(п,у[из = ъ г [ [ — Р(идУ вЂ” о Хх) — Ндф(идя 4-оду)], (4,!9) ь г где через ь ооозначена вся совокупность и внутренних контуров. Мы отыс. киваем решение бигармонического уравнении для функции тока ф прн условии обращения скоростей и и о в нуль на бесконечности, поэтому интеграл по контуру Г окружностм безгранично увеличивающегося радиуса в правой части (4.19) можно положить равным нулю. На каждом внутреннем контуре совокупности 8 должно выполняться условие прилинаиия, т. е.
и=(у=сола!, о=0. Учитывая все эти условия, равенство (4.19) можно представить в виде 11(дф)эйлау=-(У 1(рду+рафд ). я г, (4.20) На основании (2.9) будем иметь: (р+ Граф)(их+!ду) 4И!Ф'(з)дз, рт(у+ р Ьфигх = 1а (4 р(д[Ф (з)]ф. Используя последнее равенство, из (4.20) получвмг О (аф)э дх ду = 1а ( — 4(Г!1 Ы [Ф (хЕ, (4.21) я Функция Ф(з), представляемая первым равенством (4.10), при полном облоле контура номера й получает приращение (ил+ грз) 2иг! При однонратном обкоде всех и контуров приращение этой функции будет равно ь=н ~ЧР~ (иа+ (чи) 2тй э=! Обе части равенства (4.!8) умножим на дхду и проинтегрируем по всей области 5, ограниченной с внешней стороны окружностью Г, а с внутренней стороны совокупностью и замкнутых контуров.
Тзк как в скобках в правой части (4.19) находятся однозначные функции, то можно использовать обмчиые формулы преобразования интеграла по площзди в нятеграл по всей еб границе. В результате всего этого получим; ГЛАВА!Х НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В !. Общая постановка задачи о прямолинейно-параллельном неустановившемся течении вязкой жидкости Будем считать жидкость несжимаемой, т. е. р = соп51, действием массовых сил будем пренебрегать и будем полагать траектории всех частиц прямолинейно-параллельными, т. е. о==О, ш= — О.
При этих трех предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь: д '(1.1) а дифференциальные уравнения движения (10.1) главы 1! предста- вятся в виде (1.2) На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и з. Если при этом у ~есть (1.1), то в первом уравнении (1.2) слагаемые, содержащие и, будут зависеть от переменных у, з и г, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и С а это возможно только в том !70 движение пти малых числах аайнольдсл.
метод стокса (гл. ч простирается до бесконечности. Откав хотя бы от одного нз этих предположений приводит к ликвидации парадокса Стокса, т. е. к возможности решения соответственной плоской задачи. Так, например, отказ от предположения стационариости движения самой жидкости при сохранении двух других предположений позволил Бассе т) к Оаеену з) построить решение задачи о лвиженни круглого цилиндра в безграничной жидкости при разных начальных условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
