Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 30
Текст из файла (страница 30)
менных х и у можно г!едставить прн помощи лвух функций комплексного переменного г в виде 24 =- г Ф(г)+ гФ (г)+2(г)-+у (г), (2.5) где черта сверху над независимым переменным г и функциями Ф и 5 означает сопряженгь, т. е. в нервом случае замену ! через — ь' э выражении самого пььеменного г, а во втором случае в коэффициентах отлельных слзггемых этих функций. Дифференцируя левые и правые части по х !, у, получим: 2 — ' = — Ф(г)+зФ'(з) - Ф(г)+хФ'(г)+ у'(з)+у' (г) =- — 2т, дх 2' ,— =- ! ( — Ф( )+ з Ф!г)+ ЧТ (г) — гФ' (г) ук у'(з) — у (г)) = 2а, ду з! Му с хек и ~и виль Н.
Н., Некоторые основные задачи чзтематической теории упругости, оз. АН СССР, !Ч45. х+гу=г, р — 2!Ум =у (г). (2.3) Исключая нз равенства (2.2) лавление, получим ллэ функции тока бигармоническое уравнегяе 9 2) плоско-плглллельнов тстлновнвшввся движвние жидкости !69 Умножая первое равенство на — 1 н складывая со вторым, получим следующее выражение лля скорости в комплексной форме: и + гп = — 1 (Ф (з) + яФ' (я) + 7' (з)) .
(2. 6) Для вторых производных от функции тока будем иметь: 2 —,' = 2Ф'(з)+гфм(г)+ 2Ф'(я)+аФ" (з)+1" (а)+ум(г), 2 —,= — — ( — 2Ф'(з)+зФ" (а) — 2Ф'(г)+гФл(г)+ ум(г)+7'(х)). дуз Складывая эти выражения, получим для вихря и слелующее равенство: 2м =. — йф =. — 2 [Ф'(я)+ Ф'(з)). (2. 7) На основании (2.3) давление р прелставляет собой гармоническую функцию, сопрях<ецную с гармонической функцией — 2рм, поэтому р'= 2р1(Ф'(з) — Ф (з))+рз, (2.8) где рз — постоянная величина. Прн этом будем пметь: р — 21рм = /(г) = 491Ф'(с) (-ро, (2.
9) )тт..= ~ ( —,о1+р — )сЬ, )7,= [~ — р +-, э„)г(-, 7 (2. 1О) где — направляющие косинусы нормали, внешней к контуру т. Умножая второе равенство (2.10) на 1, склалывая с первым и заменяя 1 и т их выражениями, получим: Я,,-(-Ит — — [ [1рбтх+1г(у)+р — (и-(-го)гЬ). (2.1() д В 9 4 главы Ш были установлены формулы для результпрующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на поступательно движущееся в ней тело. Проекцпи главного вектора результирующего воздействия на плоский контур при его поступательном лзижении будут представляться в виде !60 движвнив пти малых числах взйнольдсл. метод стокса [гл. ч Так как д д д нуд дхд дп ' дх — = соз (и, х) — + соз (п, у) — — — — — —— ду Б дх дз ду ' д (и+ гп) 1 [Ф (з) + Ф (з)+ хф (х)+ / — (и+(ю) =Ф (х)+ф (х) — хф'(х) — / (з), ду то для слагаемых, вхолящих пол знак интеграла (2.11), получим: д д .
д дп — (и + (п) оЬ = Иу — (и + гти) — сгх — (и + Ри) =- дх ду .= — ф'(а) их — Ф'(х) с(з + хфх (х) с(х+ у" (з) с(х, гр г(г — — — 2рф' (х) г(з -1- 2пф' (х) дх+ гро дз, гр дз-1- р — (и+ (и) оЬ = — Грег(х + рН [ — Зф(х)+ хф'(г)+ у'(х)1 =— .= 1Рос(х+ Рд [ — 4Ф(х) [-1(и+ Го)[. Таким образом, вектор результирующего воздействия в комплексной форме на плоский контур представится в ниле )се+Из.— — -1ро ~ Их — 4и ~ И[Ф(х)[+рс~ г((и.(-гп).
(2.12) Если контур т будет замкнутым, то первое слагаемое, содержащее интеграл от дх, обратится в нуль. Так нак проекции скорости должны представлять собой однозначные функции, то н последнее слагаемое также должно обратиться в нуль. Следовательно, при поступательном движении плоского замкнутого контура в вязкой несжимаемой жилкости при условии прилипания частиц к контуру и при отбрасывании квадратичных членов инерции главный вектор результирующего воздействия в комплексной форме будет прелставляться окончательно в ниле Ли+Из= — 4(о ~ г([Ф(2)).
Для подсчЕта результирующего воздействии на плоский контур согласно (2.13) надо лишь подсчитать приращение функции комплексного переменного Ф(х) при полном обходе рассматриваемого контура. Таким образом, результирующее воздействие на плоский замкнутый контур при его поступательном движении будет только тогда отлично от нуля, котла функция Ф(з) неоднозначна. Формула (2.13) может быть получена с помощью простых преобразований на основании (4.25) главы 1Н. движянив кттглого цилиндал 161 $ 3. Движение круглого цилиндра бар=о. (3.1) ж В полярных координатах проекции вектора скорости частиц жидкости через функцию тока будут представляться в виде о = — —, о = — —.
(3.2) 1 д4 дт Рис. 43. г дт' т дг' 3 силу предположения о прилипании частиц жидкости к стенке будем лметь граничные условия на самом цилиндре в виде при г=а — — = Усову, — — = — ()з)ну. (3.3) 1 ч) дф г д|1 ' дг В качестве нового допущения принимаем, что возмущения, вызываемые самим движением цилиндра в вязкой жидкости, будут исчезающе малыми не на бесконечном удалении от цилиндра, а на некотором конечном расстоянии, равном Ь. Таким образом, в качестве вторых граничных условий принимаем условия обращения в нуль скоростей на конечном расстоянии от цилиндра, т.
е. при г = Ь вЂ” = О,,— = О. дв др (3.4) дт ' дг Вид граничных условий (3.3) даат некоторое основание к тому, чтобы искать решение уравнения (3.1) в виде ф Б1п т/(г). При таком предположении будем иметь: Аф = — + — — "+ — — = з1п т )/" + — /' — —./! = мп вР(г), Ьбф=мп у~Р + — Р— — Р~. 1, ! гт решение дифференциального уравнения Р"+-Р' — — Р=О 1, 1 г гв (3.3) Общие соображения, наложенные в предшествующем параграфе применим к частной задаче о движении круглого цилиндра. Пусть круглый цилиндр радиуса а перемещается поступательно в вязкой несжимаемой жидкости параллельно оси х с постоянной скоростью У (рис. 43). Считая движение жидкости установившимся м пренебрегая действием массовых сил и квадратичными членами инерции, получим для функции тока бигармоническое уравнение !82 движвнив пти малых числах твйнольдсл.
метод стокса (гл. ч представляется в виде Р=Аг+ —. В Таким образом, будем иметь: р — 2/ри = р(Ал — — )+Ро. мт (3.8) Зля определения же выражений лля проекций скоростей необходимо еща решить следующее дифференциальное уравнение: /" + — /' — —,У'= — (Д'+ — ) = Аг+ —. При первом интегрировании этого уравнения получии: /'+ — = — (г/) = — А гз+ В 1п г+ С, . / д' 1 После второго интегрирования будем ииет!и у(г) = — Ага+ — Вг11п г — — ) + Сг+ —.
1 1 / 1ч В 8 2 ! 2) Таким образом, для функции тока и проекций скоростей будем иметь следующие выражения: ф = а(п р) (г) = а)п 9 ~ — Ага+ —, Вг (1и г — —,) + Сг+ — 11, Г1 1 / 11 111 и = — — = соа 9 ~-А/э+ — В(!п г — — /!+С+ — ~, г где ~8 2 ( 2) о = — — = — а!а еЬ! — Ага+ — В(!п/+ — )+ С вЂ” — ~. дг Ьа 2 т 2) гз) ' (3.9) Сопоставляи выражения (3.8) и (2.9), получим: 4р/Ф'(л) = р (Ал — — ), 4Ф (л) = — 1 ( —, Ало — В 1п л+ К~, Г1 (3,10) где К вЂ произвольн постоянная, На основании (2.7) вихрь и в рассматриваемом случае будет равен 2и = — Ьф = — э!и 9 (Аг+ — ) = 1ш — (Ал — — ).
(3.6) — .) Для давления согласно (2.9) получим следующее выражение: Р'=Ро+ мер(Ал — — ) =Ро+ р(А/ — — ) соа9. (3.7) (Е3 ДВНЖЕННЕ КРУГЛОГО ЦНЛННДРЛ Подставляя значение Ф (я) нз (3.10) в формулу (2.13) и учитывая, ! !то интегралы от зт и К обращаются в нуль, а интеграл от— равен 2кг, получим для результирующего воздействня на рассматрнааемый круглый цилиндр выражение Я -!-аа=2ярВ.
Таким образом, вектор результирующего воздействия на круглый цнлнндр прн его поступательном движении зависит только от одной аостоянной, являющейса множителем прн том слагаемом в выражевнн (3.9) функцнн тока, которое содержит логарифм от полярного радиуса. Используя граничные условия (3.3) и (3.4) и выражения для скоростей (3.9), получим слелующие уравнения для определения произвольных постоянных: — Аат+ — В ! 1п а — — !+ С+ —, = сг, ! 1 г 1! 0 — Ао + 2 В(1п -(" — )-(- С вЂ” — = и, 3 1 г 1! 0 лз — АЬ-+ — В !1п Ь вЂ” - !+ С+ — = О, — Абз+ — В ~!п Ь+ — )+ С вЂ” — = О. (4сключая на зтнх уравнений С н В, будем иметь: — А (бз — ав)+В 1п — „= — 2К з я з 2 1 1 4 — А (лг — аь) + — В(бз — аз) = О.
2 Отсюда, обозначая Ь вЂ” =д, (3.!2) 'юлувнм для постоянного В следующее выражение: В=— !па — аз+1 Подставляя значение В в (3.11) и приравнивая действительные части, получим формулу для сопротивления круглого цилиндра прн его поступательном движении в вязкой несжимаемой жидкости (3.14) !пал — —, а++ 1 !64 движение пги мллых числлх гнииольлсл, мвтод стекол 1гл, г На основании формулы (3.14) мы заключаем, что сопротивление лронорционально козерфициенту вязкости и скорости иостуиаиельного движения в первой стенени. Безразмерный множитель, входящий в формулу (3.14), зависит от отношения радиуса воны возмущений, выаываемых движением цилиндра, к радиусу самого цилиндра. При возрастании радиуса зоны возмущений до бесконечности безразмерный коэффициент сопротивления будет уменьшаться го нуля; а при уменьшении радиуса этой зоны дб значения радиуса цилиндра коэффициент сопротивления будет возрастать до бесконечности.
Йействительиое значение радиуса возмущений, очевидно, можно установить только на основании каких-либо измерений или каких- либо дополнительных соображений. $ 4. Парадокс Стокса В предыдущем параграфе было построено решение задачи о двк)ненни круглого цилиндра при предположении, что эона возмущений, вызываемых движением цилиндра, является ограниченной. Если же предполагать, что возмущения от движения цилиндра исчезают лишь на бесконечности, т. е, граничные условия (3,4) заменить условиями: при г -ь оо о„= — д -ь О, ог -— — — ~д -+ О, (4.1) 1 др де то для удовлетворения их мы должны в выражениях (3,9) для проек. ций скоростей положить: А=О, В=-О, С=О. (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
