Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ф 11. Вращение безграничной плоскости В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, лля которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости, Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой хгидкости можно подойти и с другой стороны, а именно лелать заранее предпол))женив не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и лавление.
Этим путем при удачном выборе характера функции для скоростеи н давлений можно в отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно решить, по крайней мере, численным способом. в) н в т е! 11., Вр~гз!!пгш12е Вепеднпяеп ваьег р!авв!2ке!1еп, явьгев- ЬЕГ!СЫ ПЕГ ПЕВМСЬЕП МВШЕт. УЕГВ1П12ВПВ 25, 1916. в) О в е е и С., Вхвще Ьвввпкеп Пег Ьугбелгп. 0жегелнв!2!е!сЬвпяеп, дгюв Гвг шв!епь звгг. осп 17ЫК, т.
20, Ы 14, 22, 1927. в) !(ов епь1в!! л., 5оьнюпв еввс!ев пев ачввиопв пи гпввчегпеп! дев !Чп!лев, ч~вчиеих, Мегв, дев 5свепсвв МшЬепь 72 1935. 1!! вглщзнив ьвзгвлничной плоскости !47 Слелуя Карману, примем лля скоростей и давления слелующие выражения: о, = гГ(з), о = гб(г), о, = Н(з), р =р(г). (11.2) При этих предположениях дифференциальные уравнения (!1.1) принимают следующий зид; лг' Гз+ Н вЂ” ' — О лл 2ГС+ ив лб лг йН Н— л'л 2Р+— лн == ч —, Лгб ллз ' Р+ч ! лл лаН = О. (11,3) Таким образо благодаря прелположенням (1!.2) дифференциальные уравнения (11.1) с частными произволными оказались преобразованными в систему (! 1.3) четырвх нелинейных обыкновенньш уравнений второго порялка.
Дальнейшее рассмотрение уравнений (11.3) проведвм применительно уже к конкретной задаче вращения безграничной плоскости Оху вокруг оси г с постоянной угловой скоростью ыз в жидкости, расположенной только по одну сторону от плоскости (рис. 41). Примем, что частицы жидкости прилипают к вращающейся стенке, т. е. при з=.О о,=О, и =газ, о,=О, г) ка г и а и Т., ОЬег йе !ат!лаге илд $агьа!еп!е йе!Ьапа,улма! 1, и!2!. В качестве примера применения этого метола рассмотрим случай вращения безграничной плоскости, впервые исследованный в работе Кармана ').
Если, помимо прелположений о несжимаемости жидкости, об установившемся характере движения и о возможности пренебрегать деиствием массовых сил, попустить еща, что распределение скоро- степ и давления не зависит от полярного угла ф, то дифференциаль. ные уравнения (7.1) примут вид до, дп„~~ 1 дР (д и„! дп„дги„о„( гдг+ "дг г я дг+ хдгз+ г дг+ дал гз)' до дп ого г(мп 1 двт дгв е ! о — ~-(-о,— т+ — т =ъ ! — т+ — — т+ — т — —.~~, (1 1.1) г ! Π— '= — — — — + гдг+ "д» Гдл ' 'хдгя г да+дФ)' дог иг да, — "+ — '+ — ' = О.
дг г дг 148 точнов интвгвиговлнив твлвнений тстлновившвгося движения [гл, ш а на бесконечности лишь две скорости о„и п„обращаются в нуль, так как радиальное растекание жидкости по плоскости возможно, только если считать и на бесконечности отличной от нулю при г -т со о,.-+ О, и -« О. Учитывая прелноложения (11.2) и сформулированные граничные условия, будем иметь лля искомых функций следующие граничные условия: при а = 0 Г(О) = О, 0(0) = — ме, Н(0) = О, при а = ж Г(со) = О, б(оэ) = О. (11. 4) Дифференциальные уравнения (! 1.3) при граничных условиях (11.4) можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи начала коорлинат (х = 0) и нх асимптотических разложений вблизи бесконечно удалвнной точки (з = со).
Входяшие в эти разложения коэффициенты должны быть определены не только из граничных условий, но и из требований непрерывности самих функций Г, 0 и Н н пер- лг" лб вых производных — и — —. Так как шо ре- п'л ла ' шение является громоздким, то мы йассмотрим лишь приближенное решение этих уравнений в том случае, когда граничное условие на бесконечности заменено условием на конечном расстоянии от плоскости. Примем. что на некотором неизвестном расстоянии е от плоскости аве скорости о„и о обращаются в нуль и обращается в нуль первая производная о по г.
Иначе говори, второе граничное условие (11.4) заменим следующим: при з=а Г(3) =О, П(а) .=О, — =О. ЛО (1 1.5) са !.!елинейные слагаемые в первых двух дифференциальных уравнениях (11,3) заменим их средним значением по толщине слоя Л, т, е, положим: 149 ф 111 вглшаниа вввгглничной плоскости Решая уравнения (11.7), получим; В = 2 Алт+ Сна+ С, б = — Вге+ С, л+ С,. (! 1,3) (1 1.9) При зтих значениях искомые функции представятся приближенно в виде В = —,' А(яз — 5.), 6 =- о(л — 6)з, ! о =-.
— А ( — — х (о) . (11.10) Подставляя (11.10) в (!1.6) и выполняя интегрирование, получим уравнения для определения А и толщины слоя 8 Аош "'о опх 5х 2и~ Аочао аз 1О. Разрешая эти уравнения, получим: 2 о 15 ч (11.!1) 5 =3,501/ г ио Сила вязкости, приходящаяся на единицу вращающейся плоскости, будет представляться в виде (Рео)о=9'(д ) =)ог('3 ) = Умножая левую и правую части на 2ягвдг и проводя интегрирозанис На основании последнего уравнения (11.3) и (11.3) будем вметая Н= — 21 — Ага+ — С аз+ С я+С ), /1 1 Используя граничные условия (11.4) и (11.б), получим следующие значения постоянных: 1 С, = — — Ао, 2 С =но, Сз = 0, Со = О, 1 оч 2ео С = — — Во — — В=— 2 а' аз' 150 точное интегрировании уравнений Установившегося движения (гл.
ш по переменному г от нуля до некоторого значения )с, получим момент сил вязкости, распределенных до лиску ралиуса Й относительно осн вращения: и а й =- — 2и ~ (рта)о гас(г =- — ир)(гч 0 — — — 0,9)(ч тр р)рма ° (1 1. 12) о Таким образом, е рассматриваемом примере момент сил вязкости относительно оси вращения пропорпионален угловой скорости вращения в степени з/ .
9 12. Случай импульсного источника Следуя указанному в предшествующем параграфе обратному четоду, рассмотрим еща олин саучайт) точного интегрирования ураииений установившегося осесимметричного дяцжения вязкой несжимаемой жилко тн. В уравнениях (11.1) приз~ем поперечную скорость о равнга нулю и введем функцию тока ф, полагая 1дч 1дф г'г — — —, на — — —. г дз' "" «дг' Тогда первое и третье уравнения (11.1) можно представить е виде д (о~+па) 1 дф, 1 др ч д0ф дг~ 2 У гздг р дг г дл' д Уо,+~~) 1 дф, 1 др д()ф да(, 2 У гздг ' р дз г дг (12.2) тле 0 — оператор Стокса, разный да 1 д дз дгз и дй даз' (12.3) Перейдем теперь к сферическим координатам Р и 0 и положим: г = )г мн В, а — А соз 0. Отсюда будем иметь соотношения дг 1 дл дР— = з1п 0 да 1 дг — соз В дР )2 де' ог да Умножая в первый раз левые части (12.2) на — и — соответственно, дР д)р т) Слезкин Н.
йм Об одном слУчае интегРиРУемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жнлкостн, Учаные записки МГУ вып. 11, 1934. $121 случАЙ импульсного источника ! О! 1дх 1дг дг а правые части иа — — — и — —, а во второй раз левые части на — и 77 дб Р дб' дб дх дх дг Об ' —, а правые — на )7 — и — )7 — и склалывая, повучим лиффереициальные дг дР уравнения движения в сферичесннх координатах д (! '! Вф дф 1 др т д()ф дЬ'(, 2 / Дм з!па 0 дут' с дР )уа з!п 0 дб ' ~ (!2.4) !з д 7 ! ,'! 7)ф дф 1 др д()ф д0 12 ! )(гзззйзбдб 0 дб ып0 дутт ' г„е оператор Стокса имеет вид дз, з!пб д / 1 дт В- — —, — -~ — -). д)ба Ю дб~а|пбдбу' (12.6) Компоненты скорости оп н оз будут представляться через функцию така в виде ! дф Г 1 д"1 1 дф 7 1 дг( 1 дф оп — — о Мпб+п спз0 — — — ( — — — !+ — — ! — — ! з г дх (, !Гдб) ' г дг 'АР дбг' )(гааза бдб ' 1 дф дх 1 дф дг 1 дф от=,ор сов 0 .озз!ив=†г дх дйз г дг дР Р з!п 0дР' (12.7) Наконец, полагая (12.8) сов б ч, будем иметь для функции тока уравнение в ниле дф д0ф дф д!Эф ~(1 дф ч д' ~ дт дйз дА' дт 1~~' дт 1 — чз д)7у — — — -27)ф!' — — '+ з — "'! = — ч(азу)7)ф, (!20) при атом дз 1 — тз дз (12.! 0) ! дф оп = !Озд» ' 1 дф (7 )г! чз д)г) (!2.1!) д !1, рч ч д0ф ()ф дф — — )гз+ — = — — — + д)7(,2 З ] 77з дт А»(1 чз) д)7 (12.12) Исключая из уравнений (!2И) с иамо цыо перекрестного лифференцирования давление, получим следую цпе дифференциальные уравнения для функции така: 1 дфд()ф дфдЕтф) 2()ф ('дф Мп Од(') )(из!п б д)7 дб дб дзр 7 Рзз!паб (д)7 ( ' ' )-,',( — — — — — — ( — ' соз 0 — — — ) = — чсасау!, (12.5) дбг 152 точнов иитвгвиеоваиив твавикний кстановнвшвгося движения (гл.
гч Решение дифференциального уравнения (129) будем искать в виде произведения произвольной функции от переменного т на радиус 77 ф = )гу (т), (12.13) Прн этом предположении будем иметь: 1 д= — — У'( ), )2 1 У(с) 77 тд( з 1 — Р 7),~ 77 д('1, р') ' т( . а 1 Ойг 12 а 7 дуз г(т )ат -(- рз-! -) = — — ' — И1-')уа) Ф-.хау, 0 12 а) )аз )7г (/з+ 1= — — ' г" + — Гау', Интегрируя последнее соотношение по т, получим для давления: (! 2.14) —,)шз+ —" = — ( — чу+ — Ужп-С).
2 у )г.(, 2 (12Л 5) то днффереицнадьное уравнение (12.!6) представится з виде г(э (1 — ! — ут — «(1 — тз)у' — 2тч,/~ = 0. г(тз~ 2 (12.17) Проводя интегрирование, получим дифференциальное уравнение Риккати -уз — т(1 — сз)у' — 2шУ=С„! 'Сгч-Ь Сзчз. 2 (123 и) С яомошью подстановки У = — 2э (1 — чз)— ьг 01 у нч (! 2.19) уравнение (!2.!8) приводится к линейному уравнению второго порядка вчу С. + С,с + Сзтз — — —,— — у=о. (12.20) ,(,з 2,з (1 „з)а Если все постоянные Са, С, н Сз положить равными нулю, то получим реше.
пне уравнения (12.20) в виде у = А+Вч. дифференциальное трзвненве (12.9) для функции тока представится в виде — /т — 3,1 У = — ((1 — «з) Уг — 4 ту ) (12.16) Так как (-)"'- — '1 =(У) =(УУа, Уг)=УУ.-ГЗУгУ 2) П! — тз) у' -',— 2тг! = (1 — чз)у!ч — 4ту, 188 СЛУЧАИ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА й 12) Отсюда будем иметь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
