Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(10.10) Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разлеляя переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического интеграла ~р= ~ +Е>. / 2 3 =" фl — — с (и) (! 0.11) О=2 ~ оггНу= 2 ~ иду. (!0А3) Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си О, для определения которых необходимо задать граничные условия. Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла раствора через ре.
В силу условия Рнс. 37. прилипания: при й = -.Те и —— О. (10.12) )хля расхода О будем иметь следующее выражение: то т $10] плоско-пАРАллальнов Ралилльнов тачянии вязкой жидкости 141 Булем различать два случая радиального течения: расходящееся и сходящееся. Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а величина и убывает от оси к верхней стенке, т.
е. о >О Г<0 0<9<90 а для сходящегося течения, наоборот, о,(0, — )О, 0(ф('Ре. Обозначим корни многочлена (10.10) через е, ея и е, т. е. положим: г'(и) = (и — е,)(и — ея)(и — е„). Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (!О.!0) с обратным знаком е,+ея+е„= — б, (10.14) Пусть все эти корни действительны и пусть е, ) ея ) ез. Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой, подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат н пересекающей ось абсцисс три раза (рис.
38). Так как много- Рнс. 38, член входит в правую часть (10.9) с отрицательным иножителем, а левая часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет положительным, должны исключаться из рассмотрения (этн области покрыты штриховкой). В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс (и = 0) должно вхолнть в области, где Г(и)(0. Но левее точки и = ля начало осн абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а это исключено соотношением (10.!4).
Следовательно, начало оси абсцисс должно располагаться где-то межлу г, и ез и оно будет разбивать область возможного радиального течения на две отдельные области. Для области справа от начала мы будем иметь: 0 (и (е,, еэеэ) О. (10.15) 142 точнов интвгвитовлнив хтлвнвний хстлновившвгося лвижвния [гл. ш (10. РУ) 0 (и (ео евез)О. Таким образом, длв чисто расходящегося течения ив (!0.9) н (10.13) имеелн ии Г» 2 3 — = — 1/ — у'(е — и) [ив — (е + ез) и+ е,ез), 3» и ии »Ц = — 2и»(в = — 2 — ~Г 2 )г(гч — и) [ед — (а, + ел) и + е,ез[ (10.18) (10.19) Проводя интегрирование по переменному и в пределах от ел до нуля, а по в от нуля до вз и используя (10.!4), получим: ч, ~/2, ( 3» З У~(ел — и) [ил+(6»+ел) и+лез) ~ У(ел — и) [ил+ (6»+ ел) и+ елее) езез ) О, е,+ез+езив — бч.
(10.22) Полученные соотношения (10.20), (!0.2!) и (10.22) позволяют определить значения трах корней е,, е., ез по заданным значениям вз, С~ и . Практически же, конечно, удобнее поступать в обратном Этой области будет отвечать чисто расходящееся радиальное течение. Для области же слева от начала будут иметь место неравенства ев ( и ( О, елез О, (10.16) т. е. этой области будет отвечать чисто сходящееся течение. Так как корни многочлена г'(и) отвечают экстремальным вначеняям функции и (в), то в первом случае величина ел будет представлять собой максимальное значение и, имеющее ггцх место на линии симметрии (в =0), Л а во втором случае ея будет представлять минимальное значение и, ц имевшее место также при в=О.
Если же многочлен Р(и) будет l иметь только олин лействительный корень е,, то графин этого много- члена будет примерно представлятьсв кривой на рис. 39. Область, располоРнс. 39. жениав справа от е,, где г" (и) ) О, дол>хна исключаться из рассмотрения. Начало оси абсцисс лолжво располагаться тогда слева от е,. Области, расположенной межлу началом и е,, будет отиечать чисто расходящееся течение, для которого имеют место неравенства 10) плоско-паг*ллвльнов гади*льнов твчвние вязкой жидкости 143 правая часть (10,20) с множителем е, будет больше правой части (!0.21).
Следовательно, будем иметь неравенство 1 Ре'г) 2!С (10.28) Смысл этого неравенства очевилен: произведение половины угла раствора плоского диффуэора на радиус и на максимальную скорость, имеющую место на линии симметрии, конечно, будет превышать значение половины общего расхода. Далее, так как е >О и все слагаемые в квадратной скобке под знаком корня в (10.20) положительны, то, отбрасывая в этой скобке слагаемые из и е.е, мы уменьшим знаменатель под интегралом и, следовательно, увеличим всз подинтегральное выражение, т. е. будем иметь: ч, (' 2 ( чаи —;,<( 3" ' ч' г'(бч -)- е )и (е, — и) (10.29) порядке, т.
е. эалазать два значения из трах е,, е, ез и определять отвечающие им эначениз ч7з и 1;). Дла чисто схолЯщегоса течениЯ из (10 9) будем нметвп ии Г2 „— = 17 — р'(ез — и)(иа+(6ч+ез) и+е,ез), (10.23) ла — У 3. Ф;ч = 2и с(т = 2 . (10.24) 2 у'(еэ — и) [из+(бч+еа) и+егеэ) Для определения же значений е, ея и ез должны быть использованы следующие соотношения: е 2 ац (10.25) I )'(ее — и) (из+(вч+ез) и+еаеа) о 1 / 2 1 иди — — ) — — — —, (10.26) 2 г Зч ) У.( ц)(цзЧ (6, !,а)и+, „) ' ч, еаеэ<0, е +е +ез= — бч. (10.27) На основании соотношений (10.20), (10.21) и (10.22) можно пока- зать, что чисто расходящееся течение будет возможно только при сравнительно малых углах раствора плоского диффузора. Чтобы показать это, установим два неравенства. Если правую и левую части (10.20) умножить на е,, то в силу того, что и <е, 144 точное интагеиеовлнив теавввний зстановившагося движения (гл, гв Интеграл, вхолящий в правую часть (10.29), имеет следующее значение: = агс з)п ~ — — я.
,~ ) (.,— ) е, а ееа — — (и — — ) ~ь Следовательно, неравенство (10.29) представляется в виде 7а < 21г 1+ — ' (10.30) Таким образом, расходящееся течение в плоском диффузоре возможно при половинном угле раствора оа, удовлетворяющем неравенству (10.30), С увеличением расхода, т. е. увеличением е,, и с уменьшением кинематического коэффициента вязкости ч предельный угол раствора диффузора для чисто расходящегося течения будет уменьшаться.
Из неравенства (10.30) будем иметь: а из неравенства (10.28) получим: — ) —. е, ч 2 та' Следовательно, правая часть второго неравенства булет завеломо меньше правой части первого неравенства ~ < (' †" †- 12Т,). (10,31) Так как расход () имеет размерность произведения скорости на ллину, то отношение расхола к кинематическому коэффициенту вязкости можно взять за число Рейпольдса плоского диффузора, т.
е. Таким образом, чисто росходяиаееея течение в плоском диффузоре возможно только при тех значениях числа Репнольдси, которые удовлетворяют неривенству К < ( — — 12ча) к Например, при Т = — '=10' должно быть: (ч < 1б8. й !01 плоско-плглллвльнов елдилльнов тешник вязкой жилкости 145 Если число Рейнольдса немного превзойдвт предел, лопускаемый неравенством (1О 32), то в ядре вблизи линии симметрии течение будет расходящимся, а вблизи стенок теоретически оно должно было бы стать сходящимся, а практически будет происходить отрыв жидкости от стенок. Таким обрааом, рассмотренная задача о радиальном течении в плоском диффузоре поучительна в том отношении, что решение еа указывает теоретически на возможность отрыва жидкости от стенок в расходящемся течении, что в действительности часто и происходит.
Обратимся теперь к чисто сходвщемуся течению. Соотношение (10.25) мс кно также представить в виде н фо = 2,, )Г(е и)(и р,)(а е,) (10,33) Легко показать, что чисто сходящееся тещяие возможно при любых значениях числа Рейяольдса. Для это~о будем уменынать значение коэффициента вязкости до нуля. Так как левая часть (10.33) имеет конечное значение, то уменьшение ч ло нуля лолжно сопровождаться увеличением до бесконечностя интеграла в правой части, что вполне возможно прл приближении значения ез к значению ез. Этим собственно и показывается то, что чисто сходящееся течение а конфуэоре возможно и при очень большлх числах Рейнольдса (при очень малых значениях ч).
Учитывая это, и считая ч очень малым, можно положить в (10.23). э в е, ж — 2ез; тогда получим; а'и . Г2 — = у 3 (е — и)У вЂ” и — 2е. де эч Проводя ннтегрированке, получим: 2 ии ('Р 'Рв)— д (и — еа) у — (и+ 2ее) 1 () 2+ т'3)()с — (2еа+и)+ У вЂ” 3ее) 1' — Зез (У 2 — 1'3) ()с — (йе, + и) — )с':Зез) ' или '" " = (5+ 2 У'б) '-;--- ..'+ )' .. ='='-"й~: и). (10.34) 1' — эе„— )' — ("еа+ и) Если кинематический коэффициент вязкости очень мал, то левая часть бУлет достаточно велика пРи любом з;ычении Угла чР, отличном от ч)в. 146 точнов интзггиговлнив хвлвнвний гстлновившвгося двнжвння (гл. ш Чтобы при этом и правая часть (10.34) была также велика, необходимо и считать близким к ев Это означает, что в сходящемся течении в плоском конфузоре при больших числах Рейнольдса распределение скоростей по углу 3в будет почти равномерным, и лишь вблизи степки эта скорость будет быстро убывать до нуля (рнс.
40). Если бы жидкость считалась идеальной, то в случае стока на плоскости радиальнвя скорость представлялась бы в виде гг 24.. н, следовательно, и = го„= — — = сопа1 . (10.35) 2вв Ркс. 49. Сопоставляя этот результат с предше- ствующим заключением, мы приходим к выводу, что прн больших числах Рейнольдса вязкость проявляется лишь в тонком слое вблизи стенки. Рассматриваемое в этом параграфе плоское радиальное течение является простейшим частным случаем того точного решения дафференциальных уравнении лвижения вязкой жидкости, которое было впервые установлено Гамелем ') и затем обобщепо Озееном э) н Розенблаттоы с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
