Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 32
Текст из файла (страница 32)
При частичном учете квадратичных членов инерции по методу Озеена и прк сохранении первого и третьего предположений Ламб а) построил решение той же аадачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости. При отказе от третьего предположения область, занятая жидкостью, перестает быть односвязной. Возможность решения задачи о движении круглого цилиндра в ограниченной области при сохранении двух первых предположений была показана в ряде случаев.
Один из простейших случаев рассмотрен выше, в б 3, лругой случая †движен цилиндра между параллельными стенками — подробно исследован в работе Бэрстоу 4), а третий случай — поступательное движение шипа в подшипнике — рассмотрен в работе М. В.'Коровчинского а). Таким образом, на основании бнгармоннческого уравнения для функции тока можно реггать следующие задачи: 1) о вращении плоского контура в неограниченной жидкости, 2) внутренние задачи о течениях в односвявной области и 3) задачи о поступательном движении плоского контура в ограниченной области.
Для этих аадач и могут быть использованы методы теории функций комплексного переменного. ф б. Общее формулы для ре. ультнруюшего воздействия жндкостк нв ируглый цилиндр Установим ° общие формулы для результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости прн установившемся еа движении нз бесконечно длинный круглый цилиндр, имеющий поступательное двнженке н вращательное вокруг своей осн.
Относительно вида и расположения других возможных границ жидкости никаких предползжений делать пока пе будем. Вектор скорости центра сечения цнзпндрз плоскостью, параллельной пзоскостн движения жидкости, обозначим через (Г, а угловую скорость враще. ння — через и. В рассматриваемый момент времена г выберем полярную ось Ох в направлении вектора скорзсти (Г н полярный угол т будем отсчитывать против хода часовой стрелки (рис. 44). В полярных координатах граничные условна прплнпаная частиц жидкости з поверхности расСмагрнвземого цилиндра будут представляться в виде: при г в п„=(усозт, в = (у мит+йз. (5.1) так как равенства (5.1) будут выполняться прн любом значении угла т и ь) В авве 1, А 1геа1ме Нулгодупаюыз, т.
Н. з) Оз ее и, Нудгопупзщ(К, 1.е1рз(це 1927. з) Лаиб Г., Гнлродинамнка, Гвстехнзлзт, 1947, стр. 772. 4) В а! г з1о вп Ргос. Воу. Вес. сер. А, т. С, стр. 394, 19зз. ь) К о р о в ч и й с к н й М. В., Трение н износ в машинах, сб. У!, АН СССР, 1951, 5) овщин еогмулы для гизтльтигвющнго воздпйствня на цилиндг !71 при неизменном значении полярного радиуса, то нх можно лифференцировагь частным образом по у, после чего будем иметь: (. ).= ( ).= до,й Удое 1 — = — Уз~ну, — = — Усову. (5.2) ду .).
= (, ду ). Уравнение иесжимаемости жидкости (6.6) главы П в полярных координатах представляется в виде д „ о„ 1 до, — + — + — — = О. (5.3) дг г г ду Применяя уравнение несжимаемости (5.3) к частицам, непосредственно при- мыкающим к поверхности цилиндра, получим: и тт Используя условие (5.1) и вытекающие из него равенства (5.2), будем иметь: Ху ( д") = О.
(54) Смысл равенства (5Л) заключается а том, что радиальная скорость деформации частиц вязкой несжимаемой жидкости, примыкающих к самой поверхности цилиндра, равна нулю. Компоненты вектора-вихря на основании (8.!О) главы 1 будут представляться в виде 1 удо о„! дог! .„-О, -О,,- — ( — + — — ), (5,5) 2( дг г г де у' Рис. 44 Используя равенствз (55), (5.2) и (55) для эназения вихря на границе цилиндра, получим: 2 (е) = ( — У) + а. а (5,6) Компоненты напряжений в полярных координатах при плоско-параллельном движении вязкой несжииаемой жидкости иа основании (6.5) главы И представляются в виде дог у 1 до„доч от т Р = Р+2Р Рг =П~ — + — — — ), ГГ = д ' 'У (. д д уо„! до 1 = — Р+2н( — '+ — — ~).
(г г ду г'' (5.7) Если мы теперь возьмсм элементарную плон)алку на поверхности самого цилиндра и используем равенства (5.1), (5.2), (о.4), (5.6) и (5.7), то для нормальное ч касательной компонент получим следующие выражения: (Рж)а = (Р)а (Рте)а 2!з ((е)а О) 1 Таким образом, результируюцее возлействие вязкой несжимаемой жидкости из бесконечно длинный круглый цилиндр при 'его влоскоспараллельпом движении зависит от распределения давления н вихря вдоль поверхностн. самого 112 движение пви малых числах ввйнольдса. катод стокса (гл. т А — 4янпий + 2рез ~ (е)е г(т. (5.9) Проектируя компоненты напряжения (5.8) на пзправление х н перпендикулярное к нему, умножая полученные проекции нз злемеит дуги абе н интегрируя по т, получим следующие выражения для компонент главного вектора сил воздействия жидкости на рассматриваемый цилиндр: з з )ге= ] Ргяаят = а] ] — (Р)е сов т-2р(е)оз)па]бу, (5.10) эта = ] Р ЭЯГ(т =В ] ( — (Р)ами у+2Р(е)аСОЗЧ]лт.
э з Умножая второе равенство (5.10) на ( и складывая с первым, получим: )г +1))я = а ~ ( — р+2)рп)егтлф з (5.! 1) Будем считать движение вязкой несжимаемой жидкости установившимся н пренебрежбм квадратичными членэмн инерции. Тогда, как показано в б 2, фуккция тока будет удовлетворять бигармоническому уравнению м для давления и вихри будут иметь место следующие равенства; Р =2ПУ]Ф'(л) — Ф' (л)], ] = — (Ф'(я)+ Ф'(л)], Р— 2йьн ~ 4п!Ф'(л). ! (5.12) Постоянное слагземое в выражении дзвления опущено.
Используя последнее равенство (5.12) и учитывая, что на границе цп. линдра з = азат, бл = ле~т(бт, получим для вектора результирующего воздействия вязкой несжимаеиой жидкости иа круглый цилиндр выражение в комплексной форме !ге + 1)У, = — 41ь ~ Л (Ф (з)]. т (5.13) Правая часть получеимой формулы (5.13) совладает с правой частью формулы (2.13) дла вектора результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости иа произвольный замкнутый контур. Различие только в том, что формула (2.!3) установлена для поступательного двшкення произвольного контура, тогда как формула (5.!3) установлена лля плоско-параллельного движения, ио ие произвольного контура, а только круглого цилиндра.
.цилиндра. Заметим, что нрн выводе равенств (5.3) мы ие предползгалп движение жиакости установившимся и ие пренебрегзлк квадратичными чаенами инерции. Умножая касательное напряжение (5.5) на элементарную площадку и плечо, т. е. на множитель азбу н интегрируя по у, получим результирующий момент от сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр отиоснтельвп его осп в виде $ 5) овщив еогмтлы длв ввзультивующкго воэдвнствия на цилинде 173 Так как на поверхности самого цилиндра мм будем иметь; ляз+ттлл О, вяз= — ляг= — аэуяч, то формулу (5.9) для момента можно представить также в виде А = — 4яраэ()-(-2р( ~ (лФ'(л)яз — лФ'(л)яа) нлн ь = — 4лрац) + Вху ~ (хп (Ф (л)! мт (Ф (я))), (5.! 4) т Таким образом, результирующее воздействие вязкой ыесжнмаемой жидкости на круглмй цилиндр при его плоско-параллельном движении зависит только от вида той функции Ф(л) комплексного переменного, через которую предста.
влжотся давление ы вихрь при отбрасывании квздратнчнмх членов инерции. В $4 бмло показано, что при выполнении требования однозначности давления н скоростей фуйкция Ф (л) может иметь следующий внл: Ф (з) = Ф* (з) + (е + !5) !и (» — зэ) (5.15) где Ф* (з) представляет однозначную и голоморфиую функцию в той области, которая не вкаючает в себя других возможных границ, кроме коытура 1 рассматриваемого круглого цилиылра. Так как на основании (5.15) будем иметь: ) е [Ф(я)) = (а+!5) 2я(, то вектор результирующего воздействия жидкости нз цилиндр нз (5ЛЗ) будет представляться в виде )7 + !)Тв = вя (5 - уе). (5,16) Проведем окружность с центром на осн рассматриваемого цилиндра и в области, заключенной между втой окружностью н контуром цилиндра, разложим функцию Ф*(л) е ряд Лорана Ф*(з) = ~ а„х'". (5.17) СО Полагая з (5,15) за = О, получим из (5.15) и (5.17): Ф~(з) + г не з а+уй цч З В этом ряде положим: тогда будем иметм тюк Фг(азтт) + Й я тт + ~~) па„а" "тет!" 4)т.
а +чт е — 1~ гт ( ~~)ч „- „„т 4!ч мч 174 двнжвниа пти малых числах гвянольдсл. мктод отоксл (гл. Следовательно, вихрь на границе рассматриваемого цилиндра будет представляться в виде следующего ряда; + ч (н)д — — — (асозч+Рз1пч) — ~~~~~па" [аяе г(" ц"+аие '0' ')т).
(518) Умножая обе части равенства (5.18) на ду, интегрируя по углу т от 0 до 2я н подставляя результат в формулу (5.9), получим для результирующего момента й следующую формулу; 1 = — 4яназ (й + аг + ах). (5.19) Таким образом, результирующий момент сил воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр зависит только от козффнцнента того слагаемого в ряде Лорана (5.17), которое содержит комплексное переменное,з в первой степени. На основании формул (5.16) я (5.19) мы приходим к выводу, что для определения результирующего воздействия вязкой несжимаемой жидкости на круглый цилиндр прн его плоско-параллельном движении при отбрасывании квадратичных членов инерции нада: 1) после рещения бнгармоническаго уравнения для функции тока скорость представить в комплексной форме а+ (е= — 1(Ф(С)+(Ф'(()+Х'(()), (520) где 5 представляет комплексное переменное, начало которого может и не совпадать с началом комплексного переменного л; 2) входящую в (5.20) функцию Ф (ь) представить в виде Ф (л) = (а+ 15) 1п л+ ~~~~~ а лч; 3) значения коэФфициентов а, 5, ах н ах подставить в формулы (5.!6) н (5.19) ф 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
