Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1 со»0д ! агФ вЂ” ол соз О+ — о, з1п 0 — — — — (ог з!п 8) + — —. 17 г!аз аз 17 д!7» ' Учитывая граничные условия (7.6), получим: дв» Ъ 2!7 созга !7»1пгз со»0 ( -)- ( — 2(7 ып 8 соз О) + дФ) а а а ма 0 а а а На основании выражения (7.12) для функции тока будем иметь: ( — ).=--- — ) = — — (7 51пз О. дгф1, 1 дДг) 2 Следовательно, ( — ).= —. а»а 1 3 !7 — ) = — — — з!п'О. а»»») 2 а (7.16) Подинтегральное выражение (7.14) при использовании выражения для давления (7.!3) н для производной от осевой компоненты скорости (7.16) можно представить в виде ( ди» '1 3 1г — рсозО+р — ) = — — рзсозΠ— — р —. (7.16) а!7).
= 2 а' Результирующая от постоянного давления р по замкнутой поверх ности будет равна нулю, т. е. ) / соз865=0, Для определения результирующего сопротивления жидкости движению шара обратимся к общим формулам, установленным в 6 4. главы! И. В рассматриваемом нами случае интегральная формула для проекции Р, результирующего воздействия жидкости на шар представится в виде движвнив шзва в наогваничвнной жидкости 181 поэтому, подставляя выражение (7.16) в (7.14) н учитывая, что Цдо = 4 па', получим' (7.17) Рз = — бс!ьаК Равенство (7.17) представляет собой формулу Стокса для сопротивления шара при его движении в неограниченной вязкой жидкости.
Согласно этой формуле сопротивление движению шара пропорционально коэффициент> вязкости, радиусу шара и скорости движения в иврвод степени. Формула Стокса (7.!7) для сопротивлешш шара получена при условии озбрзсывания в уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости квадратичных членов инерции, поэтому она может считаться справедливой только при сравнительно малых значениях чисел Рейнольдса. Тем не менее, эта формула находит себе широкое применение. В частности, она широко используется в коллоидной химии, в молекулярной физике и метеорологии.
Польвуясь этой формулой, можно определять скорость осаждения мелких капель тумана, коллондных частиц, частиц нла и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (7.17) равнодействующей сил от гидростатического давления (архимедовой силе), получим следующую формулу для предельной скорости падения шарика малых размеров в вязкой жидкости; уш —.=-„-аэ г в и, (?.18) где р' представляет собой плотность вещества шарика, а р — плотность рассматриваемой жидкости. Формула Стокса используется также и для определения коэффициента вязкости сильно вязких жидкостей ').
Вискозиметр, основанный на принципе падения тяжЕлого шарика, состоит из трубки с делениями. Время падения шарика от одного фиксированного деления трубки до другого определяется секундомером. Найденное таким способом вначение скорости мозкно подставить в формулу (7.!8) и определить соответственное значение коэффициента вязкости. При более точном определении коэффициента вязкости на этом приборе необходимо учесть поправки на радиус трубки и на нестационарность движения шарика в жидкости. Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной жидкости обратим движение, т. е, на всю жидкость и на шар наложим поступательное движение в направлении, обратном движению шара, функция тока которого представляется в виде (7,!9) з) Г а т чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, стр.
52. 182 движвниа пеи малых числах ввйнольдсь. метод стокса [гл. ч то, складывая функцшо ф, с функцией ф(7.12), получим решение задачи об обтекании неподвижного шара неограниченным потоком вязкой жидкости: ф = — У з! и 0 гь —, й' — — ай -+ — ), /1: 3 аз! 'ь2 4 4!г)' /! За аль '! 2 414 4Я~) ' За аз! Оз — Уз!п 0 ! — — —— 4!7 4Дз) (7.20) Рис. 48. Рпс. 47. мулах (7.12) и (7.20) лля функции тока выражения з!пз0 имеет место симметрия линий тока по отношению к диаметральной плоско. сти, перпендикулярной к основной скорости движения.
Подставляя в выражение (7.20) для функции тока Й з1п 0 =- г, получим функцию тока в цилиндрических коорлинатах За азХ ф= — — иг (1 — — — + — ). 2 (, 2 17 2Ф)' (7.21) Используя соотношения (12.1) главы !Ч, получим выражения для компонент скорости в цилиндрических координатах 1дф 3 агат аз! о = — — — — ' = — У вЂ”. - (! -- — ), где 4 Ё (, Дм)' 1де Г 3 а аз! 3 агаl ... —.. и(1 —, -+ )+ — (г —,!1 е=-;д,= '( 2Л м) 4 1Зз(, На основании полученных решений (7.20) можно произвести сравнительную оценку поряака величин отбрасываемых квадратичных членов инерции по отношению к тем слагаемым, которые были сохранены в уравнениях движения.
Так, например, в дифференциальном уравнении, отвечающем сферическому радиусу К, было отброшено Примерный вид линий тока, отвечающих функции тока (7.20) относительного движения жилкости, показан на рис. 47. Линии тока, отвечающие абсолютному движению жилкости, прелставляемому функцией тока (7.12), показаны на рис. 48. Благодаря наличию в фор- ,В 7) движянив шлоь в няогоаничвнной жидкости 133 доч слагаемое род — , которое на основании (7.20) будет представляться дР ' в виде дол 3 соз'В г азсг 3 а авз ро — = — раУз — (1 — — ) ~1 — — — + — ). (7.23) д дх) 2 и (, Ф)1 2 А' А)' В этом же уравнении было сохранено слагаемое — —, обус- дВВ 17в з1п В дз ловленное вязкостью, которое на основании (7.3) и (7.13) будет равно и д770 до соз 0 да зш В дз д17 — ' = — = — ЗарУ вЂ”. (7.24) Составляя атно|пенне модулей левых и правых частей (7.23) и (7.24), получим: до, дР~ 1 ааУ Р (' за аз 2аз ав') дд 2 Н а 1 2Ф Дч Лз 217'У' — = — — — ( соз В111 — — — — + — — — 1.
(7.25) дР На основании полученного равенства (7.25) мы заключаем, что даже при Й= — '( 1 (7.26) порядок отбрасываемых квадратичных членов инерции мал по сравнению с сохрананными членами в уравнениях Стокса не во всех точках области, занятой жидкостью. Вблизи поверхности сферы выран0ение в скобке (7.25) обрашается в нуль, и поэтому отбрасывание квадратичных членов инерции в уравнениях движения до некоторой степени приближения может считаться справедливым, но на значительных расстояниях от сферы отбрасывание квадратичных членов с точки зрения проведенной оценки (7.25) нельзя считать вполне законным.
Обратим внимание на то, что высказанные заключения о возможности отбрасывания квадратичных членов инерции основаны на сравнительной оценке порядка лишь отдельных слагаемых, вычисленных после решения приближенных уравнений Стокса. Поэтому эти ааключения нельзя рассматривать как абсолютный критерий применимости приближенных уравнений Стокса. Критерием возможности использования приближенных уравнений Стокса могут служить только результаты эксперимента, ревультзты сравнения вычисленных значений, наприиер силы сопротивления шара, с результатами непосредственного еа измерения. На основании многочисленных экспериментов установлено, что формула Стокса (7.17) может считаться ааконной длв чисел рейнольдса, меньших половины.
гоэ движвнив пги малых числах овйнольдсл. метод стокса (гл. ч $8. Вращение шара в вязкой жидкости Приближенные дифференциальные уравнения Стокса установившегося движения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах соглзсно соотношениям (7.1) главы !Ч будут представляться в виде др / о 2 — т дг ' ( " гз гз дт l' др Г от 2 до„! ,— =р (бо — — + — „ де ( гт „з дт ) 1 г дл до„ог ! до до, — "+ — "+ — — '+ — ' == О.
дг г г дт да (8.1) Будем предполагать, что траектории всех частиц суть окружности с центрами на оси г, т. е. о„= — О, о,— О. (8.2) При этом предположении из уравнения яесжимаемости (8,!) будем иметь до —" =- О. дт (8.3) Если считать давление р не зависящим от тч то для единственной компоненты скорости о„ получим из (8.1) следуюг~ щее дифференциальное уравнение: при й=а от — — аг=аа яви (8.6) бог — —" ,= — О. (8.4) Учитывая выражение (6.12) главы П оператора Лапласа в сферических координатах и (8.3), дифференциальное уравнение (8.4) можно представить в виде дзо 2 до ! дзо дА~~+,9 д!3 + Д! дез + Рассмотрим теперь задачу о вращении шара в безграничной вязкой жидкости с постоянной угловой скоростью а вокруг оси а (рис.
49). Напишем условие прилипания частиц жидкости к поверхности шара: ВРАщвннв ШАРА В ВязкОЙ жидкости 185 й 8! Подставляя значение о из (8.8) в (8.5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение а'г 2 АУ 2 ,!!7З !Р «!р !Рь — + — — — — У= О. Решение етого уравнения представляется в виде Х С)7+ с (8.9) )Аля удовлетворения граничного условия (8.7) на бесконечности необходимо полоокитгп С, = О.
Используя граничное условие прилипання (8.6), получим: С =воз. Таким образом, решение рассматриваемой задачи о вращении шло* в неограниченной вязкой жидкости будет представляться в зиле вао о!и 0 ко (8.10) На основании (6.9) главы В и предположений (8.2) и (8.3) для касательных компонент напряжения будем иметь: до о Р до ° =-.Ы вЂ” Ь) "=;( —,' — "«8) Подставляя значение о из (8.10); получим: р =О, (р и)„= -Зов вп В, рто=О. (8.11) Лля вычисления результирующего момента сил сопротивления вращению шара в вязкой жидкости необходимо выражение (8.11) для (р в)„ умножить на злеиент поверхности аойпВо(Вс(р и на плечо относительно оси а з!п 0 и проинтегрировать по всей поверхности шара. В реаультате мы получим: У.„= ~ ~ (ртп)оааз!ВВВдВФо= = — бпрвао ~ ыпзВЫВ = — 8прваз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
