Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 37
Текст из файла (страница 37)
х) — дх. В силу предположения о сравнительно малом искривлении второй поверхности можно положить: да 51п (т, х) 1и(т, х)= —, соя (с, х) 1.. При таком предположении граничные условия на второй поверхности будут представляться. в виде дз дл при у=и(х, з) и=Уз — У л-, о=Уях--+Ую ш=б.
В предшествующем параграфе указывалось, что величяна скорости Уа ди должна быть малой величиной. Следовательно, произведение Уят- будет малой величиной второго порядка н им можно пренебречь. 31 диееаганпнальнов ггавивннв для ллвлзния в слов 199 при у = Ь (х, х) и = иа, о = $'я+ и~ 3-, те = О. (3,3) дл Используя граничные условна (3.2) и (З.З), получим: Са —— иы С =О, Са — О, С,= — —, хЬ+ — (и,— и), С,= — — —,Ь;1 1 ар 1 1 ар, (3,4) ь ияй+ г'з= — ~ Й+ а ) йу. (З,б) о Подставляя в (3.1) значения С„, См Сз, С~ н Сз нз (3.4), получим следующие выражения для скоростей: + — (и,— и) — — — (уь — у), У ! др Ь 2н дх — — (УЬ вЂ” у ) 1 др 2н дх и = и„ (З.б) Обратимся теперь к еше неиспользованному соотношению (3.5). Вынесем за знак интеграла в правой части произволные по х н х, но при этом учтйм, что верхний предел является переменным.
Учигывая условия (3,3), будем иметь; дн д Г дЬ д Г дл ох дх Ну = — и с(у — — (и)„= — ~ ис1У вЂ” и —, дх дх .! адх ' ды д Г да д Г 3 — пу= — ~ тп "У вЂ” у-(ш)ь= — 1 тл'(У о е Таким образом, соотношение (3.5) будет представляться в виде д Г д Г К =...— — ~ иду — — ) иду. дх Л ах д е о (л.у) Таким образом, граничные условие на второй поверхности будут Вйончательно представляться в виде 200 (гл. ю гидгодинлиичвская таогия смазки На основании равенств (З.б) булеи ииетэп 1 лэ др и пу=--,ул(ц+ ит) — —, о шву=в да лр 121х Зл ' 1 (з,а) Подставляя зти выражения в правую часть (3.7), получим следующее лифференциальное уравнение для давления: — '„(йф)+,~ (йа — ',~) = бр ~2К,+ —,'„" ((Г,+ и,)~.
(3.9) В это диюференциальное уравнение (3.9) входит величина д, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных к и з, Таким образом, в дифференциальном уравнении лля давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными.
Для определенности решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане нз плоскости хОл. Простейшим граничным условием будет условие, при котором давление считается на втой кривой известным и постоянным, т. е. )(х, у)=0, р=,зе — — сопя1. (3.10) ф 4. Сдавливанне слоя параллельными плоскостями Простейшим примером, в котором может быть использовзно дифференциальное уравнение (3.9) Рейнольдса для давления, служит эалача о сдавливании слоя параллельными плоскостями.
Пусть мы имеем две параллельные пластинки, имеющие в плане одну и ту же, но произвольную форму(рис. 53). )(опустим, что между пластинками находится кзкое-то вязкое вещество. Нианяя пластинка пусть будет неподвижной, а верхняя пусть перемещается Рис. 53 поступательно в направлении к ниж- ней; тогда находящееся между пластинками вязкое вещество буает выдавливаться в стороны. х)ля применения к рассматриваемой аадаче дифференциального уравнения (3.9) необходимо: 1) считать толщину л не зависящей от координат х, л, 2) положить У, и Уэ равными нулю и 3) изменить $4! од*вливание слоя плвлллвльными плоскостяии хй) знак скорости Ъ; иа обратный. В результате этих предположений получим для давления следующее дифференциальное уравнение Пуассона: дйр дзр 12НУ, длз + лая — лз На контуре Т, ограничивающем рассматриваемые пластинки в плоскости хОл, давление необхолнмо считать постоянным, т. е.
(4.2) на т р=рз. Сопоставляя постановку рассматриваемой задачи о славливании тонкого слоя вязкого вещества с постановкой задачи о прямолинейно- параллельном течении вязкой несжимаемой жидкости, изложенной в й 1 главы 1Ч, мы видим их полное формальное схолстзо. Следовательно, к для решения задачи о сдавливании слоя вязкого вещества в порялке аналогии можно привлекать те методы, которые используются для решения аадачи о вращении идеальной жидкости и кручении' призматического бруса.
В качестве примера рассмотрим пластинки эллиптической формы. Уравнение ограничивающего контура т будет, слелозательно, представляться в виде ля ла — + —,=. 1. а' ся (4.2) Булем искать решение уравнения Пуасс~~ч '4.1) в виде р=д~ — ", + — ', — 1)+В, где А, -  — произвольные постоянные. Подставляя это выражение дль давления в уравнение (4,1), получим: Таким образом, решение рассматриваемой залачи о сдавливании слоя вязкого вещества эллиптическими пластинками булет прелставляться в внле б, У, леся Гля ле р=р — — ' — ( — + — — 1).
Лз лз+ ~ ~лз ся (4.4) Полагая в этои решении ля+ля = гз, с=а, Используя граничное условие (4.2) н уравнение (4.3) контура, получим: В =- ро гидзодин*мичкскля ткотия смлакп (гл. ч! получим решение задачи о славливзнии слоя вязкого вещества круговыми пластинками р — ро= —,, (а — гз). ЗнУ, лз (4.3) 'г(а основании (4.5) заключаем, что давление в слое под круговой пластинкой булет распрелеляться по параболическому закону. Умножая левую и правую части (4,5) на плошаль элементарного кольца 2ягг(г и проводя интегрирование по всей площади круга, получим следующую формулу лля результирующего сопротивления сжатию кптговой пластинкой слоя вязкого вещества: 3 аз 2 ! заз (4.6) Таким образом, сопротивление слоя вязкого вещества пропорционально коэффициенту вязкости, скорости сжатия в первой степени, радиусу пластинки в четвбртой степени н обратно пропорционально кубу толщины слоя. Допустим, что перемещение еерхыеы горизонтальной пластинки происходит под действием веса неготорого груза ы веса самой пластинки.
Обо. знзчая общий вес через (;! и полагая ад Уз ш ' будем иметь следующее диффереыциальиое урааыеыне прямолинейного двп. жеыия нагруженной пластинки: () ЛУз 3 аз г(л — — ()+-2 ч — —. ас 2 Дз Ж ' (4. 7) Интегрируя уравнение (4.7) один рзз, получим; 3 аз — УЗ=О! — — ен — +СЬ 4 аз С, определим из начального условия: при Г=О Уз=О, 3=аз. Тогда для скорости перемещения нагруженной пластиныи получим выра- жение Ззнй Г! !Х Уз = а! аз ~,")' Зеп г ! ! Г = — аз ( 4(2 ( Лз Л,'Р Если предполагать скорость перемещения нагруженной пластыыып малой, то пз последнего уравнения (4.3) получим следую.ыую формулу зависимости времени сжатия слоя от ыеремеыной его толщины: й б1 слой смАзки между нлклониыми плАстинкАми 203 б 5.
Слой смазки меищу наклоннымн пластинками Пусть плоскость хОЛ перемещается в направлении оси х со скоростью и. На некотором расстоянии от этой плоскости поместим пластинку ограниченной длины, наклонанную под углом а ~У к. плоскости (рис. 54). Предполагаем, что область межлу плоскостью и пластинкой во ф все время движения плоскости х ааполнена змааочным, маслом. Ось у проведам через левый край пластинки, Обозначая Рнс. 54. толщину слоя у левого края пластинки через й,, у правого †чер й., а расстояние по оси х между этими краями через и, булем иметь лля толщины слоя й следующее уравнение: й = йт — Х 15 и = йд — - -А — х = й, — щх.
й — йл а (5.1) Будем считать, что в направлении оси х пластинка простирается в обе стороны до бесконечности, т. е. будем полагать лсе, характеристики движения частиц жидкости не зависящими от переменного л. т ранкчные условия. в рассматриваемой задаче будут иметь вид: и=и, о=о, при х=о р=ре, ~ (5.2) и=о, с=о, при х=а р=ре. при у =0 при у =-й Полагая в равенствах (3.6) и,=и, и,=о, =о, получим для скоростей частиц жидкости следующие выражения: и = и (1 — — ) — — — (уй — у-), ут 1 ир э й) 2Н их Г да о = — ~ — ду. дх е (5 3) формулой (4.9) можно пользоваться для приближенного определения козффнпиента вязкости,сильно вязких веществ.
Подвергая такое вещество сжатию под факсироеэйной Нагрузкой О между круглыми пластинками я определял необходимое время лля изменения толщины слоя от йе до какого-то значения й, мы можен затем вычислить ио формуле (4.9) коэффициент вязкости этого вещества. 294 (гл. щ гилголинлмичяскля таогия сиьаки В лифференииальном уравнении (3.9) для давления мы должны положнтгл ~;=о, и,=(), и,=о; лбР =о. Тогда и '("%=бр(Ут» После интегрированяя получим: (5.4) да Р =бр(уд+См (5,5) Тзк как на краях интервала переменного х давление принимает олно и то же значение, то в промежутке произволная от давления должна обращаться в нуль, Обозначим толщину слоя, отвечающую экстремальному значению давления, через й', т. е.
при Ь = й' Р = О. лз лл Тогда ив (б.5) будем иметь: (5.6) ЛР б, (1 Д~ Следовательно, уравнение лля давления примет вид (5.7) Проволя интегрирование, получим: Р= щ '(д 2дз)+Се йля определения постоянных Ь* и Се используем граничные условия (5.2) лля давления, которые теперь принимают вил Р=ре "=Дв Р=Ре. (5.8) При этих условиях 2Л Ь л~+л ' (5.9) От независимого переменного х в этом уравнении переидам к пере- менному Ь. Ив (5.1) имеем: б 5! слой смазки мвжду нАклОнными пллстинкАИК 205 Так как ))г~+йл л) 2ЬАЬЛ (А~+ ля)ч '> 45 дт то Л' 4Л,ЛА (л,+л,)- — (д,+~у г (5.11) (т) = !А! — ! = — — У вЂ” — Д вЂ”. гдит И ! ИР е 'Аду!е Л 2 д.г' Полставляя в это выражение значение — получим: ер де (т)е= — "л (4 — —,). (5.12) Подсчитаем теперь результирующее давление Р и результирующую силу вязкости на ту часть движущейся плоскости, которая находится' непосредственно пол пластинкой.
Для этого левые и правые части (5.10) и (5.12) умножнм иа лл дх = —— т и проинтегрируем от д, до йа. В результате получим; (р — р )г(Ь = — — "" 1!и — 2 '1, 6и() ~ ат дз — лг) — е -- — тл', и, и,+а,) А и, 1 (т)о йл = 1А2!и — — 3 — !. 2И(( l ле аз — ЛАА Π— т ~ Лг ~+ЛА!' 1 Р =-. т Р =. 1 т Обозначая «А Л2 и учитывая значение т из (5,!), получим следующие формулы для результирующего давления и реаультирующей силы трения: Р =. — ~2!ил — 3 Р 2И(г" (2 „д 3" — 11 Р.— „( ~2ИД вЂ” 3 (5.! 3) (5,14) Следовательно, сечение экстремального давления рдсполагается ближе к сечению наименьщей толщины слоя. Для силы вязкости на движущейся плоскости из (5.3) будем иметь: (гл, оз гидтодинлмичвскля таотия смазки Отношение модуля результирующей силы трения к модулю результи- рующего давления будет равно » — 1 2 !п» вЂ” 3 — (» — !) »+!»а ~!и» вЂ” 2 —, (5.! 5) Если предполагать, что наименьшая толщина слоя»а будет весьма малой величиной в сравнении с продольной протяжанностью а,слоя, то на основании (5.15) можно заключить, что результирующее давление намного будет превосходить результирующую силу трения от смазки.
Таким образом, основной вффент смазки при переееенной толщине слоя заключается в образовании поддерживающей силы, которая по порядку своей величины больше результирующей силы трения. Безразмерный коэффициент в выражении (5.13) для полдерживающей силы зависит от отношения наибольшей толщины слоя к наименьшей. Этот коэффициент обращается в нуль при» = 1 и» = со, следовательно, внутри этого интервала коэффициент поддерживающей силы будет иметь экстремальное значение. Беря производную от этого коэффициента н приравнивая еа нулю, получим трансцендентное уравнение »" + 5»з — 5» — 1 — 2» (»+ 1)э !п» = О. Приблизительное значение лействительного и положительного следующего после единицы корня этого уравнения равно Р= 0,16 — ',, Р= — 0,75 ~ — = 4,7 —.
!Р!»ь Р (5.16) Для определения точки приложения вектора реаультирующего давления полсчнтаем момент сил давлений относительно начала координат. Умножая левую и правую части (5,10) на яд = »'~ ( — ф) и провода интегрирование, получнмг 5 = — Р+ — ' — (1 — »)+ — !п»~ »т бн!7че Г 1 » гп ть »+! Прн этом значении коэффициента» формулы (5.13), (5.14) и (5.15) прелставятся в виде $ 5) слой смазки мвждт наклоннымн пластинками 202 Слеловательно, для координаты х центра лавлення будем иметь следующую формулу: Ь 1 !' 2В Ва — 1 — 2В )п В Р 2 ) Л вЂ” 1 (Ф вЂ” 1)!пв — 2(Л вЂ” 1)е~' При подстановке значения )е = 2,2 получнм: х = 0,5?а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
