Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В реальных условиях, конечно, будет задаваться на эксцентриситет шипа и подшипника, а величина нагрузки на вал, вращающийся в подшипниках. Поэтому значение параметра а должно определяться по формуле (6.24) при заданном значении левой части. Обозначая максимальное предельное значение параметра а через аа, т. е. а =1п(1+я), и считая величину и — отношение средней величины зазора к радиусу шипа — весьма малой, можно после ряда преобразований получить следующие приближенные формулы для результирующей силы н результирующего момента:, га а =-12пи -'-— Ьа (2 + «а) У"! — аа ' 1+ 2«а ). =- — 4а!ьУ вЂ” ' 3 (2+ад) 1 "1 — «а ' (6.26) где а — параметр Зоммерфельда, определяемый в общем случае по формуле (6.10), а при малых значениях Л вЂ” по формуле а= — —.
(6.27) ей 11, ' Случай Н, П. Петрова, рассмотренный в й 1, иы получим, если положим параметр а равным нулю, тогда Р=-О, (6.28) 6=- — 2вйи.ф. ~ Правая часть формулы (6.28) совпадает с правой частью формулы (1.8), если полагать в последней коэффициенты внешнего трения бесконечно бояьшими. $ У. Качение цилиндра по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества Допустим, что круглый цилиндр длины 1, радиуса )с и веса д совершает чистое качение по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества с коэффициентом вязкости !А (рис.
58). Выясним зависимость необходимой силы тяги (;! от указанных параметров цилиндра, а также от толщины слоя гт', коэффициента вязкости р и угловой скорости е, 5 7! качания цилиндгл по плоскости, поктытой вязким вкщвством 215 Применим к той части слоя АВСь), которая в рассматриваемый момент т будет нахолиться непосредственно пол цилиндром, приближенные уравнения (2.16) Рейнольдса др дэи р )х дуэ ' — =О, ду = ° ди дв — + — = О. дх ду (?.1) Толщину слоя в начале Рис. 58. координат, расположенном на одной вертикали с мгновенным центром качения К, обозначим через йш а толщийу на расстоянии х от начала — через Ь.
Эта толщина слоя как функция х будет представляться в виде Ь =- до+)~ — Уй' — х-'. (7.2) Обозначим абсциссы крайних точек слоя А и В через — а и Ь. Тогда обычные граничные условна прилипания и постоянства давления на краях слоя представятся в виде о =- О, при у=- О при у=д при х= — а при х=-Ь и=о, и = и(Ь вЂ” Ьэ) р=О, р=-О, (7.3) Решая первое уравнение (7.1) и используя граничные условия(7.3) для и, получим: в = — — (у — Ьу)+ му~! — — -1. 1 др до 1 2н дх л)' (7.4) Подставляя значение и из (7.4) в уравнение неразрывности (7.1) и учитывая граничные условия (7.3) для и, найдем: (х Ьэл + С) др бы дх Лэ (7.5) Выражение в скобках в правой части (7.5) может обратиться в нуль при двух значениях х.
Следовательно, в рассматриваемом нами слое давление может иметь два экстремальных значения, из которых одно будет минимальным, а второе — максимальным. А так как на краях слоя давление равно нулю, то наличие минимума давления в слое будет означать наличие отрицательных давлений внутри слоя. Избежать отрицательных давлений внутри слоя можно, если ввестн дополнительное граничное условие, позволяющее точку минимума (жь ю го гилеолинлмичасклн теония смазки ловле гворяя условию (7.6) и проводя интегрирование (7.5), получим челующее выражение лля лавлення: лз ! ат — хз р=. 6)ьа ~ [! -- —,—. - .
~ — „дх. (7.7' )'Рз — аз+ 1'гтз — хз — и роекции вектора результирующего лзвления слоя нз цилиндр и 5сцисса точки его приложения х, будут определяться формулаии ь рх дх уня — ц'! ! ~ рг(х, Рх == (7.8' асательная составляющая вектора напряжении на площадке, направяющие косинусы нормали которой — ! и ги, букет прелставляться виде Рги = Р,Р~ - — Рнн( =' (Р ~ — Рнн) !"ь+ Ран(жз — !л).
рассиатриваемом нами случае имеем: У'Рз=-хз . й' й (ги —, ю — Р:х 1 — — —,; х, 2хз Р' ди ди ди р — р и — — 21ь — — 2)ь — = 4р —, Н дх ду дх' леловательно, сила вязкости на поверхности цилинлра будет прел- гавляться в виде (ри)ь--)ь'(4 — -д — — (1 — =)(~~ + д )) . (7,9) ак как ( ди 1 дзр (уз Луз) 1 др ав, ивзуз дх д 2Н дхз(,3 2 ) 4Н дх дху+ 2вз ах' е авлений отнести на левый край слоя. Это лополнительное граничое условие булет иметь вил: при х= — а — =О. др дх (7 ли й 71 качение цнлиндгх по плоскости, покгытой вязким вглцастзом 217 то, подставляя это выражение и значение и из (?.4) в (7,9) и преаз а" небрегая выражениями, содержащими множители —,.
--; и т. д., ??з ' Рт получим для результирующей силы от касательных напряжений следующее приближенное выражение; ь л Га = ! ~ (Рн-.)ьг(х — Зим! ~~ — „— (! — 2 + —,) — 3"— |ггх. (7.10) Для момента сил трения относительно оси цилинлра приближенно будем иметь: ?. =- — )?Р„, (7,11) Полученные формулы (7.8), (7.10) и (7.11) содержат три заранее неизвестных параметра: а, Ь и Ье. Для их определения воспользуемся: а) вторым условием (7.3) для давления, б) условием равновесия силы веса цилиндра с результирующей силой от давления слоя и в) предпологкением о том, что слой в его левой точке наименее всего деформирован и поэтому толщину слоя здесь можно приравнять начальной толщине Н всего слон на плоскости.
Эти три условия могут быть представлены следующими равенствами: (7. ! 2) Исходя из уравнения равновесия сил н проекциях на ось х, получим неравенство для необходимой силы тяги !',Г,Р. — (Рл+ Р„.). (7.! 3! х Будем предполагать отношение — настолько мальш, что з выра- ?7 жениях, входящих под знак интегралов, можно будет положить; При таком предположении давление из (7.7) булет представляться формулой р = — ~~ — (2аз+ Зих — ха), (7.14) Первое из условий (7.12) приводит к уравнению (гч — ЗаЧ вЂ” 2аз = О, единственным положительныч корнем которого будет; Р=2а, 2! 8 (гл.
ч ~ гидгодннлмичзскля твогия смазки Полставляя значения р из (7.14) и Ь из (7.15) в (7.8) и (7.10), получим; 77Нл ' (7, 16) Входящая в выражения (7.16) неизвестная величина а должна определяться из второго условия (7.12), т. е. из уравнения н га" 9=13,5 —, Н' (7.17) () ..': 0,417 Я) ' -7-.
(7. 18) В последнем неравенстве коэффициент при — може~ рассматриваться Ч А' как коэффициент трения качения. Величина этого коэффициента, как это видно нз (7.18), убывает с уменьшением толщины слоя Н и веса единицы длины катка — н с увеличением р н еь причдм зависимость с от последних трех параметров значительно слабее, чем от толщины слои Н, В частности, при р= ос (абсолютно твердый слов) коэффициент трения качения булет равен нулю. Аналогично булет решаться задача й в том случае, когда цилиндр будет совершать не чистое ка шние, а чистое скольжение по вязкому слою.
В этом случае надо лишь изменить зтарыс граничные условия (7,3) на верхней границе рассматриваемого слоя, Рассмотренная задача характерна тем, что з ней используется дополнительное граничное условие для лзвления и продольная протяженность слоя считается неизвестной. 8 8. Элементарная гидродинамнческая аналогия прокатки При прокатке раскаленного металла происходит явления течения, которые з некотором отношении будут аналогичны явлениям течения очень вязкой жидкости. На эту аналогию впервые обратил внимание И.
В. Мещерский '). Приближенное решение соответственной гилро- динамической задачи было дано в монографии С. М. Тарга я). Это з) М е щ е р с к н й И. В., Гндродннзмнческзя аналогия прокатки, Известия Первого петрогр. полнтехн, нн-та, т. ХХЪ'111, 1919. з) 7 арг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех- пзлат, 1951, Если в неравенстве (7,13) мы отбросим результирующую силу трения Р,.
и подставим значение Р из (7.16) и значение а из (7.17), то получим: е ф 8! этементАРнля ГиаРодинлмичьскАЕ лнАлогия ИРОИАтки 219 решение строится с помощью прнближзнных »равнений Рейнольдса для слоя. Пусть два цилинлрических валка равных радиусов )с вращаются в разные стороны с постоянной угловой скоростью а.
Между поверхностями этих валков располагается прокатываемая полоса, имеющая до прокатки толщину 2НР, а после прокатки 2Н, (рис. 59). Переменная толщина 2Л полосы между валками будет представляться уравнением Л = Рс+ Н,— Р'Рсв — «в. (8.1) В силу наличия симметрии относительно оси х будем рассматривать только верхнюю половину слоя. Обозначая через а длину слоя под валками и принимая условие прилипания частиц ме. галла к поверхностям валков, будем в виде: Рнс. 59. иметь граничные условия ди — =-О, и=б, ду и = -а(!т+ Н,— д), у=о Р =-/! при при (8.2) Р=--О, р =. О.
при х.—.= и при ах =- ! — ду = — — ~ и ду + и (гс -(- Н вЂ” л) —, Гди д р дд .! ду дх,) дх ' откупа ь 2 ~ и ду — а (дз-- 2 (й-!- Н,) Л + хв! = сопл1. А Если в послелнее равенство поаставнть и ив (8.3) и использовать граничные условия (8.2) лля давления, то найдем: р(х) = Зра ~ (Ле — я-)- Н!) А+ С! —:.„-, р(и) =О.
Решая первое уравнение (7.1) и удовлетворяя граничкым условиям (8.2) для и, получим: — — ~~ (ут — йа) — (И+Н, — — д) 1 др (8.8) 11з уравнения неразрывности, учитывая граничные условия (8.2) дчя.и, будем иметь: 220 [гл. ч! ГИЛРОДИНЛМИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ СМЛЬКИ Полагая На — " 'й.- й. Л» ̈́— Н т= — — ж лх а получим из (8.4) слелующие приближенные равенства; На+ Н ! ! ̈́— Нт !!Е)' Пусть г,г — количество вещества, проходящее за единицу времени через сечение ААп С!г — количество вещества, которое прошло бы через это сечение за то же время, если бы все частицы двигались со скоростью, равной окружной скорости валков.
Тогда олеуелсением при прокатке называется ведичина )е, определяемая следующим отношением: (8.8) В рассматриваелшм случае будем имеюн и, !) — = — 2 ~ (гг)л, гту, Г>, == 2мйН,. а Вс,!и ввести обозначения Н Н г — ! + 2г,'5 г+! аа — ! и полставить значение р нз !8 5) и (8.3), то получим: 3 л~ Н! у (и) = -- мй) 1+ — —,', —,— ), ь) = 2мйН,(!+я!) Следовательно, опережение будет равно параметру во представляе- мому. послелней форму!ой (8.7), Раскладывая 1пт) в ряд и ограничиваясь в разложении первыми тремя членами, получим лля опережения приближенную формулу При прокатке горячего металла при температурах 700 — ш900' опытные значения опережения при 9=0,225 лежат в пределах 1 1 й 2 8ага' ~=1 2 Л 4 бо7а.
озозщвнныв тглвнвния гвйнольдсл для слоя 221 На основании же формулы (9.8) получаюгся следующие результаты: „1 11 д 35е,. т) 12 й 65о; м 9. Обобщйнные уравнении Рейнольдса для слоя В 9 2 бЫЛО унаЗаНО На ~О, ЧтО ИрнбЛИяГВИНГае ураВНЕНИя рсйнольдса для смазочного слоя совершенно не учитывают квадратичных членов инерции и частично учитывают слагаемые от вязкости. Благодаря эгим двум допущениям оказалось возможным сравнительно просто решать такие отдельные конкретные задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
