Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Вначале обратим движение, т. е. те,чй и всей л>идкости сообщим поступательное лвижение в направлении, обратном движе- нию тела. Лля обращенного движения возьмем, яапример, первое уравнение (1.!) в проекцинх на ось х; ди ди ди ди ! др — + и — + о — + ш — =- г" . - - — - + па.
де дх ду де ': дх Если бы не было тела, то в обращзнном дан>кении все частицы имели бы скорость (7. Благодаря нзлнчию тела произойдет дефор- мация потока, и частицы будут иметь у>хе другие скорости. Если размеры тела предполтать небольшнмк, то новая компонента ско- рости и будет отличаться от прежней (7 на малую величину, а две другие компоненты скорости будут вообще малыми. 11з атом осноди ванин в левой части (1.7) л>ажно в слагаел>ом и — заменить мно>кидх тель и на (7, а остальными слагаемыми пренебречь. Таким способом мы и получим чифференциальные уравнения (1.6).
Сопоставляя дифференциальные уравнения (1.6) с дифференциаль- ным уравнением Стокса (!А) главы Ч, мы приходим к заключению, что обобщенные уравнения С>полса, введбнные Озеенож, учитывают ли>иь частично квадратичные члены инерции. Если первой ступенью развития приближенных методов использова- ния дифференциа.чьных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифферен- циальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближенных мето- дов решения отдельных задач авил!ения вязкой несжимаемой жидкости. Свои соображения о целесообразности введения яовых уравне- ний вида (!.6) Озеен построил па основании сравнительной оцен- ки порядка величин отбрасываемых квалратичных членов инерции по отношению к порядку сохраняемых слагаемых от вязкости на примере решения задачи о движении шара.
В конце й 7 главы >7 было указано, что если считать число Рейнольдса меньшим единицы, то и тогда порядок величины отбрасываемых квадратичных членов инерции не может считаться всюду малым по сравнению с порядком величины слагаемых, зависящих от вязкости. В частности, на зна- чительных расстояниях от неподвижного шара порядок величины квадратичных членов инерции будет уже превышать порядок сохра- няемых в уравнениих слагаемых, зависящих от вязкости, причем наибольшие порядки величин на бесконечном удалении от шара ди до дт будут иметь как раз слагаемые и —, и — и и —.
Следовательно, дх' дх дх' сохраняя в левых частях уравнений эти слагаемые в приближзнной форме, мы тем самым несколько точнее оправдываем возможность отбрасывания остальных квадратичных членов инерции в бесконечно удалзнных точках потока, 226 движение при малых числах райнольлс*. матод озввкл (гл. ян 1) 2. Построение решений обобщйнных уравнений Стокса Для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости без учета действия массовых сил обобщенные уравнения Стокса (1.6) представятся в виде (2,1) Лифферен пируя первое уравнение (2.1) по х, второе — по у, третье — по г, складывая результаты и учитывая уравнение несжкмаемости, получим для давления дифференциальное уравнение Лапласа бр=о.
(2.2) Предположим, что вектор скорости У можно представить в виде сунны потенциального вектора и дополнительного вектора У = пгаб у+ Уя, (2.3) иринам потенциал скоростей у удовлетворяет уравнению Лапласа ду=о. (2.4) Подставляя значение и из (2.3) в первое уравнение (2.1), получим: —,'„(и —,"+ ~)+ и',~ =.д,, Так как потенциал скоростей представляет собой пока произвольную гармоническую функцию, а давление р также является гармонической функцией, то мы можем связать зтн две функции, по. пожив дт р= — рид .
(2.6) При этом предположении и при учете равенств (2.3) н (2 4) дифференциальные уравнения (2.!) представятся в виде и— ди дх д и~~ ди дх 1 др р дх = — — — +тпи, 1 др р ду = — — — -1- я оо, 1 др р дг ди дм + — + — = О. ду дг атею и— диг дх и— диз дх и— дог дх диз дх + — + — =о. дог дмз ду дг (2.6) ф 2) постгоанив гашений ововщяниых гвавнзний стокса 229 Введем обозначение 1 У 2Л" (2.7) Попытаемся удовлетворить дифференциальным уравнениям (2.6), по- лагая 1 д д« 2Я ду' 1 д« 2а дз' (2.8) Подставляя выражения (2.8) в трн последних уравнения (2.6), получим: д / ! д«! 1 — ! из — — = 1+ — ЬХ = О. дх! Я 2Л дх) 2а (2.9) Пусть функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению о«=0 д«! дх 2Л (2.10) При таком предположении первые дза уравнения (2.9) будут удовлетворяться тождественно, а иа последнего получим: — (и — -2я — «+ Х) = О.
Этому уравнению мы удовлетворим тождественно, если положим: из —— — «+в 1 д« 2Л дх' (2.1 1) ! д« дт — у+ — — -)— 2» дк дх' ! д«дт 2Л ду г ду 1 д« дт — — +— 2Я дз дг ' дт — рУ вЂ”, дх ' (2,12) При таком представлении скорости иа первое уравнение (2,6) будет также тождественно удовлетворяться в силу уравнения (2.10). Таким образом, для некоторых случаев установившегося дание. иия вязкой несжимаемой жидкости без учета массовых сил решения обобщенных лифференциальных уравнений Стокса можно представить в анде 230 движвнив пги малых числлх гвйнольдсл.
метод озввнл (гл, чн йг , лч .,', Ьч.('=о, — — + — =О. 1 дт дт 2Л дз дз (2.!4) В силу условий (2.14) компоненты вихри (2,!3) на поверхности 5 будут равны (г Дв !) лч дд ' 2а (2,16) Б й 4 главы !11 было показано,, чго главный вектор аш воздействия вязкой янсжимаемой жидкости на неподвижное тело при плоско- параллельном и осесимметричном ее движениях представляется в виде Р = ( ) ( — р! + 2ра.гз) л5, (2.16) тле (, — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, (в в единичный вектор касательной к поверхносги 5 в плоскости движения частиц жидкости и и.
— компонента вихря, перпендикулнрная к плоскости дви>кещш, где функция ф удовлегворяет дифференциальному уравнению Лапласа (2.4), а функция у удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.10). Компоненты вихря на основании (2.!2) будут иметь вид э 2(дл дл) 2 да' ' 1!а основании раненств (2.13) мы приходим к тому заключению, что решения в форме (2.12) могут иметь место лишь тогда, когда все вихревые линии располагаются в плоскостях, перпендикулярных к скорости нотокз на бесконечности, Для плоско-параллельного н осесимметрнчного дви'кения жидкости как раз такое положение вихрей и имеет несэо, Следовательно, для этих видов движения вязкой несжимаемой жидкости можно строить решения обобщенных уравнений Стокса (2.1) в форме (2,12).
Условия прилнпания частиц жидкости к поверхности 5, ограниченной контуром у неподвшкного тела, запишутся следующим образом. З 2) посттовнив гашений оаовщйнных теьвнений стокса 231 движения вязкой жилкости булем 1(ля тлоско-параллельного иь ть из (2.15): дт дг — 0; на 7: УР дт ки = из = 2Р ду' (2.17) у =- г соз ж л = г з1п т; 1 ду дх — = соз т, — = з!и з, дг ' дг (2.20) то из (2.19) и (2.15) получим: (и) = — — ~ — — + — — )= — — —, У /дт дх дт ду1 У дт «Л 2з1дл дг дудг) 2лдг' (2.2!) Таким образом, главный вектор сил воздействия (2,16) на непо.
лвижное тело при осесимиетричном движении вязкой несжимаемой живности равен )2=рай ~ ~ ф(,— ф(.,)д5. (2.22) Так как на основании рис. 62 ду дх и„= "исоа в+ю яп е = од — +твд —, дг дг' то, подставляя сюлз значения о н ю из (2.!2), получим: и = — =+ —, 1 дк дт 2л дг дг' Таким образом, лля осесимметричного движения вязкой несжимаемой жилкости компоненты скоростей булут: 1 дХ где .+2л дх+дх' 1 дк дт г+ г' 2а дг дг' (2.23) позтому, используя выражение (2.5) лля давления, получим из (2.16) и (2.17) следующую фориулу для глав. ного вектора сил воздействия на плоскмй неподвижный контур И=р(7 ~ (д — '(,— ~ Ез)пж (2.13) т г ьа- Р ° .*,.
Б,-".: из — и„= — м„мп а+ и, соа а, (2,19) Рпс. 62. гле в — полярный угол в плоскости уОл (рис. 62). Так как кдм лвижвнив пги мллык числах еайнольлсв, мвтод озвзнл [гл. чп Обратиися теперь Полагая к дифференциальному уравнению (2.10) у = е" У(х, у, з) (2.24) будем иметь: ду l дкт — = ~де+ — )еь', иу =е и ау+ 2дееиит-+йэеьг)'. дУ дх 1 дхе Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, е дифференциальное уравнение (2.!0) при подстановке (2.24) приводится к симметричному уравнению Гельмгольца ДУ вЂ” дву= О, (2.25) $3.
Проникание пластинки в вязкую среду (3.2) (3.3) Рассмотрим вначале простейший пример использования обобщенных уравнений Стокса, Пусть вязкая несжимаемая среда заполннет полупространство вниз от неподвижной оси О,у„(рис. 63). В эту среду с момента х Е = 0 начинает врезаться тонкая "1 пластинка с постоянной скоростью У. Введем связанные с пластинкой подвижные оси координат, начало которых нахолнтся у края пластинки, а положительное направление оси х идат вверх и совпадает с направ- /Г г', ,ф,ф пением самой пластинки. Полные уравнения абсолютного движения вяакой жидкости по отногнению к подвижным осям представятся Рис, 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
