Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Чаплыгиным. ф 2. Приближйнные уравнения Рейнольдса дли смазочного слоя Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в тонком слое между приблизительно параллельными поверхностями, радиусы кривизн которых достаточно велики по сравнению со средней толщиной слоя 3 (рис. 32). Пренебрегая кривизной первой поверхности, обозначим: через к криволинейную координату, отсчитываемую вдоль пер- т вой поверхности в йаправлении ско- гй рости У точек этой поверхности, через л криволинейную координату, от- У считываемую также вдоль этой поверхности, но в направлении, перпендикулярном к указанной скорости 1/м и Рис. 32. через у координату, отсчитываемую по нормали к рассматриваемой поверхности.
Проекции вектора скорости точек второй поверхности на касательную и на нормаль к этой поверхности обозначим через Уэ и )г. Чтобы средняя толщина слоя оставалась малой во все время движения, необходимо положить поперечную скорость Уэ весьма малой по сравнению со скоростью У,, Обозначим отношение этих двух скоростей через з, т е. (2,!) Пусть !обозначает среднее значение радиусов кривизн раэсматриваемых поверхностей. На основании указанного выше предположения толщина слоя 3 должна считаться малой по сравнению со средним радиусом кривизн !.
Отношение этих величин также обозначим через е: (2,2) Если предполагать движение вязкой несжимаелюй жидкости установившимся и пренебрегать действием массовых сил, то дифференциальные уравнения переноса количества движения (2,13) главы !! гидводйнамнчяская твовия смазки (гл. ш 194 в проекциях на введенные прямолинейные осн координат предста- вятся в виде — (Ри рия)+ Г(Р р )+д — (Р— р ) = О а д д д д д о- (Р— р им)+ — (Р— роз) + — (Р,„— ршо) — О, — (),— р )+ — (Р„,— ро~)+ а ()»„— р ) = О. а д а (2.3) К зтим уравнениям присоединим уравнение несжимаемости — + — + — =О ди до дм дх ду д* и соотношения, выражающие обобщенную гипотезу Ньютона: ди Гдо дит Рах= Р+21" а Рго=1 ~д + д до Гдм аот Ров — — — Р+ 2р 3 — ~ Роз — — р 1 д + дз ), Р+ 1 ах ' Р™ Р(ах + дх)' (2.4) (2.5) (2,7) — — = 1.
Уз Г и, е Полученное равенство оправдывает наше предположение (2.2) о том, что порядок отношения скоростей — совпадает с порядком отноУз и, щения толщины слоя к величине среднего радиуса кривизны рас- сматриваем ых поверхностей. Характерное число Рейнольдса введем следующим образом; гг11 я= — „° (2.8) Вместо размерных коорлпнат и скоростей введем безразмерные с учвтом того, что порядок копрдинаты и скорости в направлении нормали к первей поверхности мал по сравнению с порядком координат н' скоростей в других направлениях; х=гхы у=суп я=)ям и = У,иг о = Узоы ш =У шо ) (2.6) Подставляя зги выражения координат и скоростей в уравнение (2.4) несжимаемости, получим: ди, Уз Г до, дюг — + — — — +- — =О.
дх, и, Е ду, ал, = Если предполагать, что все слагаемые в полученном уравнении несжимаемости будут иметь один и тот же порядок величины, то необходимо положитьч пвивлижвнныв ввлвнвния ввинольдсь лля смазочного слоя 196 (2.9) Соотношения (2.5), выражающие обобщенную гипотезу Ньютона, в беаразмерных величинах будут представляться в виде (2,10) Подставляя в уравнения движения (2.3) значения координат и ско- ростей (2,6) н напряжений (2.10), получим: д г б-~ — р +йее — — Йееие)+9 — ~ — +еа — — Клея о )+ де~ е ет д удиг дщ д ~ (д + Л т т)~+д ( р"+ д "е)+ ~1 (2.1 1) При рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости между параллельными стенками в $3 главы 1Ч было установлено, что соеднгя скооость частиц жидкости прямо поопооцнональна перепаду давления и квадоату расстояния между стенками н ооратно пропорциональна коэффьнееегу вязкости.
Следовательно, величина самого лаваення будет находиться в обратной зависимости от квадрата толщины слоя жидкости между стенками. Чтобы зто учесть, заменим размерное давление р через безраамерное р, следующим образом: гидРОДЕИАмическАя теОРия смАзки !гл, ч! 196 1 й — — ° е (2.12) При этом предположении сохраним в соотношениях (2.10) и в уравнениях (2.11) лишь слагаемые, имеющие наибольший порядок величины. Тогда соотношения, выражающие гипотеау Ньютона, предста. вятся в виде ~~а 'е ри,' Рии = РЫ е Р()з, рт,= — —,ры (2.13) а ди, р,„=рП, д', з Гдиг дге,! г 'чдщ+ дкг!' е дмг Рви= Р()г3 —, У На основании полученных равенств (2.13) заключаем, что в тонком смазочном слое наибольшим по своему порядку нипряжением будет напряжение давления. Из касательных напряжений наибольшими по своему порядку будут те компоненты напряжений, которые развиваются на площадках, перпендикулярных к оси у, т.
е, на площадках, приблизительно параллельных ограничивающим поверхностям. Дифференциальные уравнения (2.!1) при использовании (2.12) и сохранении слагаемых, не содержащих в качестве множителя параметр -, принимают следующий вид: (2.14) На основания второго уравнения (2.14) мы заключаем, что е тонком смазочном слое давление не изменяется по толщине слоя. Возвращаясь в соотношениях (2.!3) и уравнениях (2.14) к размерным величинам и присоединяя к ннм уравнение несжимаемости, Полученные дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в тонком слое содержат два безраамерных параметра в и гч. Параметр е, представляющий собой отношение толщины слоя к среднему радиусу кривизны поверхностей, считается заведомо малой величиной, а 1ч мовкет и не быть малой.
Теперь примем, что число Рейнольдса по своему порядку обратно пропорционально значению параметра г в первой степени, т. е. 3) диежвтвнцилльнои ттхвнвнив для давления в слоя 197 получим: Р = — Р дж /ди дсе( (2.16) ' Е' 1 ду ' Рев 1 (,де+ дх,)' ) Р =Ряв= да Рие 1 ду' др дхи д-.= Г1 =О, др У др дэи ое Р 63' да до дсе — + — + — = О. дх ду де (2.16) Дифференциальные уравнения (2.11) при подстановке (2.12) будут содержать только один малый параметр е. Решения втой системы дифференциальных уравнений можно представить в виде рядов по степеням этого параметра. Тогла этв система уравнений вместе с уравнением несжнмаемостн разобьвтся иа последовательность отпепьных систем уравнений.
Первой системой этой последовательности будут уравнения Рейнольдсэ (2.14), второй же системой будут те уравнения, которые были использованы Л. С. Лейбензоном с) лли вычисления первой попрэвкн на учат квадратичных членов инерции. ф 3. Дифференциальное уравнение для давления в слое Дифференциальные уравнения (2.16) разрешаются весьма просто относительно скоростей. Так как давление не зависит от у, то в перлом и третьем уравнениях можно провести интегрирование по переменному у.
Интегрирование по переменному у можно провести н в уравнении несжимаемости. В результате этих интегрирований ') Л ей бе н во н Л. С., Второе приближение з теории О. Рейнольдса, сборник «Гидродннамическзя теория смвзкнь, ГТТИ, 1934, стр. 557; Слб з к ни Н. А., К воврасу об уточнении решейнй уравнений Рейнольхса, ДАН СССР, т. (.(Ч, )а 2, 1946. Полученные дифференциальные уравнения (2.16) носят название дифференциальных уравнений Рейнольдса для смазочного слоя. Сопо.
ставляя зти уравнения с полными дифференциальными уравнениями устанознвшегосн движения несжимаемой вязкой жидкости, мы видим, что для перехода от полных уравнениИ к уравнениям (2.!6) должны быть отброшены не только все квадратичные члены инерции, но и часть слагаемых, обусловленных вязкостью. Таким образом, диффе'ренциальные УРавнения Рейнольдса совершенно не учнтываз1 квадратичных членов инерции и лишь частично учитывают слагаемые от вязкости. (гл. чъ гидгодинлмичвскья твогия смазки ны получим следующие равенства для скоростей: и = — д — уз+ С,у+ Са, 1 др = )- —,у'+С у+Си 1 др о = — ~ ( — +-~-) Ыу+ Сь. д (ЗП) Входящие в этн равенства С,, Сз, Сз, С и С в общем случае могут считаться функциями переменных х и х. Установим граничные условия для скоростей. По нашему предположению точки первой поверхности имеют скорость У, только в направлении оси х, т.
е. граничные условия на первой поверхности будут представляться в виде и=.У,, о=О, ш.=б. (3.2) при у=О Точки второй поверхности имеют скорости У по касательной н Уя по нормали. Проектируя этн скорости на оси х и у и обозначая переменную толщину слоя через й, получим: прн у=и(х, л) и Узсоя(т, х) — Узз(п(т, х), о=У,зш(т, х)+Уясня(с, х), ш=О. Тангенс угла наклона касательной т ко второй поверхности к оси х будет представляться в виде ди 18(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
