Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Движение жидкости в плоском диффуаоре Плоско-параллельное радиальное движение вязкой жидкости было рассмотрено нами в 6 10 главы 1Ч без отбрасывания квадратичных членов инерции. Теперь же мы рассмотрим это движение беа учбта квадратичных членов инерции, т. е. на основе бигармонического уравде пения. Пусть иы имеем плоский диффузор (рис. 45). Движение жидкости в диффузоре буден предполагать установившинся и строго радиальным, т. е. о = — — им О.
(6.1) дф дг Рнс. 45. Обозначим половину угла раствора днффувора через.ро. При указанных выше предположенияй рассматриваемая задача сводится 6! движинив жидкости в плоском диеетаога г решению бигармонического уравнения Ддф=О зри следующих граничных условиях: (6,2) и = — — =О, 1 дф г дт ф= О, при 9 — — 9о при о=О "рн т — 'те (6.3) 1 2 .де !) представляет собой величину расхода жидкости через каждое ;еченке диффувора. На основании предположения (6.!) функция тока ф не будет зависеть от радиуса, поэтому Дф— 1 Фф гз Итз ' б Фф 2Фф 1лчф ддф= — —,— — — + — —.
гз Лтз В дтз гз Л14 ' Гакнм образом, в рассматриваемом случае бигармоническое уравне- ние (6,2) сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению: А+С=О,  — 2Сяп 2фе+ 2В сов 2фо — — О, В+ 2С з!и 2фо+ 2В сов 2фо — — О, А +Вфо+ С сов 2фз+ О з!и 2фо —— — ф. 1 ° тсюда С=О, А=О, О -Е. 1 1 2 з!п 2тз — 2тз соз 2гз' 1 О 2соз21з 2 з!в 2гз — 2гз оз 2тз' (6А) дта дтз Общее решение дифференциального уравнения (6А) будет представляться в виде ф = А+Вэ+С сов 2ф+!) з1п 2ф.
Обращаясь к граничным условиям (6.3), получим для определения постоянных уравнения !76 движаниа пгн малых числах геннольдсл, мвтод стокса 1гл. т Таким образом, функция тока и радиальная скорость будут пред. ставляться в виде 1 эщ 24 — 2т ссе 2то ф 2 мп ЗГ4 2те соэ 2то' Е сов 2т — соз 2тэ г зщйте 2тасоа2то (б,о) Так как 4В .
Г 4ГГ1 Ьф= — — мп 2р = 1гп ~ — 1, то на основании соотношения (2.9) получим для давления; (6.6) Полагая в этих формулах " = гТо у=гт получим: огне щз (пэ у )' зе (6.7) Первач иа формул (6.6) представляет собой скорость ламинарного движения жидкости между двумя параллельными неподвижными Сопоставляя полученные формулы (6,6) и (6.6) с формулами (1О.З) и (10.7) главы!У, мы заключаем, что как при сохранении квадратичных членов инерции, так н при их отбрасывании завнсньншти радиальной скорости и давления при движении жидкости в плоском диффузоре от расстояния г от вершины диффуэора остаются одними и теми же, меняются лишь завнскмости этих величин от полярного угла е. Переход от чисто расходящегося течения к чисто сходящемуся в формулах (6.6) и (6.6) можно осуществить только изменением знака величины расхода Е.
Таким образом, при приближенном решении задачи о плоско-параллельном радиальном течении вязкой жидкости принципиальные различия между райходящимся и схолящкмся течениями, которые были обнаружены при точном рассмотрении этой задачи в 6 1О главы 1Ч, обнаружить уже не удаатся, Считая угол вэ малым и проводя разложение сов2Т, соаэве с точностью до членов третьей степени включительно, получим для скорости и перепада давления следующие приближенные формулы: зе т~ — ч' 4г та ЗЛ ЗНЕ 1-йтз дг 2гэ 7 7) движении ШАРА в нвоггьничвнной жидкости 177 :генками.
Таким образом, при малых углах раствора плоского лиффуаора и при условии, что можно пренебрегать квадратичными члезами инерции, распределение радиальных скоростей по круговому сечению будет весьма близко к параболическому. Формула же (6.8) яля перепала давления укааывает на то, что при почти параболическом распределении радиальной скорости по круговоиу сечению в плоском диффузоре давление всв же будет изменяться не только зт сечения к сечению, как это имеет место при движении между параллельными стенками, но и вдоль самого сечения.
ф 7. Движение шара в неограниченной жидкости ВВ„=О, (7, 1) где  — оператор Стокса, представляемый з сферических координатах в виде (7.2) При зтих предположениях лавление будет определяться на основании (12,4) главы 1Ч из уравнений (7.3) а проекции вектора скорости будут представляться следующими ра- енствами: 1 дф ДРз1лз дз ду' о,= — — '-' — ° згз1л З д17' (7.4) Рассмотрим задачу о прямолинейном поступательном движении шара в неограниченной вязкой жидкости с постоянной скоростью К параллельной осн л (рис.
46). Прелполагая: 1) жидкость несжимаемой, 2) движение жилкости установившимся и осесимметричным, т. е. ду' р=сопз1, — =О, о О, де двп дв, — — О, — '=О, дт ' дт н 3) пренебрегая действием массовых Рис. 46. сил,и квалратичными членами инерции, получим нз (12.5) главы !Ч дифференциальное уравнение для функции тока 178 движения пеи малых числах езинольдсл. метод стокса [гл, и При осесимметричном движении компоненты вихря на основании (8.12) главы 1 будут представляться в виде 7 дед а ми=О, и = — — [ — — — (йоз), мз — О, 2й[ аз ай Из этих выражений следует, что вихревые линии будут представлять собоп окружности с центрами на оси симметрии. Величина вихря через функцию тока будет представляться в виде 1 (7.5) При решении задачи о поступательном лвижении шара булем принимать условие прилипания к поверхности 1 дф йаз>па дз ! дв о,= —, — = — уз!по. йз>п З дй Кроме того, положим, что на бесконечности обе составляющие скорости обратятся в нуль: при й -+ со пв -+ О, о, -+ О.
(7.7) Вид граничных условий (7.6) указывает на возможность искать решения дифференциального уравнения (7.1) в виде ф = з!п> ВР(й). (7.8) У>итывая выражение (7.2) оператора Стокса, получим: Пф= з!пе В(Г" — — Г) = з!па 87(й). (7.9) Вычисляя еще раз оператор Стокса и обращаясь к дифференциальному уравнению (7.1), получим обыкновенное уравнение для функции 7 7" — — / = О.
! йз Проверкой можно убедиться, что обв>ее решение этого уравнения имеет вид 1= Айе+ —. й' Подставляя значение 7' в (7.9), получим: уж — — Г= Айз+ —. (7.10) Составляя решение полученного дифференциального уравнения (7,10) лля Р из общего решения однородного уравнения и частных реше- 3 7! движение ш*тз в нвогганичвнной жидкости 179 ннй, отвечающих каждому слагаемому правой части (7.10), получим: Г(й) = — йз — — Вй+ Сйз+ —.
10 2 й ' Чтобы удовлетворить условиям (7.7) на бесконечности, необходимо положить; А=О, С=О. Используя граничные условия (7.0), получим уравнения В 2Р— — — = — У, а аз  Р— + — = — и, 2а аз Из этих уравнений будем иметь: В = — — Уа, Р= — — Уав. 3 1 2 ' 4 Подставляя найденные значения всех постоянных в (7.11), получим решения рассиатрнваемой задачи для функции тока и скоростей в виде 1 . г аз! 6 = — У мпа 0 ~Зай — — ), — — тй) 1 /За аз! он —.— —, Усов 0~ — — — з), 2 '!й й)' 1 . /За аз! о,=-- — -из!по( — -) — ). '(й йз ) (7.12) Так как оператор Стокса от функции тока равен В а! па В й то из уравнения (7.3) будем иметь; др =- рВ(2 сов 0 — + ' ) = — рВН( — ').
Следовательно, лла давления будет иметь место следующая формула: 3 созе зо )зз+ 2 аРУ у (7.13) Таким образом, для функции тока и компонент скорости будем иметь: ф = з1пз О1 — Ай! — — Вй+ Сйз+ — ), г 1 1 Р! 110 2 й) он= . — = 2 сов 0 ~ — Айя — — +2С+ — ), (7,11) В Р ! йзз!п 0 да 110 2й йз ) 1 дт . /2 з В Р!. оз — — — — — з|п 01 — Айз — — + 2С вЂ” — ) ' йз!па дй (,5 2й йз) 180 движзнив пги мллых числах твйнольдсз. мвтод стокса (гл. ч Р» — ~ ~ ( — рсоз 0+1» — )йо, (7.14) где и» вЂ составляющ вектора скорости, параллельная оси симметрии. Для этой составляющей скорости н ев производной по радиусу К будем ивет»с 1 а») со»0 1 дь »в = опсоз 8 — о» ми 0 = — —.—.+ —— =д аз Мпз 17 а!7 2 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
