Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Такнм образом, точка приложения экстремального результирующего давления располагается вблизи середины рассматриваемого слоя несколько ближе к его узкой части. На основании (5.3) распределение основной компоненты скорости и по отдельным сечениям слоя будет примерно представляться так, как показано на рнс.
55. Отсюда заключаем, что благодаря Рнс. 5о. наклону верхней пластинки прнмыкающан к ней смазка в точках, расположенных слева от сечения с экстремальным давлением, отжнмается в сторону, обратную лвнженню нижней плоскости. Это обстоятельство будет уменьшать ло некоторой степени воэможность раарыва смазочного слоя, возможность оголения движущейся плоскости от смазки. Таким образом, второй основной эффект смазки при переменной толщине слоя заключается е создании предпосылок и непрерывности смазки деизнущейси поверхности. Заметим, что если лвнжение плоскости будет происходить не в сторону узкой части слоя, а в сторону его широкой части, то во всех формулах, содержащих множитель К необходимо его знак нзменить на обратный.
В результате такого лвнження будет развиваться не подлержнвающая сила, стремяшаяся удалить пластин' от плоскости, а обратная сила, стремящаяся пластинку прижать к плоскости. Полученные выше результаты могут быть использованы лля качественного объяснения основного эффекта смазки прн вращении шипа в подшипнике. Пусть нагрузка на горизонтальный вал, вращающийся в подшипниках, направлена по вертикали. Ло вращення вала его шнп будет касаться поверхности вкладыша подшипника 208 гндтолиньмнческья теоеия смазки (гл. ш в нижней точке (рис. 56,а), Посмотрим, что булет пронсхолить в первые моменты вращения шипа. Область между поверхностями шипа и подшипника разделим на две равные части 1 и 11.
В первой !асти движение поверхности шипа булет пронсхолить в сторону широкой части слоя, поэтому результирующее давление Р на шип будет направлено от шипа к подшипнику. Во второй части, наоборот, резудьтирующая сил давления будет направлена от подшип- вг а1 Рнс. 56. ника к шипу (рис. 66, б). Так как обе эти силы ие уравновешиваются нагрузкой, то шип под лействием их будет смещаться вправо. Это смещение булет происходить до тех пор, пока направление результирующего лавления на шип не булет противоположным направлению вектора внешней нагрузки.
Такое уравновешиванне внешней нагрузки результирующим давлением может произойти тогда, когла линия (аб) наименьшего зазора межлу поверхностями шипа и полшипника станет приблизительно горизонтальной (рис. 56, в). Таким образом, при установившемся движении шипа в подшипнике линия наименьшего зазора между ними смещается в сторону вращения шипа и располагается приблизительно перпендикулярно гс направлению вектора внешний нагрузки на шип.
В 6. Теория Н. В. Жуковского и С. А. Чдплыгииаг) В предшествующих параграфах была развита гидролннамическая еория смазки на основе тех уравнений, которые могут быть получены из общих уравнений гидродинзмики вязкой несжимаемой жидкости с помощью отбрасывания: 1) всех инерционных членов и 2) некоторых слагаемых, обусловленных вязкостью. Гнлролинамическая теория трения в полшипниках с учетом всех слагаемых от вязкости и при отбрасывании всех инерционных членов, т. е. на основе бигармонического уравнения лля функции тока, была подробно развита г) Жуковский Н.
Е. и Чаплыгин С. Л., О тренин смазочного слоя между шипом н подшипникоч (Н. Е. Ж у к о в с н н Я, Собр. соч., г. !!1, !949). ф 6) ТЕОРИЯ Н. Е, ЖУКОВСКОГО И С. А. ЧАПЛЫГИНА 209 ЬЬф = О. (6.1) Вводим бипо:шрные координаты (рнс. 67) 1Г х +1у — а1С(И вЂ” ', 2 (6.2) Отделяя действительную и мнимую части в (6.2), получим: 5~в 51В" сит — сола' СНЧ вЂ” сол,ь' Исключая нз уравнений (6.3) переменное :', получим: (6.3) ха+уз — 2ох с01 51+. +оз = 0. (6.4) Полагая в левой части а; = соп51, получим окружности с ралиусами а г = -+ — (65.6) сн л Рис. 37.
и с центрами, расположенными на оси Ох на расстояниях 1 = а С1)л тп (6.6) Обозначим через г, и г радиусы шипа и подшипника и через ти н т)а соответствующие окружностям шипа и подшипника значения параметра 51 (рис. 67). Кроме того, положим: Г — Г =., т; — т„= а, а — = и. Г1 (6.?) в работе Н. Е.
Жуковского и С, Л. Чаплыгина, изложение которой мы и лайм ниже. Рассмотрим вращение шипа я подшипнике при слелуюших предположениях: !) вся область между поверхностями шипа и подшипника заполнена сл~азкой, 2) оси шипа и подшипника параллельны, 3) движение частиц несжимаемой смазки с постоянным коэффициентом вязкости является плоско-параллельным и установившимся, 4) квалратичные члены инерции не учитываются. При зтнх предположениях задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока 2!О [гл.
ч! ГИДРОДИИАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ На основании (6.6) и (6.7) будем иметь: о = г 5Й 5!5, ь= "' (565! — зйт,), а зй т)! =.= (!+ в) 51! 5)е, (6.8) Используя обозначение:, по!учим: 5" (тю+ 5) =('+. й) зн ' зн ми 56 (5) — а) = — ', о 1 -- л — 5155 сро т .=. — '— '5 5П5 (6.9) (1 + л) с!5 5 — 1 срп т, =- — ' ч (1+Л)АН5 зп5 Аь т, — 5ЬЧА ) (Ге!О) Полагая 05 (д!) +(д5) ' получим из (6.3): !т =- — (сн т, — соз."). 5 (6.1 1) Тогда компоненты вектора скорости, параллельные касательным к коорлинатным линиям .. "и т„через функцию тока будут представляться в зиле д' дф ч д";' ' дт,' Граничные условна прилипанзя и задания значений функций тока на границах будут иметь вид дь при г = то е =- О, )т' — ' = О, дч дф ПРИ 5; = 51, Е = — 5,1, Π— ' = — (), де! (6.! 2) где 5;) — секундный расход, 5 У вЂ” скорость точек окружности шипа при его вращении по часозеа стрелке.
На основании предпослелнего равенства (6.9) можно установить, что параметр 5 изменяется от О ао 1п(1-+Л). Обознзчая через е эксцентриситет шипа и подшипника и через з отношение — ', получим нз (6.6), (6.7), (6.8) и (6.9): Ь' Ь! теотия н. к. жаковского и с. л. чаплыгина 211 Так как оператор Лапласа от функции тона ф записывается в зиле ,(дзф+дзф) (сЬ Ч вЂ” соз()з(дзф+Фф) то бигармоническое уравнение (6.!) свалится к уравнению ( да ! дз) ~(сп ч — соз Е)з(дзф ! дафЯ == О. (6.121 х зЬЧ а спт — соз,'' 2) .г, ха-1-уе 1 сЬ Л '1) — — — -г- — -— фаз ' 2 сЬ Ч вЂ” сов 1' ' уа 2аз 2 сЬ Ч вЂ” гоз: ' 5) хл — Чзв'Ч а сЬч — соз(' а свч — созе ха+уа 1 +2хсоз,'зЬЧ сЬ2Ч созе 2аа 2 а сЬ т~ — соз(' (6.1() Сумму частных решений, умноженных на произвольные постоянные, можно преаставить в ниле 1 ф=()(т,- Ь)+ — —,УС сЬ т — соз с Х (А й(г,— ти]-)-В(~ — ге) й т)+С сов ((й(ч — 2ч)) — йа!) (16 6) илн М сЬ Ч вЂ” соз + (6,16) М = А зЬ (т< — йе)+В(т~ — »е) зЬ т+ СсЬ т~[аЬ(т — 2т) — зЬ а), ьд — Е) (т, — т(0) — - С (56 (т — «) — 5Ь а), (6.17) т = т, +»н.
Введенные функции А1 и И обращаются в нуль при т~ = т)а, поэтоиу для удовлетворения граничных условий (6.12) достаточно потребо- Проверкой можно убедиться, чго частными решенними уравнения (6.131 будут слелуюшие функции: [гл. ч! 212 гидеодинлмическля теовия смазки зать выполнения следующих равенств: (дл ) =О, (д() == О, ( дч ) (д ) =О, (М)и = — Ф (д ) =-О. (6.18) () + 2С с )г ь = — О, ! Па+ 2Ся)! з+(~ = О А+ Вяп т!е — 2Сси тщеси з = О, Д яи ".
-- Вз я1! т — 2С с!! тп я)! -. = О, А сне+В(я)! то+а с)г т)).. 2Ссб(тп ( — с) .== — иУ. (6.19) 1>ешая зги уравнения и используя обозначения (6.7), мы получим значения для постоянных В, С и расхода () ЕГП (1 + Я) ~1~ ч — 2 (1+ /г) зь т + (! + й)я.- ' В , !! + а) [: (! + «) — вь .[ зя ч [ч — 2 (! + й) ян г + ( ! + Я)х ч) ' !' ) ~П(ч~"-Ю~:)[ч(!л а) — ~~ч!(!+ ) [- — 2 (! + Л) яй а + ( ! + Л)з в [ яп . Так как давление и операчор Лапласа от функпии тона будут связаны соотношениями Коши — Римана ! др д (ЬР) д( дч ! др д (ЬР) ь дч дЕ то, используя (6.15), получим: изйф =- 2В сне г!е — 2С(я)! е+я1! 2т!е об с) — 2В соя ( он т, + + 4 С соя Е я!! (ч — т] — 2С соя 2Е я!! (ч — 2 г), ~ (6 2 1) а' Р = — 2Всбп ЕЯК.Π— 4СЯ)п Есй(т — т))+2СЯ)п 2Есн(т — 2т)). ~ н Умножая первое равенство (6.21) на ! и складывая со вторым, получим: ия ( — + ! Ь~) = 2В! сбя т)е — 2С((яд з+ я)г 2т, с(г а) -— — 2В! соя (Е+ !ч)) — 4С я)п (с+ !т) — (ч) + 2С я(п (2Е+ 2(т! — (т).
(6.22) Подставляя в (6.18) значения М и !ч' из (6.17), получим следующие уравнения: 3 6) теоеия н. Г. жукОВскОГО и с. А. '!АплыГКНА 213 Правую часть полученного равенства (6.22) выразим через комплексное переменное л основной плоскости, т. е. воспользуемся формулой преобразования (6.2). На основании этой формулы будем иметь: ":+!» г с!и — ' 2 „а+!ч с!37 — — ! С05 ((+!7)) =- 2 ьа+ аа , с+ !»! Уе — аа ' с!35 — + 1 2 2 с!й — ' + 1Ч 2 2!ла 5!П ((+ !7<) = А+ !и Аа — аа с!65 + 1 Используя эти равенства и провали преобразования в правой части (6,22), получил!: Р+1)АДФ = 4РГФ'(л) = —., ! 2В! СН57)е — 262(55 т+ 5)727; сй а)— — 2Вà — -(-16С!азов Г,, + 2С! 56 т !(1 — 4аэ га+ аз лэ аг (лз аэ)А ' ' ( (лз аАР (6.23) На основании формулы (5.!3) главы А»' результирующий вектор воздействия вязкой несисимаемой жидкости на круглый цилинлр представляется через вычеты функции Ф'(л), Внутри контура окружности шипа содержится лишь олин полюс правой части (6.23) второго порядка в точке л= а.
Вычисляя этот вычет с помощью умножения левой и правой частей на (л — и)э, оанократиого дифференцировании правой части и устремления г к а, получим лля вектора результирующего воздействия следующее выражение: »(а+11»у= — 43 ) Ф'(л)Г(г= ~ ( — 2В!и)2к!.==- ~ 1. ! Таким образом, результирующее давление на шип будет направлено по оси у, т. е. перпендикулярно к линии наименьшего зазора, н будет представляться после замены В и а следующей формулой: й— 4ин() ТГ(1+ л)а+ 1 — 2(1+ л) с!7 а а ((1 + Л)5 + 1) — 2 (1 + Л) АИ а После провеления соответствепныл вычислений мо!Кно получить формулу для момента действия смазочного слоя относительно оси шипа а(1+ А)эсщ 7 — 2(1+ Л) сит+1 а ((1+ а)а+ 1) — 2 (1+ л) Ан 7 214 гидРолинАмическАя теоРия смАзки [гл ° ш Равенства (6.24) и (6,25) позволяют определить результирующую силу и результирующий момент действия смазочного слон на шип, если, помимо коэффициента вязкости, окружной скорости и радиусов шипа и подшипника, будет задано значение параметра а или значение эксцентриситета е, определяемого через а по первой формуле (6,10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
