Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 48
Текст из файла (страница 48)
При подстановке в интегральное соотношение (3.5) задаваемой функции распределения скоростей по толщине слон получится для толщины слоя лифференцнальное ураннение первого порядка. В работе Польгаузена") распределение скоростей по сечению пограничного слоя задавалось в виде многочлена не выше четввртой степени. В работе Л. Г. Лойцянскогоэ) для распределения основных скоростей использовался многочлен шестой степени. В одной из первых работ А. А. Космодемьянского в) распределение скоростей представлялось в виде сс = ()о э!и — ть Сопоставление результатов расчета во всех этих случаях с результатами решения уравнений пограничного слоя, приведвнными для пластинки в предшествующем параграфе, показывает сравнительно малое расхождение, особенно а отношении числового множителя в выражении (2.18) для коэффициента сопротивления пластинки. Это обстоятельство и послужило основанием, с одной стороны, для широкого использования метода интегральных соотьюшений, а с другой стороны, для некоторого произвола как в выборе вида функции распределения основных скоростей по толщине слоя, так и в назначении лополнительных граничных условий для определения коэффициентов этой функции.
Лополнигельные граничные условия устанавливаются на основании непосредственного использования самих уравнений (!.13) для пограничного слоя. Например, если учесть, что на стенке скорости и и э обращаются в нуль, то из первого уравнения (1.13) получим новое граничное условие на стенке в виде 268 !гл. шп твогия посели«нного слоя (3,1 1) Если положить (ди~ Лl и учесть, что из интеграла Бернулли — =-. С вЂ” †, У' для линий тока д 2 внешнего потока, примыкающих к верхней границе слоя, будем ниетти — — = — У вЂ”, 1др ЛУ (3. ! 2) г дх лл ' то из (3.11) получим еше одно граничное условие (л — ) =О.
(3,1 3) Если бы мы еше раз проднфференцировалн равенство (3,9) по переменному у и использовали бы все ранее полученные граничные условия, то получили бы еше новые дополнительные условия для производных третьего н четвартого порядка ат искомой функции и. Разумеется, что этот процесс получения новых граничных условиИ можно продолжать и дальше. Подчиняя выбор вида функции распределения по толщине слоя основных скоростей всв большему числу дополнительных граничных условий, мы тем самым можем всв больше и 'больше приближать задаваемую функцию к действительному решению самих уравнений (1.!3) пограничного слоя. ф 4. Пограничный слой при обтекании выпуклого контура ь В качестве примера применения метода интегральных соотношений рассмотрим обтекание плоско-параллельным безграничным потоком несжимаемой жидкости выпуклого контура (рис.
71). В передней части рассматриваемого контура будет образовываться пограничный слой. Скорость частиц жидкости на внешней границе этого пограничного слоя будем считать известной функцией криволинейной координаты х, отсчитываемой от передней критической точки вдоль верхней части дуги (7 = ()(х). Сумма первого и третьего слагаемых в левой части на основании уравнения несжимаемасти будет обращаться в нуль. Остальные слагаемые в левой части будут обращаться в нуль на стенке; отсюда получим еще новое дополнительное условие на стенке ~-,.) =- (3.10) Испо чьзуя граничные условия (1.15), первое уравнение (1,!3) для точек верхней границы слоя можно представить в виде Й 4) погтлничный слоИ пги оятяклнни выптклого конттгл 269 с(У вЂ” (/ — ~ и ду = () Б д — ч ~ ~) д й д и,, гди! дх ) (4.1) Введйм новое независимое переменное, полагая У (4.2) и будем считать, что распределение основной компоненты скорости и по толщине пограничного слоя представляется функцией, зависящей только от одной независимой переменной ть т.
е. и = (Ч(т!) (4,3) Используя предположения (4,2) и (4,3), интегральное соотношение (4.1) можно представить в виде т ! Р (т) с(т) — „~ (()эд) — ~ у (т) дт (( — ((Л) = (I( и э — — у (О). (4 4) д в Как уже было сказано выше, вид функции (4.3) в некоторой мере должен задаваться заранее и лишь отдельные коэффициенты конкретного выражения этой функции должны определяться из граничных условий.
Основные граничные условия, выражающие собоИ условие прнлипания частиц к стенке, условие непрерывного перехода значений основноИ компоненты скорости через верхнюю границу слоя н условие отсутствия силы вязкости на этап границе слоя, имеют вид и(О) — О, и (ь) К вЂ” =- О /ди т ~д»)я е Если иметь в виду предположения (4.2) и (4.3), то этн граничные условия можно представить следуюгцим образом: у(О) = О, у(!) = 1, у'(1) = О.
К основным граничным»словиям (4 б) присоединим одно дополнительное условие (3.8), используя (3.12) и (4.3): У-(О) = ---'-'- Г. ' (4.6) (4.6) Наличие четыреэ граничных условий (4.6) и (4.6) позволяет использовать д.ш распределения скоростей в пограничном слое Интегральное сов~ношение (3,6) после использования (3.12) предста- вится в виде (гл. щп тяОРиа погтлничногп слоя Аз= 2(1 2 ) (4.8) Используя выражения (4,8), будем иметь: УРП) = -2 (зч — Р)+ —,(~ — 2п'+ Р), 1 Л (4.9) где Л представляет собой безравмерный параметр, равный (4.10) Определяя силу вязкости на стенке по формуле Ньютона и используя (4.2), (4.3), (4.9) н (4.10), получим: 'оа- — — 11 (ду)о — р З у (О) = 1З (6+Л), (4.11) В 6 1 было указано, что точка отрыва пограничного слоя определяется из условия обращения в нуль силы вязкости на стенке.
Полагая правую часть (4.11) нулю, найдем: Л,! =-- ( — (/) = — 6. (4.1 2) В случае обтекания эллиптического цилиндра экспериментально установлено, что положение точки отрыва определяется равенством Л,„= — 5,4. (4.13) Таким образом, полученный результат (4.12) достаточно близок к экспериментальному, Для опрелеленяя изменения толщины слоя необходимо обратиться к интегра.тьному соотношению (4А), которое при использовании обоаначения (4.10) представитсн в виде 1 ! — ", ( Ц уо( ) (й — ~ Лч) ( ) + о о 1 1 +2Л ( уо(о)) 1111 — Л ~ /(11) о(о) — Л+у'(О) = 0 (4,14) функцию, содержащую четыре неизвестных коэффициента. Если, например, эту функцию брать в виде многочлена, то наиболее простым нв них будет многочлен третьей степени, т. е. )'(т) = Аа+ А!11+ Ао"йо+ Аот1о (4 У) Определяя коэффициенты многочлена иэ граничных условий (4.6) н (4.6), получим: Ао — О, А1 — — ! (3+ 2 ), Ао — —— ф 4) поэвлничный слой пни овтвклнии выпэклого конттгл 271 (4.15) Вводя новое зависимое переменное за — =ч, Ч (4.16) получим следующее дифференциальное уравнению Ж 3 О 8061 + 0 051о 0 0024Ло Лл ьг (0,139 — 0,002х + 0,0008И) При заданной функции (У(х) изменения скорости внешнего потока вдоль рассматриваемого контура дифференциальное уравнение (4.17) можно решать только либо графически, либо численным методом.
Если положить параметр Л равным нулю, то получим случай пограничного слоя на пластинке, разобранный в 5 2. )Лля этого случая из (4,!7) будем иметь: е( 21,88 лх и' Проводя интегрирование и определяя постоянное интегрирования из условия обращения в нуль толщины слоя у переднего края пластинки, получим: 8=4,6 т и и' (4.18) ь Сопоставлял правую часть (4.18) с правой частью (2.19), мы видим, что рааличие в числовом коэффициенте имеет порядок 8о) . Рассмотренный пример использования интегральных соотношений является наиболее простым по своей схеме, однако доведение до конца интегрирования уравнения (4.17), хотя бы и численным методом, связано с большими трудностями благодаря тому, что правая для коэффициентов полученного уравнения (4.14) из (4.9) будем иметь: У'(0) = 1,5+0,25Л, г )"У(0) г0=0,625+0,021л, о 1 ) 7~(т))о(т) = 0,486+ 0,02ЗЛ вЂ” О,оообдв о ! 1 3 7'(")"") — ~ ПО) 70 = — О, И9+0,002Л вЂ” 0,0006Лэ, о 1 г 2Фв() М~ — "~ У() М вЂ” «+7 (О)=1,5-0,4ОЗЛ+ о о +0 025Лв О 0012Лз 272 (гл.
шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ часть этого уравнения имеет особую точку при (! = О. Кроме того, этот метод ваведомо неприменим к пограничному слою при замедленном течении жидкости во внешнем потоке. В ряде статей предложены другие методы использования интегральных соотношений. Из этих методов наиболее простым и широким по охвату различных случаев является метод Н. Е. Кочина и Л. Г. Лойцянского '). й'5.
Приближенный метод решения уравнений пограничного слоя В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчеты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. )Аля больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден, Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
