Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 52
Текст из файла (страница 52)
9Р" = РР'+ С. (7,52) Лля определения постоянного заметим, что на оси симметрии струи осевая компонента скорости должна быть конечной, а это может быть на основании первого равенства (7.50), если числитель прн т) =- 0 будет обращаться в нуль, т. е. ч! = О, Р'(0) = О.
РАспРОстРАнаниа тонкой ААминАРной стРуи 291 Решение этого уравнения, регулярное при т) = О, можно искать в виде степенного ряда Р(т1) = Оэт)э+ Овт~з+ ОАу)А+ Оьйз+ Оат1в+... Подставляя этот ряд в (7.54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степейях то получим; а =О, 1 а = — — а', 4,1 а' а =О, 1 ае — — ОА, 16 Я' Следовательно, регулярное решение уравнения (7.54) будет представляться в виде Р(Т1) в ) (1 4 ят1 +'(4 пэ 1 ) + Выражение в скобке есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна ! 1 + — ааээ 1 4 Таким образом, решение уравнения (7.54), удовлетворяющее условиям (7.34) и (7.53), будет следующее: 4лщт рс) =,+',"„, (7.55) Для определения коэффициента ая необходимо обратиться к равенству (7.38), которое при замене и, и г, будет иметь вид 2я ~ Р'е — 1 = 1.
ч 3 Так как 32,ч (т1) (4+ а,ха)э ° При выполнении условия (7 53) постоянное С должно обращаться я нуль, а уравнение для функции Р(т)) примет вид Р' — СР" = РР'. (7.54) 292 теОРия пОГРАничнОГО слОя Р л. ЧП4 то для определения ав получим равенство 2агп 44», 2П16Я ° 2аг ~ (4 ~ „г74 — 1 о откуда 3 1бт. ' (7,56) Таким образом, распределение безразмерных скоростей в ламинарной пространственной струе будет определяться согласно равенствам (7. 57) ехг(4+ — Чг) 4 (4+ — Чг) Расход через всю плоскость, перпендикулярную к оси струи, равен О = 2П ~ О го(г = 2яг ~ и,г,гтгг = 2Я1гхг ~ уо(т)4) ц = 8тгх, (7.58) о о о оп о К ЗК вЂ” .,Г пго — бога (7.59) На основании первого равенства (7.39) и (7.57) получим следующее выражение для размерной осевой скорости в произвольной точке струи: (7 До (7.
60) ' ял,14+ — Чг 1бя ) Относя осевую скорость (7.60) к ее максима:юному значеиию иа оси при той же абсциссе х = гхг, получим: ом 16 (7.61) Если в качестве условной границы струн принять поверхность, для которой левая часть (7.61) равна 0,01, то уравнение этой по- верхности булет представляться в виде г — = 8 )г Зя =. = Гя а, л (7.62) Таким образом, и здесь расход в начальном сечении (х = О) равен нулю, а затем по мере удаления от источника струи расход растат за счет подтекаиия в струю жидкости с боковых сторон благодаря увлечению движущимися частицами частиц покоящейся срелы.
Максимальная скорость на оси струи будет равна 293 9 8! затгхлниз вглшвния твлл в потоке т. е. внешней границей рассматриваемой ламинарной струи будет конус, угол раствора которого прямо пропорционален коэффициенту вязкости жидкости и обратно пропорционален квадратному корню из импульса струи. Сопоставляя (7.30) и (7.68), мы видим, что расход в плоской струе зависит от импульса струи, тогда как расхол в пространственной струе от импульса струи не зависит. На основании равенства (7.28) можно получить, что условная граница плоской струи будет криволинейной, тогда как для пространственной струи эта условная граница оказалась прямолинейной.
В 8. Применение теории пограничного слоя к вопросу о затуханки вращения тела в потоке результаты теории пограничного слоя широко используются для подсчйта сопротивления трения при поступательном движении тел в вязкой среде. Однако эти результаты могут быть использованы также и при изучении отдельных случаев вращательного движения тела при набегании на него потока возлуха '). Чтобы это показать, рассмотрим предварительно следующую задачу. У Допустим, что пластинка, имеющая в направлении оси х ширину С облувается потоком зоз- ~ 7 — — х духа, скорость которого (7 на бесконечности параллельна оси х.
1,/ Сама же пластинка перемешается со скоростью (г в положительном направлении оси г, перпендикулярно к своей ширине (рис. 73). Сооб- Рвс. 73. шим пластинке и всем частицам воздуха скорость Ъ' в направлении, обратном движению пластинки. В таком случае пластинка будет неподвижной, а частицы набегающего потока возлуха будут иметь вектор скорости Уы численная величина которого булет равна причем этот вектор скорости булет составлять с передним ребром пластинки угол а. определяемый равенством гг 1.«=р ') слезкин Н А., Затухание собсгвениого вращеизл снаряда, ЛАН СССР, т. ХХХ, № 4, 1941, 294 [гл. Ощ теОРия погРаничного слОя Если мы будем проводить плоскости, параллельные результирующей скорости Сы перпендикулярно к пластинке, то в каждой такой плоскости движение воздуха будет одинаковым, и, следовательно, мм можем данный поток рассматривать как плоско-параллельный.
Иначе говоря, мы можем ограничиться рассмотрением движения воздуха только в одной плоскости, проведенной через носой разрез АВ плзстинки, При этом длина косого разреза 1, пластинки будет равна 1, = — ')г'И*(г . рассматриваем теперь в плоскости проведенного разреза пограничный слой. Будем предполагать этот слой ламинарным. Если мы обозначим через х, расстонние какой-либо точки на пластинке от ее переднего края, то на основании формул (2.22) и (2.16) толщина слоя 3 и сила вязкости ". равны 3=62)/ ". = 0,332())'т/ — "Р .
Р Х,' (8.1) (8.2) и коэффициент сопротивления трения Обеих сторон пластинки 1,328 с = — ' у'я ' полученную силу торможения движения пластинки (8.4) можем представить в виде "*= 2~гр('((1 |,~)+ и ) (8.6] )(опустим, что вместо пластинки мы имеем круглый цилиндр длины 1 и радиуса а, который вращается вокруг своей оси с угло- разложим вектор силы вязкости на две составляющие, параллельные осяи х и г. Составляющая, параллельная оси я, будет равна "., = — ". = 0,332(г(((з+ 'ьга)У 1/ (8.3) 1 хг ' Умножая обе части равенства (8.3) нз тх, и интегрируя от нуля до 1ы получим для силы трения, тормозящей движение пластинки в направлениии оси х и приходящейся на единицу длины пластинки в этом же направлении, выражение Г, = 0,664И(! + — )' 'у'а~ьйУ. (8.4) Вводя число Рейнольдса иг й=— ч $9) 295 пОГРАничный слОЙ нА твлв ВРАщвння вой скоростью е и облувается потоком возлухз с наружной стороны поверхности цилиндра в направлении, параллельном оси цилиндра.
Заменяя в правой части (8.6) скорость 1' через ма, получим силу торможения, приходящуюся на единицу длины окружности поперечного сечения. Умножая (8.8) на длину окружности 2яа и радиус а, получим полный момент сил торможения вращения рассматриваемого цилиндра (.
= С, р( и(1+ "~')'*. (8.7) У вЂ” = — Сгваауйа(г (1 + — ) (8.8) Если скорость набегающего потока будет известна как функция времени, то с помощью численных расчвтов можно опрелелить степень затухания вращения цилинлра, помешанного в потоке воздуха. Будем считать произведение еа настолько мачым по сравнению с (7, 1 гва1в что можно пренебречь отношением — ( — ) по сравнению с единицей, 2 '(сг) тогда из (8.7) получим: — — ) оош ,,„! г (8.9) е = еое где ее в начальная угловая скорость вращения. Коэффициент сопротивления, входящий в (8.9), определяется формулой. (8.8). Если режим течения в пограничном слое не будет ламинарным, то значение коэффициента С необходимо взять из соответственных формул лля сопротивления трения пластинки при турбулентном режиме либо иэ результатов соответственных экспериментов. 9 9.
Пограничный слой на теле вращения )(ифференциальиые уравнения устзиовившегося лвижения несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах в предположении, что движение жидкости является осесимметрнчным, т. е. (9. 1) дт ' дт Таким образом, момент сил трения, тормозящий вращение цнлинлра, зависит не только от угловой скорости вращения, но и от скорости набегающего потока воздуха. Обозначим момент инерции цилиндра относительно его продольной оси через э', тогда дифференциальное. уравнение вращения представится в виде (гл. чш твория пограничного слоя принимают следующий вид: дог до„г дР / о„1 о — '+о — — "= — — — +э~Ля.— — "~, 1 "дг мдк р дг ( ' гэ)' до до.
1 дрг "дг * дк р дк д (гои), д(го„) дк + дг ' = и -ь Ы'-ь=,— "' (9.2) Рассмотрим случай обтекания безграничным потоком тела вращения, имеющего уравнение поверхности го = гэ (к). (9.3) При этом предположим, что начало оси к расположено в передней критической точке (рис. 74). Благодаря тормозящему лействию неподвижной поверхности и вязкости жилкости образуется пограничный слой, облегающий 'г г всю переднюю часть поверхк ности тела. Если исключить нз рассмотрения ту небольшую Рнс.
74, часть пограничного слоя вблизи самой критической точки, то толщина слоя, отсчитываемая по нормали к поверхности тела, будет мало отличаться от равности значений цилинлрического радиуса г, взятого для точки на границе слоя н лля точки с той гке абсциссой на поверхности тела гз го (9.4) л — жО, го (9.Ь) Полагая лля точек внутри пограничного слоя г=го+у, (9.6) булем иметь: Иг)х=гопм == ду о„.
и и поэтому лифференцирование по г можно заменить дифференцированием по у. Но в силу предположения (9.5) мы но>кем, например, в третьем уравнении (9.2) заменить г через гэ. Таким образом, Следовательно, за меру толщины слоя можно взять )г.
Булем, далее, предполагать отнощение условной толщины слоя )г к соответственному радиусу поверхности тела го настолько малым, что им можно пренебречь, т. е. 297 погвлничный слой на тзлз вглщвния в 9! уравнение несжимаемости для пограничного слоя на теле вращекия можно представить в зиле а(х)о~! +д [ () ! 0 (9.7) Если положить х = Ех, (9.8) и о =- . гй= оа и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
