Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е, положим Ь 1) пгямолинвйно-пшлллельноз нелстлновпв. тячгниз жидкости 305 Следующее приращение ордннаты равно 1,'(ЬГ) Ы, а приращение гюмера и будет: у, '((й — 1) дг) дг. функция юя(у, я, г) представляет собой решение задачи (1.11), Если бы на границе 5г поддерживалась всв время скорость у„(0), то к моменту конца интервала времени т в произвольной точке области между 5г и 5ц создавалась бы скорость, равная Уа(0)ю,(у, я, à — О). (1.13) Следовательно, на функцию ю„(у, я, à — О) можно смотреть как на своего рода коэффициент передачи в течение интервала времени à — 0 скорости, возбуждаемой на границе 5н в точку с координатамн у и з.
Но так как скорость на границе 5г меняется, то скорость в точке (у, л) может определяться по формуле (1.13) не лля всего конечного интервала времени, а только для интервала времени 0 (г (Ы. 14 концу интервала вреиени лт скорость на границе получит приращение у'(О) ДГ1 это приращение будет передаваться во все точки области между 5г и 5п, но передача будет происходить, не в течение всего интервала времени от нуля до С а в течение интервала времени 1 в ДГ. Следовательно, если бы дальнейшего приращения скорости на границе 5г не происходило, то к концу интервала времени Г в точке (у, я) мы получили бы приращение скорости равное Гг(0)11ю (У, и, à — 31). (1.14) Но на самом деле скорость на границе к концу интервала времени 2 дс получит новое приращение у;(дс) ЬГ, следовательно, приращение скорости в точке (у, л) можно подсчитывать по формуле (1.14) лишь для интервала времени 31( Гс' 2зт Для следующего интервала времени приращение скорости в точке (у, я) надо уже подсчитывать по формуле у,(ЗГ)31ю,(у, л, 1--231), (231( 1тб 3 ЛГ) Продолжая, далее, эти рассуждения для интервала номера л, будем иметь приращение скорости з точке (у, л) в виде У, 1(л — 1)ДГ) 3)ю,(у, з, à — лзГ), (1.16) 208 нвтстлновившвася движвнив вязйой жидкости (гл.
|х и(у, г, Г) = У,(0)ш,(у, г, à — О)+ + ~ 7"1((й — 1) йт! ш (у, г, à — (гас). л=1 (!.17) Полагая )гйт=т, бт=с!т, пбГ=Г, увеличивая л до бесконечности и уменьшая йт до нуля, в результате предельного перехода получим из (1.17) формулу Дюгамеля (1.12), Заметим, что формула Дюгамеля (1.12) может быть использована не только для решения дифференциального уравнения типа теплопроводности, но и лля некоторых других видов линейных дифференциальных уравнений, содержащих частные производные по времени, Смысл формулы Дюгамеля заключается в том, что скорость в какой- либо момент времени в некоторой точке внутри области, занятой вязкой жидкостью, будет определяться не значением скорости на границе в данный момент времени, а изменением значений скорости на границе за всв предшестнующее время, начиная с начального момента времени.
Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой математическое выражение своего рода «принципа наследственности» в механике неустановившегося лвижения вязкой жидкости. й 2. Движение неограниченной плоскости в вязкой жидкости В качестве первого примера иеустановиашегося пряыолннейиопараллельного движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим то движение жидкости, которое обусловлено перемещением неограниченной плоской стенка. Пусть стенка представляет собой горизонтальную плоскость хОг, а жидкость располагается по олпу сторону Г7 от этой плоскости (рис.
78). Ло момента Г = 0 жидкость н стенка находились з покое. С момента Ряс. 78. Г = 0 стенка приходит в движение с постоянной скоростью У вдоль положительного направления оси х. Благодаря неограниченности стенки з направлении осн г иожно полагать, что скорость частиц жидкости не будет зависеть от переменного г: йи лг — — О. Складывая (1.13) с суммой (1.1«), (1.!5) и (1.18), получим выражение для всей скорости в точке (у, г) к концу интервала времени Ф в виде движвнив няогглничвнной плоскости в вязкой жидкости 307 Кроме того, можно считать, что перепад давления будет равен нулю: а др При этих предположениях рассматриваемая задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения ди дги — =т— дг ауз (2.1) условиях: и=О, и=сг, ~ (2,2) и у=оо Для решения поставленной задачи применим метод фунниионального преобразования Лапласа.
Умножим обе части уравнения (2,1) на в-вс,й, где р — параметр преобразования, и проинтегрируем от нуля до бесконечности: в вс — ай = т ~ в вс — сй, ди 1 дзи дг д дуз е е (2.3) Выполнян в левой части уравнения (2.3) интегрирование по частям, получим: О О» ОР в-т — бг= в гпи ~ +р ~ в всибг. ди дс (2,4) а о е Будем полагать, что действительная часть параметра преобразования р положительна, тогда первое слагаемое в правой части (2.4) при подстановке в него верхнего предела обратится в нуль. ВведЕм следующее обозначение.
е-вся с(с = * у'р). р = "*' (2.5) и» Функцию — принято называть изображением по Лапласу фуняиии р и(у, С), а функпию и(у, С) — оригиналом, Учитывая (2.5), получим из (2.4): в-. с — й = — (и), е+ и'. - сд" (2.6) при следующих начальных и при С=О при с)» 0 прн с)» О, граничных и у)0 и у=-0 898 нтястлновившаеся движение вязкой жидкости (гл, ~х Таким образом, дифферекцироеание оригинала по времени приводит к умножению изображения по Лапласу на параметр преобразования и вычитанию значения дифференцируемод функции для начального момента времени. В рассматриваемом нами случае начальное значение искомой скорости и равно нулю, т. е.
(и) „ = О. Используя (2.5) и (2.6), получии из (2.3) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения: иги р * — — — и =О. дуг ч Таким образом, метод преобразования Лапласа позволяет уменьшить число независимых переменных на единицу. дифференциальное уравнение (2.1) для оригинала в частных производных с помощью преобразования Лапласа преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение (2.7) для изображения. Теперь преобразуем граничные условия для оригинала в граничные условия для изображения. В рассматриваемом нами случае в силу постоянства скорости У будем иметь: при у=о и"=и, при у=- ся и'= О. (2.8) Общее решевие уравнения (2,7) представляется в виде и*= Ае~ " +Ве г Подставляя значение и' в (2,5), получим для оригинала интегральное уравнение ° /е --' "' ° е — уса ос = — е (2.10) р о Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная трудность решения той или иной задачи переносится на определение оригинала по найденному изображению.
Но благодаря наличию лостато рю подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод преобразования Лапласа находит всв большее и большее применение при решениях задач механики и физики. Используя граничные условия (2.8), получим следующее выражение для изображения: и'(у, р) = Уе (2.9) ! 2! движения нвогглничвнной плоскости в вязкой ясидкостн 309 Решение интегрального уравнения (2.5) по отношению к оригигалу представляется формулой обращения преобразования Лапласа.
'Хля установления этой формулы проведам следующие рассуждения, Пусть и(г) представляет собой функцию только от переменного зремени Л причвм 1) функция и(Г) непрерывна и ограничена и ?) интеграл ~е"и й( абсолютно сходится, где о — некоторое пологкия тельное число. Тогда для функции у (г) = е-"и (г) (2.11) )удут выполняться достаточные условия для представления ее инте- .ралом Фурье в комплексной форме, т. е. -.
'ь +ь .((г)= — ~ йя ~ у(Х)е "ы'-нйс. ! 2я (о !2) Подсчавляя значение т(Г) из (2.11), получим; и(г) =,— ~ еи" !' йа ~ и(2)е-ы"ы! йл. 1 Г 2г 2' Вместо переменного я введем новое переменное, полагая о+!я = р; гогда получим: и (г) ==,— ~ ещ г!р ~ и (3) е гя й)„ 1 2я! (2.13) Положим, что функция и(л) обращается в нуяь для всех отрицательных значений х, При этом условии нижний предел во втором интеграле (2.13) можно положить равным нулю, а поэтол~у весь интеграл можно заменить его значением (2.5).
В результате получим следующую формулу обращения преобразования Лапласа: и = — ~ ея'а" —. р (2.14) Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по комплексному переменному р вдоль бесконечной прямой, параллельной минной оси и отстоящей от ней на расстоянии Прямая 1)е (р) =а называется осью сходимости интеграла Лапласа (2.5), так как, по предположению, этот интеграл сходится, если лгн нвястлновившееся движения вязкоя жидкости !гл. гх )!е(р) > ш Интеграл в правой части (2.14) понимается в смысле своего главного значения. Для вычисления интеграла (2.14) можно пользоваться некоторыми теоремами, доказанными для интегралов такого вида.
В частности, если й представляет собой регулярную функцию в любой конечной части плоскости комплексного переменного р, за исключением множества точек, представляющих собой полюсы этой функции, то значение всей правой части (2.14) представляется в виде сунны вычетов, т. е. «ее — ерги — = г г„(Г), г-гш я=е (2.!5) и. где г„(Г) — вычет функции еяе — в точке р=р„. В других случаях Е при наличии точек ветвления функции й приходится контур интегрирования деформировать и использовать, например, лемму Жордана, согласно которой 1!ш ) Ф(л)е" г(л= О при Г > О, (2.16) Я -+ и з. гле ф— дуга окружности !л!= 77„, — (агйе ( — и Игл)7ч = оэ; гг-+ при этом предполагается, что сама функция Ф(л) на дугах С„равномерно стремится к нулю относительно агяе при и-+со, Возвращаясь к рассматриваемому нами случаю (2.10), получим из (2.!4) выражение для оригинала в зиле 27 Е е и(у Г)= — ~ е " — -. (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
