Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 58
Текст из файла (страница 58)
дг ' дх ' ду аду Исключая перекрестным дифференцированием давление, используя уравнение несжимаеиости и выражение для вихря ди ди 2й == — — —, дх ду' получим следующее дифференциальное уравнение для вихря: до. до до — '+и — "+о —" = аой. дс дх ду неустАнОВЙВшееся лВнжвние Вязкой жидкости (гл, ох Левая часть (8.1) представляет.собой индивидуальную производную по времени от вихря, поэтому при переходе к полярным координа- там будем иметь: дп дй оо дц — +о — + — ' — = «ЬЯ. дс гдг г дт рассмотрим теперь задачу о диффузии прямолинейной вихревой нити. Пусть в начальный момент г = 0 распределение скоростей частиц безграничной несжимаемой жидкости совпадает с распределением скоростей вокруг одной прямолинейной вихревой нити, расположенной вдоль оси г, т.
е. 1'о (оо)г о 2; (8. 3) гле Го — начальное значение циркуляции вихря. Попытаемся выяснить: 1) как будет изменяться благодаря вязкости циркуляция заданной вихревой нити в последующие моменты времени и 2) как вихревое лвижение в силу вязкости будет передаваться от олних частиц к другим. В данном случае лвижение частиц и в последующие моменты времени останется круговым.
Для кругового движения частиц единственная компонента вихря на основании (8.10) главы 1 будет прелставляться в зиле Обе части равенства (8.4) умножим на площадь элемента г днгтг и проведам интегрирование радиуса г: по площади окружности произвольного 2 ) ~ (дгдрдг = 1 ~ д(гоо)льу = 2пго . а о о о Левая часть полученного равенства представляет собой полный поток вихревых линий, пронизывающих площаль засланной окружности, который по теореме Стокса равен циркуляции вектора скорости по этой окружности. Обозначая эту циркуляцию через Г, получим: 1'= 2пго . (8.6) Таким образом, для определения циркуляции необходимо установить выражение для самой скорости частиц жилкости. Попытаемся это 2ь)= д 1 д (8.4) г дг Так как скорость о не зависит от угла (о, то выражение для вихря также не будет завйсеть от этого угла.
Поэтому дифференциальное уравнение (8.2) для вихря в круговом движении будет иметь вид — = «ЬЯ. (8.5) Е8) диеэтзяя вихвввой нити 333 выражение для скорости найти с помощью решения (7.10) задачи о вращении цилиндра в безграничной жидкости. Подставляя в это решение вместо угловой скорости вращения цилиндра выражение а 1' 2гаэ' будем иметь (8.7) Будем теперь радиус цилиндра а уменьшать до нуля. Из приведенного в 9 6 разложения функции Бесселя первого порядка следует, что На основании этого разложения заключаем, что (77,(х) х!..„= — —, 2 и,(=)~ (8.9) Подставляя в выражение (8.7) предельные значения (8.8) и (8.9), получим: (8.10) О Если в правой части этого равенства время т увеличить до бесконечности, то скорость частиц жидкости будет стремиться к тому выражению, которое имеет место для одной вихревой нити: (от)г Г (8.11) Составляя разность правых частей (8.1!) и (8.10), получим следующее выражение для скорости частиц жидкости: Г (8.! 2) Иш ~У,( — '"=)~ =0.
(8.8) Для функции Неймана имеет место следующее разложение: й тт М,(х) — l,(х)(1п — + с) — — — — ~~У ~ лт' — + ~~~~~-~. нвтстоновившевся движении вязкой жидкости [гл. ~х Покажем, что данное выражение и будет представлять решение рассматриваемой задачи о диффузии прямолинейной вихревой нити, В теории бесселевых функций приводится следующая интегральная формулаа): — () — г аз' Х (ат)е эч'о(Г = — е ол'о' ~ — ).
— . ~зла). о Полагая в этой формуле 1 2 и учитывая, что 1 Л „(х) = — ==. (е — е л), уо2гл получим; о Таким образом, решение задачи о диффузии прямолинейной вихре- вой нити будет предстзвляться следующей конечной формудой: 1о (1, оо) 2ог (8. 13) о а,.г е '" (8.14) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение (8.14) для вихря удовлетворяет дифференпиальному уравнению (8.6). Если подставить выражение (8.13) в (8.6), то получим следующее выражение для циркуляции: (8.15) В =1'о(1 — о "'). Таким образом, циркуляция заданной в начальный момент прямолинейной вихревой нити будет убывать до нуля.
Из выражения (8.14) следует, что наибольшее вначение вихря имеет место там, где в начальный момент находилась вихревая нить, т, е. при г=.О. При удалении от этого места вихрь будет резко ') К у з ь м ив, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 146. Легко усмотреть, что полученное решение (8.13) начальному условию (8.3) удовлетворяет. Подставляя выражение (8,!3) для скорости в (8.4), получим следующее конечное выражение для вихря. $9) ВРАщение сэегы~ ИАполненной жидкостью ззт уменьшаться.
В каждом данном месте вихрь будет возрастать от нуля до максимума, наступающего в момент времени ю После этого момента вихрь снова будет уменьшаться до нуля. Картина рдсплывания вихревой нити со временем аналогична той, которую мы получили в 6 3 для диффузии вихревого слоя. В 9. Вращение сферы, наполненной жидкостью В предшествующих параграфах данной главы рассматривались те случаи неустановившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, лля которых дифференциальные уравнения движения использовались в их точном виде. Для этих случаев квадратичные члены инерции выпадали из левых частей уравнений автоматически благодаря тому, что лвижение частиц прелполагалось либо прямолинейно-параллельным, либо круговым. При всяком лругом характере лвижений частиц вязкой жидкости решение задач о неустановившемся движении благодаря наличию в уравнениях нелинейных слагаемых становится весьма затрулни.
тельным. Но если пренебрегать квадратичными членамн инерции так же, как это было сделано в методе Стокса для задач об установившемся движении в главе Ч, то задачи о неустановившемся движении частиц вязкой жилкости во всех случаях становятся линейными, и к решению этих задач можно применять тот же метод преобрааования Лапласа, с помощью которого решались ззлачи в предшествующих параграфах, Если 1) пренебрегать квадратичными членами инерции, 2) не учитывать массовых снл и 3) считать, что давление и все компоненты вектора скорости не зависят от угла р цилиндрических координат, то дифференциальное уравнение (6.7) главы В для поперечной компоненты скорости о принимает следу1ощий вид: дэ О„1 *=,~б.
— ~). дт ( Р га1 (9.!) Таким образом, для поперечной компоненты о скорости при указанных выше предположениях имеет место самостоятельное линейное уравнение, не содержащее давления и других компонент вектора скорости. Следовательно, если лля какой-либо задачи граничные условия будут включать только поперечную скорость и, быть может, ей производные по координатам, то такую задачу можно решат~ с помощью уравнения (9.1) независимо как от вида границ, так и от тех или иных предположений по отношению к другим компонентам вектора скорости частиц жидкости.
В качестве примера рассмотрим с помощью дефференциального уравнения (9.1) ивгстлновившквся движкнив вязкой жидКости (гл, ~х где 0 — угол между осью л и радиусом, проведенным нз центра сферы к рассматриваемой точке на еа поверхности. Для решения данной задачи применим метод преобразования Лапласа. Вводя обозначение О Рис. 88. Р— т= ~ е "' отсИ (9,3) о и проволд преобразование Лапласа над уравнением (9.1) и граничным условием (9.2), мы приходим к следующей вадаче для изо- бражения Ьо" — о'( —,, + — )=О, при г=аз1п0 о'=маз1п0, Перейдем теперь к сферическим координатам Л и 0. Оператор Лапласа от скорости о в предположении, что зта скорость не зависит от угла 9, представляется в виде даве 2 дог 1 дает сьй 0 Ле бо; = — '+ — — '+ —,— '+ — — ' в дй~ А' дЛ Дч даз Дя дз ' (9.6) Полагая и; = ащ 0о(Л), (9.6) получим из (9.4) и (9.5) для множителя о обыкновенное дифферен- циальное уравнение и простое граничное условие при гг= а о=ми, (9.У) С помощью подстановки в== У у"У (9.8) задачу о вращении сферы, наполненной вязкой несжимаемой жидкостью.
Пусть сфера радиуса а (рис. 88), наполненная вязкой несжимаемой жидкостью, с момента Г = О начала вращаться вокруг оси л с постоянной угловой скоростью и. В атом случае для поперечной скорости о будут иметь место следующие граничные условия прилипаиия и начальное условие; прь г=аап0 от=маз1пй, ~ при Г=О от — — О, (9.2) $ '9! ввлщвнив светы, наполненной жидкостью 339 Общее решение уравнения (9.8) представляетса через функции Бесселя дробного порядка от мнимого аргумента в виде у =А)ч,()7 ~/ ~)+В(г'ч,()г ~У Р). Так как функция К,, ~й аг — ) обращается при й = О, т, е. Г Р'ч ч) в центре сферы, в бесконечность, то постоянную В необходимо положить равной нулю.
Определяя постоянную А из граничного условия (9.7), получим; А= у уу (аУ7 Х) ' Таким образом, решение задачи (9.4) для изображения поперечной скорости о' будет: —.' М'-;) о', =мал(п 9~/ уу! аУУ д) (9.10) Переходя от изобраягення (9.10) к оригиналу, получим поперечную скорость Особенности подинтегральной функции (9.11) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента )ц ~п ~/ Р ) Корни этой функции будут чисто мнимыми. Они будут связаны с действительными корнями функции Бесселя Ь,,(Л,) =0 (9.12) соотношением а варе=(Ль, г ч (9.1З) дифференциальное уравнение (9.7) приводится к уравнению Бесселя (9.9) 840 нввстьновнвшззся двнжнник вязкой жидкости 1гл. ~х функция Бесселя .Ь~,(х) выражается череа элементарные тригонометрические функции в виде Г 2 lз!пх /т (х)= згг — „( — — созх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
