Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 56
Текст из файла (страница 56)
На оси же х (у=О) вихрь в начальный момент был равен бесконечности. На этом основании функцию (З.б) мовкно называть функцией источники вихревого слон, расположенного на прямой у = О и начавщего свой действие с момента с = О. Волн же источник вихревого слоя будет расположен не на прямой у=-О, а на прямой уГ О и начнат свой 3!8 нягстьновнвшввся лвиженив вязкой жидкости (гл, (2 действие не с момента Г = О, а с момента Г ="., то функция источника вихревого слоя будет представляться в виде се — ч(* е«(у, Г; т(, т) = е 4 (4-«( (3.7) 2 )Г«в(г — «) Правая часть (3.6) обращается в нуль при значении у, отличном от нуля, дважды: при Г=О и при с=сю. Следовательно, по твои« реме Ролла в проме(кутке от с=О до с=сю на каждой прямой у = с интенсивность ( вихря будет достигать своего экстремального значения и гра! фик изменения вихря на этой (~-- прямой со временем будет прис( е мерно представляться в виде Рнс.
82. кривой, показанной на рис. 82. Положение точки максимума на этой кривой мы определим, если вайдам проивводную от (3.6) по времени дг 2У«в 2 4 и приравпяем ес нулю. В результате получим следующее выражение для времени Гж наступления максимума завихрения на ланной прямой, параллельной оси х: — (3.8) Если мы зафиксируем момент времени г и будем рассматривать интенсивность вихря (3.6) как функцию только от переменного у, то получим график этой функции, изображенный на рис. 83. Этот график показывает, что на прямой Рпс. %. у = 0 интенсивность вихря будет максимальной для любого момента времени, но на основании (3.7) можно видеть, что с течением времени этот максимум будет убывать.
Рассмотренное нами явление рассасывания вихревого слоя, имеющего место на оси х, и связанное с ним явление передачи вихря от одного слоя к другому называются диффузией вихревого слоя. На множитель (/ в выражении (3.7) можно смотреть как на .мощность исглочнина вихревого слоя. Если вихревые слои будут заполнять целую полосу от у=а до у=о, то, вводя в рассмотрение 9 4) движвиия между нвогглниченными плйлллельными станками 319 мощность вихРЯ 4(г)), пРиходЯщУюсЯ на единицУ длины ть мы можем получить функцию источника от злемента длины полосы вихря в виде 4 2 )Тгвг Проводя интегрирование, получим функцию от непрерывного распре- деления источников вихревых слова г ге- гг м(у, Г)= — г7(г))е г" дг). 2угггг Е О (3.9) Можно ввести также в рассмотрение и непрерывную последовательность источников вихревого слон во времени от момента ".
= 0 до момента ". = Т. Для етого случая функция вихря равна т Р* м(у, Г) = ~ гу(г) е г'" 2угве г По функции источника вихревого слоя (3.7) можно образовать функцию диполя вихревого слоя с помощью дифференцирования (3.7) либо по параметру ;, либо по параметру г) г!г-чР (у, Г) =- (7 е чзэс-ч)г1 — (У В)г-1, (3.11) 4 У гв (г — г)г ~ 2г(г — г)1 ге-ая м(у, Г) = — „— — — — — е ' гг — ч. и у — ч -,— „"," 4» г гп(г — г) Выражении (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) — частные решения дифференциально~о уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы получим иа (2.1) с помощью дифференцирования по у: д„, дгг дт дуг ' (3.
13) Уравнение (3.!3) совпадает с уравнением одномерной задачи теории теплопроводности, а введеннгге выше функции источника (3.7) и диполей (3,11) и (3.!2) совпадают с соответственными функциями теплового источника и тепловых диполей. (3.1 2) $4.
Движение между неограниченными параллельными стенками Допустим, что неограниченная стеяка, совпадающая с плоскостью хОя, является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии Л от первой, начала переиещаться с момента г = 0 с постоянной скоростью (7 в положительную сторону оси х 320 нвястлновившввся движение вязкой жидкости (гл, ~к (рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь: (4.1) Рнс. 84.
Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим; (4. 2) где (4.3) Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде (4.4) Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получилг для скорости движения частиц след)чощее интегральное выражение: "р р гз а(у, Г) = —, ~ егк 2щ — гьл (4.5) Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подиптегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу я, ггайдзм: (4.6) да дга дг дуг ' при у)0 и 1=0 при Г)О и у=О при т) 0 и у=8 лги" р — — — и*= О, ауг при у=О и*=0, при у=8 и'= К .,)/ ру а" (у, р) = У- зла .р р' р„ Й )/ — =- Ик, рг —..= — —,', )г = 1, 2, г -- угг и =- О, и=О, а=К 8 41 движение между няогеьничянными плтллляльными стенками 321 Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде Ь=а Ра(р) ад + у сь (4.7) ра(Р) Р лм Р Рь 1=1 йля определения вычета сю мы должны умножить обе части равенства (4.7) на Р н затем устремить Р к нулю, т.
е. с,= 1!а —, рра(р) (4.8) ю — а Р(и) Таким образом, для коэффициента сь получим: Р ) Р, (рь) (4.9) В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь: ан у т „/Р Ра(Р) / р Р' / р = — 1пп у р-аю р юну 1/ ею= Ию ея' Р-аа, / р (4.10) ь;. — дву 2е " ! а!и — '. л с„ р,сил ~у Грь л 2У ра !аз юоаля М =-- ( — 1)ее "' з!п — 'У.
(4.11) л Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.й), получим следуююцее выражение для скорости частиц жидкости: ь-. ь. а1п— Лчу и(у, т) = (7 — + — ~~~~~( — 1)" е Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении т к беско- для определения же вычета сь надо умножить (4.7) на разность Р— Р„и УстРемить Р к значению Рл, УчитываЯ, что 1!ю — з — = 11гп " а «)=Р.(Р) „ьр — рь ' „р — рл нечности распределение скорости становится линейным, т.
е. !>щ (у, 1)гя(7 У вЂ”. (4. 13) с.+„' = -й Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся движении при обращении 1 в бесконечность. Для силы вязкости ка движущейся стенке получим из (4.12): — ь* ° ч = — г( — ) = — „Г'-ьгл'* ч ~ ячь> а=> Для начального момента 1 = 0 сумма ряда (4.14) обращается в бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент начала внезапного перемещения ев с конечной скоростью будет обращаться в бесконечность.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью (7 = (7(г), то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде и(у, Г) = (7(О) и (у, Г)+ ~ (7'(т) и (у, à — т)ггт, (4дб) я я =гя Ь.;, я>п — „- 1>яя пг(у Г)=в+ — „Х( — 1)ьа ь' а .
(418) где ф 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе Рассмотрим неустановившееся дни>кение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе в предположении, что по двум еб сечениям, находящнися иа расстоянии 1, Р, Р, распределены давления Рг н Ря (рис. 85), Регнение втой задачи при переменных давлениях Р, и р> и Р . 85. нс. при произвольном начальном распределении скоростей было дано еще в 1882 г. в работе И.
С. Громеки '). Мы будем г) Гро меха И. С., К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках, Казань, издание Уняверс. типографии, 1882. В книге Дюрэнда адэродянамнкаэ, т. П1, 1989, сгр. 77, в статье Л. Прандтля неправильно ярн. писывается первое решение рассматриваемой задачи П.
Шиманскому; зто решение было дано Громеков на 50 лег раньше, а при простейшем начальном условии с учеточ действия силы тяжести решение бмло дано еща Наяье (см. введение). 322 нвтстлновившакся двнжаиив вязкой жидкости (гл. >х $5) злдлчл гтомвки о движвиии жидкости в цилиидгичвской тгтзв 323 рассматривать тот случай, когда давлеиия р, и рз во времени не меняются, а в начальный момент с=О жидкость иаходится в покое. В силу зтих предположений движение вязкой жилкости будет осесимметричным, т. е. — — О, ди дз (5.1) где б — полярный угол, проведенный в плоскости уОг, перпендикулярной к оси трубы.
В полярных координатах дифференциальное уравнение(1.4) прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1) представится в виде ди /дзи ! ди1 1 др — =»( — + —— де = (дгз г дг) р дл' (5.2) В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляю- щее собой перепад давления, отиесенпый к плотиости, будет постоян- ным, т. е. 1 д — — — = Р = совз1, (5.3) Начальиое условие и условие прилипаиия будут иметь вид: при 1=0 и=О, при г=а и=О.
~ (5 4) Проводя преобрааовапие Лапласа, т. е. переходя от оригииала к изо- бражению в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим; изи» 1 дй р „. Рг — + — — — — ив= — — ' ига г де при г=а и'=О. (5.5) Независимыми решениями уравнения (5»5) без правой части будут функции Бесселя от мнимого аргумента и'(г, р) = А!е(г ~/ — )+ВКе~ г~/ Р )+ — — '. Так как функция Кз обращается в бесконечность при г = О, то необходимо постоянную В положить равной нулю. Для определеиия а частиым решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная Р, л Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид 324 нвтстьновившввся движения вязкой жидкости (гл.
ок постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого для иэображения скорости будем иметь: уо(г1/ Р) — Го(а $/ Р) и" (г, р) — — — ' (5.6) а для оригинала "( ~~'-)- ( к'-р), и(г, Г)= — — г ело го(а)/' ) ' — - ° (5. 7) Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим: '( ~ —;)-"( 1~-',) р1о(а р — ) (5,8) "'~" — ")-"( ~у — ') Рьуо (иэоУ )и (5.9) (-)' (~-)' Подставляя этот ряд в (5.8), получим: с = — (гз — аз). 1 о — 4„ (5.10) Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действитель- ного имеет место следующее соотношение: (5.1 1) уо(х) = Г-"./о(Хх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
