Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1124064), страница 57
Текст из файла (страница 57)
На основании этого соотношения корни уравнения l (ау Р)=0 будут представляться в виде /рл (5. 12) функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом: 5 51 задача ггомеки о движении жидкости в цнлиндгической тетив 325 где йа — корни функции Бесселя нулевого порядка /0()а) = О. (5.13) Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим: ф, аз! ' ч 0( йл) На основании одного нз рекуррептных соотношений для функций Бесселя имеем: ! )о ( — !йь) = — !д (!Аа) = — — у ( — лв) = — (3 (Ал).
(5. 14) Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение рассматриваемой задачи в виде следующего ряда; н(г, Г)=Р ~ 1 — — -- — 3 д е ю — ~ ° (5.15) хр~ аз ' эх 7 (1 со аг в Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на 2ягг(г, проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррептной формулой Я / .ге(х) хйх =. а.гг(а). о В результате получим ч= [! — 32 (5,16) Формула Пуазейля (5.9) главы 1'гг получится из (5.16) при предельном переходе времени г к бесконечности. Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь: , 'а а= — —,с ~! ,г'ледовательно, коэффициент сл будет окончательно представляться в виде 2,."( —.) -.—:.
гь = — нз — — — е lг (ль) нвястлновившвеся движение вязкой жидкости [гл. !х Для корней функции Бесселя и-го порядка имеют место следующие равенства '); Х вЂ” = "1 1 1,з г (л+Н ь=! а (5.18) 1 1 ЬИ Л$ 2! 1)'( +2 ' (5.19) С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.
й 6. Неустановившееся круговое движение вязкой жидкости Если предполагать жидкость несжимаемой, пренебрегать действием массовых сил и считать движение жидкости плоско-параллельным, то дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы Н в полярных координатах г и ф будут представляться в виде дсг дп, п дог оз 1 дл г е„2 два! дс "дг г дт г я дг [, " гз гз дт)' дпт дпт пт дп,г огпт ! др сч 2 дог ь (6.!) Для кругового движения частиц вязкой жидкости радиальную компоненту скорости о, необходимо положить равной нулю: о„= О. Тогда из уравнения несжимаемости (6.1) получим: до, — = О. дт (6.2) ') Ку з ь и ни Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, !935, стр.
112. В нашем случае п=О. Полагая в (5.16) и (5.17) !=О и используя (5.16), получим, что для начального момента расход и сила вязкости на стенке обращаются в нули: й 6) ншстлновившввся кгтговов движение вязкой жидкости 327 Считая давление р не зависящим от полярного двух уравнений (6.1) будем иметь: пз 1 дд г Г дг' дтп угла ф, из первых (6.3) Первое уравнение (6.3) может быть использовано для определения давления, после того как ив второго уравнения будет определена скорость о частиц жидкости. Скорость деформации сдвига в полярных координатах согласно (8.9) главы 1 представляется в виде ! дог дп и 2а„= — — + г дт + дг Следовательно, сила вязкости для кругового движения частиц жидкости будет определяться равенством удпт птт т=2ре =р( — — — ).
1, дг (6.4) при следующих граничном и начальном условиях: при г==а от=ма, ~ при 1=0 от=О. (6.6) Выполняя преобразование Лапласа над уравнением (6.5) и граничным условием (6.6) и учитывая при этом начальное условие, можно Лифференциальное уравнение (6.3) для определения скорости принадлежит также к параболическому типу, Решение этого уравнения может быть проведено аналогично тому, как это было сделано выше по отношению к дифференциальному уравнению (5.2) длн неустановившегося прямолинейного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе. га В качестве простейшего примера кругового движения частиц вязкой жидкости рассмотрим задачу о вращении вокруг своей оси бесконечного круглого цилиндра, заволнепного вязкой жидкостью.
Пусть цилиндр радиуса а (рис. 86) с мо- Рнс. 36. мента г = О начал вращаться с постоянной угловой скоростью еь Вели учесть условие прилипаннч частиц жидкости к стенкам, то рассматриваемая задача будет сводиться к регпепню дифференциального уравнения (6.5) 328 нззстановившвеся движение вязкой жидкости [гл. ~х (6.7) Б(г 1/ — ) уг (а 1/г — ) (6. 8) Решение же задачи для оригинала будет тогда представляться в виде интеграла (6.9) Особенности подннтегрального выражения (6.9) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента ! (а1/ ~)=0.
(6.10) Корни уравнения (6.10) будут чисто мнимыми и будут связаны с действительными корнями функции Бесселя первого порядка /„(йь) = 0 (6.1 1) соотношением а з/ — = гйь. — / Рь (6.12) Используя разложение мероморфной функции на простые дроби, будем иметь: (6. 13) привести рассматриваемую задачу определения скорости оч к задаче определения изображения втой скорости при г=а о'=ма Общее решение дифференцнааьного уравнения (6.7) будет представляться через функцию Бесселя первого порядка от мнимого аргумента в виде не = А/т(г1/ -)+ВК,(г 1/ — ').
Учитывая, что функции Кт обращается в бесконечность при г = О, т. е. на оси цилиндра, мы должны постоянную В приравнять нулю. Определяя оставшуюся постоянную А из граничного условия (6.7), получим решение задачи для изображения в виде ф 6] неУстановнвшееся кРУГОВОе ДВижение вязкой жидкости 329 где "=~ мю1..= >>(г р — ) аг( 'Ь) лье Р~Л (а ~/ Р)— 2 У>рь (6.14) При вычислении коэффициентов (6.14) были использованы известные соотношения из теорий функции Бесселя: )г(тх) = — га>( — х), ь (2) у> (х) ха ~~ ( 1) е](~ ] )> чз=а ~ 1,(гх) = з, (х).
Так как — ерг Р == 1, 2м а — Го — РРГ =е Рь, 2кг,! р — р„ От(г, т)= ма ~ — +2 Х е а' — —,— 1. (6 15) >.,~,(>.е) 1 >!одсчнтывая силу вязкости на стенке вра>цаюгцегося цилиндра по формуле (6.4), получилн ьь, (т)а=-р'(( ]г) а(ОР)а1=2 '",айг л=-> умножая силу вязкости (т)а на длину окружности цилиндра и его радиус, получим выражение для того момента, который должен быть то для искомой скорости о нз (6.9), (6.13) и (6,14) будем иметь следующее вь>ра>кение> ЗЗО неястлновившеяся движения вязкой жидкости [гл. ~х приложен к цилиндру, чтобы поддерживать его вращение с постоянной угловой скоростью гз л Е = 4ириаз ~ е (6.16) н=г С возрастанием времеви величина момента, необходимого для поддержания вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться ло нуля.
ф 7. Врлщение круглого цилиндра в неограниченной жидкости Пусть вязкая несжимаемая жидкость простирается до бесконечности. Внутри этой жидкости находится круглый цилиндр радиуса а, который с момента г = О начинает вращаться вокруг своей геометрической оси с постоянной угловой скоростью и (рнс. 87). Если прелполагать, что частицы жидкости перемещаются строго по концентрическии окружностям и на бесконечности они находятся в состоянии покоя, то данная задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения дв дЪ 1 да а~ дг ', дгя г дг гег (7.1) прн следующих граничных и начальных условиях: при г=а о'р ма' 1 при г=со от = О, ~ (7.2) Рис.
В7. при Г =О и г) а от=О. 3 Умножая уравнение (7.!) и первые два условия (7.2) на г-лгИ, провала интегрирование и обозначая — т = ~ е-Р'о„(г, 1)г(Г, Р (7.3) длв изображения искомой скорости получим: Льл ' г Лг т\,т+ гз/ (7.4) при г = а о" .== иа, т при г=со о" =О, 9 Чтобы удовлетворить условию обращения изображении в нуль на бесконечности, необходимо из двух частных решений уравнения (7А), представляемых в виде функций Бесселя первого порядка от мнимого 9 7) вгхщвнив ктгглого цилиндга в нвогглничвиной жидкости 331 аргумента, использовать лишь то, которое будет содержать функцию Макдональда, т, е.
о" = ВК, (г ф/ ~). Определяя постоянное В из первого граничного условия (7.4), будем иметь для изображения: (7.б) а для оригинала: Кх(г Уу †", ) „ «-ео К,(а ~/ †) (7.6) Функция Макдональда К,(г) не имеет корней в правой половине всей плоскости комплексного переменного г '), где 1агаз! < —. Если на плоскости комплексного переменного мы возьмйм совокупность всех точек, для которых г.
я — — с. агяг С вЂ”, 2 2' то этой совокупности точек иа плоскости комплексного переменного, равного р ла ') Ватсон, Теория бесселевых функций, И/1, 1949, стр. 302. будет отвечать вся плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной оси от р = О до р =- со. Следовательно, подинтегральная функция (7.8) на плоскости комплексного переменного р не имеет никаких других особенностей, кроме точки ветвления в начале координат. Вводя в рассмотрение на плоскости комплексного переменного р замкнутый контур АВСОВРА, показанный на рис. 80, н 332 нвтстановившввся движвнив вязкой жидкости [гл. ~к проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в ф 2, получим: (7.7) 1 Лля малых значений аргумента функция К,(х) имеет порядок —, поэтому (7.8) Функция К, (х) связана с функцией Ханкеля 77, (гх) и обычными н) функциями Бесселя следующей зависимостью: К,( — тх) = — — —,, Н~" (х) = — —,-[з' (х)+ 1Л(,(х)[.
Поэтому булем иметь: Полставляя (7.8) н (7.9) в (7.7), получим выражение лля скорости кругового движения частиц жидкости в виде ЗВЗ лиееузия внхтввой нити Вычисляя силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по фор- муле (6.4), получим: (7.!1) Лля вронскиана функции Бесселя мы имеем: 2 Ус (х) Мс (х) — Ус (х) дс; (х) — — — —. Умножая силу вязкости (7.11) па длину окружности и ей радуис, получим следующее выражение лля момента сил вязкости; с!а 1 о а!е(= ) + асс (=) Чтобы вращение цилиндра в неограниченной жидкости происходило с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить к цилиндру переменный момент, равный правой части (7.12). С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания вращения с постоянной угловой скоростью, булет уменьшаться до своего предельного значения, отвечающего установившемуся круговому движению частиц неограниченной вязкой несжимаемой жидкости.
й 8. Диффузия вихревой нити (8.1) Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения вязкой несжимаемой жидкости без учета сил из (6.4) главы !! пред- ставляются в виде ди ди ди 1 др дС дх ду е дх --+ и — + о — =- — — — + а с!сс, да ди, да 1 др — + и — + о — = — — — + ч Ло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
